薛定谔方程的一般讨论毕业论文

上饶师范学院本科毕业论文（设计）本科毕业论文（设计）系系别别： ： 物理与电子信息学院 专专业业： ： 物 理 学 班班级级： ： 09 物（1） 学学号号： ： 09020130 学学 生生 姓姓 名名 ： ： 吴 江 指指导导教教师师姓姓名名： ： 吴 波 二二○一三年五月一三年五月摘 要：本文通过对使用不同方法建立薛定谔方程的分析和讨论，给出不同建立方法的优点与不足同时对薛定谔方程的一般性质作出讨论，进一步分析其 作用最后通过实矩阵形式下的波函数建立薛定谔方程关键词：波函数；哈密顿—雅可比方程；薛定谔方程；实矩阵目目 录录0 引言.................................................................1 1 薛定谔方程的建立.....................................................11.1 从粒子波函数引进薛定谔方程.......................................11.2 尝试法引进薛定谔方程.............................................31.3 类比法引进薛定谔方程.............................................41.4 数学运算建立薛定谔方程...........................................5 2 薛定谔方程基本性质的讨论.............................................92.1 波函数与态叠加原理...............................................92.2 概率流密度与概率的定域守恒.......................................92.3 薛定谔方程的一般解法............................................102.4 势场点和奇点处波函数的性质......................................112.5 能量平均值下限问题..............................................122.6 能谱分界点问题..................................................12 3 实矩阵形势下薛定谔方程的建立........................................13 4 总结................................................................15 5 致谢................................................................16 6 参考文献............................................................17吴江：薛定谔方程的一般讨论10.引言薛定谔方程是量子力学的重要基本方程，目前，许多量子力学教材和参考书对 于薛定谔方程的建立都是用微分或算符的方式建立，并且多处强调量子力学的建立 与经典物理学之间有着不可跨越的鸿沟，或者说，在量子力学领域，经典物理已经 完全不适用。

本文通过对建立薛定谔方程的不同方法的讨论，给出了各类方法的特 点，同时通过数学运算建立薛定谔方程的方法，说明了量子力学与经典物理学之间 并无绝对鸿沟本文试图通过这种方式，以期能够更好的增进初学者对薛定谔方程 的理解，更加全面的还原薛定谔方程的清晰面貌１．薛定谔方程的建立1.1 从粒子波函数引进薛定谔方程此处要建立的是描写波函数随时间变化的方程，所以这个方程是波函数满足的 含有对时间微分的方程，并同时满足：①方程是线性的；②方程的系数不应含状态 的参量用平面波描写自由粒子的波函数  ,ip r Etr tAe u v vhv 1这就是所需建立的方程的解将式对时间求偏微商，得  1 ,iEr tt vh  2将式坐标求二次偏微商，得  12222xp x  h 32222ypy  h 42222zp z  h 5将、、式相加，得  3 4 522222222p xyz    h 6吴江：薛定谔方程的一般讨论2由自由粒子的动量与能量关系 ，同时比较式 、式22pEm 2 6得到自由粒子波函数满足的微分方程： 2 2 2iU rtm   vhh 7对、两式变形，得  2 6iEt h 8 p pii       u v u vhh 9其中为拉普拉斯算符： ijkxyz vvv通过、两式，得到粒子能量 E 和动量算符与下列算符相当 8 9pu v； Eithpi  u vh 10设粒子在势场中的势能为，则粒子的动量与能量的关系是 V rv 22pEV rmv 11两边同乘波函数并代入式中，得满足的微分方程是 , r tv 10 , r tv 2 2 2iV rtm   vhh 12此方程即为所需建立的薛定谔方程。

这种通过对自由粒子的波函数进行偏微商所建立的薛定谔方程有以下几处疑点：第一、平面波所描写的自由粒子波函数为何是而非或 ,ip r Etr tAe u v vhvsin kxt？或者说为何不是它们的线性组合？这很容易在初学者印象中形成一种cos kxt束缚，那就是，平面波所描写的自由粒子波函数就是很明显， ,ip r Etr tAe u v vhv如果波函数包括三角函数形态，那么这种方法无法建立所需的薛定谔方程第二、我们很清晰的看到此方法使用到了这个物理经典公式，然而有的学者说：22pEm“这些现象揭露了经典物理学的局限性，突出了经典物理学与微观世界规律性的矛盾 ”对此，初学者不禁要问，薛定谔量子力学是自成一家的量子力学——与经典1吴江：薛定谔方程的一般讨论3物理不相容，还是对经典物理的创新？关于这点，本文将在后面做一些简述同时， 我们也可以看到，这种处理方法并未使用到薛定谔的波动力学方程，只是建立出来 的方程与薛定谔方程形式一致，这不免让人感觉有强借薛定谔名号之嫌当然，也 无法否认这种建立薛定谔方程的方法理解起来快速、有效、易懂，能够很好的适应 初学者的理解。

1.2 尝试法引进薛定谔方程 2自由粒子的波函数是一平面波，它有以下四种表达式或它们的线性组合 , x tv表达式：，，，满足这些波函数的方程必cos kxtsin kxti kxtei kxte须符合：①德布罗意关系导出的；②方程是线性方程且符合叠加原理；③2 2kmh系数不含动量、能量等状态参量观察，其中的指数为 1，的指数为 22 2kmhk对比，得出：所需建立的方程必包含和i kxte22x  t 因此可以设所求的方程为 0txx 13将上文所述四种波函数依次代入式中，得： 13其中三角函数形式波函数不能满足方程，两种复数形式波函数满足方程设波函数为 ,i kxtx tAe 14则 2 2iiktm   h 152 2 2kx   16综合、两式得：  15 16222i tmx h 17两边同乘，得 ih2 2 2itm  hh 18即自由粒子的三维薛定谔方程。

这种建立方法的立论与前一种方法差不多，关键在于引入了平面波函数表达形吴江：薛定谔方程的一般讨论4式，并且通过得布罗意关系导出的推出了较符合薛定谔波动力学方程的2 2kmh，同时由此方筛选出了合理的波函数，解决了前一种方法的部分不足0txx在一定程度上，更适合初学者的理解然而，的引出在逻辑上不甚严密，0txx说服力不强尤其是关系式不常见，不易理解2 2kmh1.3 类比法引进薛定谔方程从通常的力学走向波动力学的一步，就像光学中用惠更斯理论来代替牛顿理论所迈进的一步相类似，我们可以构成这种象征性的比例式： 3经典力学几何光学 波动力学波动光学在光波波长的数量级微小范围内，几何光学将被波动力学所代替，那么，试想： 在原子或分子大小的微小范围内，波动力学将代替牛顿力学而决定微观体系的运动 4在介质中，光的波动方程是 220k 20其中2kv 由于力学与光学的近似，波动力学基本方程类似于波动光学的波动方程：220k    21在势场中， Vpku vvh 2222pEVm 23综合、式，得  22 232m EVkh 24把式代入到式中，得  24 212 220m EV   h 25即定态薛定谔方程  2 2 2V rEm   vh 26吴江：薛定谔方程的一般讨论5相较之前一种建立方法，这种类比法在逻辑上依然有所欠缺，但是这种方法的 确一脉相承于薛定谔建立薛定谔方程的方法。

波动方程几乎是直接接对比波动光学 的方程而给出，给人予非常突然的感觉但是如果读者可以接收这种波动方程的给 出方法，这将是建立薛定谔方程最快捷的方法了在名义上也是真正的符合薛定谔 方程的1.4 数学运算建立薛定谔方程立论前提：①哈密顿——雅可比方程和哈密顿原理；②量子客体具有波粒二象 性考虑到哈密顿——雅可比方程 ,,0SSH qttq 27是波动力学方程的一种表现形式 5其中是哈密顿函数，是作用函数HS是由 S。