单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,克莱姆法则,定理二(克莱姆法则),设线性方程组,的系数行列式,一、,克莱姆法则,则该线性方程组有且仅有唯一解:,其中,D,j,(,j,=1,2,.,n,)是把系数行列式,D,中第,j,列的元素用常数项,b,1,b,2,b,n,代替后得到的,n,阶行列式.即,定理中包含,三个结论,:,(1)方程组有解,(2)解是唯一的,(3)解由公式 (,j,=1,2,.,n,)给出,注,:用克,莱姆,法则解线性方程组必须有两个前提条件:,(1)未知数个数等于方程个数,(2)系数行列式,D,0,例1 解线性方程组,解:,方程组的系数行列式,=27,0,由克,莱姆,法则知,方程组有唯一解,=81,=,108,=3,=,4,=,27,=27,=,1,=1,因为,x,1,=0,x,2,=0,x,n,=0就是一个解,它称为零解.,二、齐次线性方程组有非零解的充要条件,齐次线性方程组:,显然,齐次线性方程组总是有解的.,齐次线性方程组除了零解以外还有没有其它解,即非零解?,定理三,如果齐次线性方程组有非零解,则齐次线性方程组的系数行列式,D,=0.,证,由克莱姆法则知齐次线性方程组只有唯一的零解.,与已知矛盾,若,D,0,D,=0,由定理三可知,齐次线性方程组的系数行列式,D,=0是齐次线性方程组有非零解的必要条件.,综合上述,得到:齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式,D=,0.,注:,在第四章将会看到,D,=0也是齐次线性方程组有非零解的充分条件.,例2,取何值时,下述齐次,线性方程组有非零解?,解:,=(,+3,),2,齐次,线性方程组有非零解,D,=0,=3,或0,。