国际符号国际符号 international symbolinternational symbol采用国际符号，不仅可以表示出各种晶类 中有那些对称元素，而且还能表示出这些 对称元素在空间的方向国际符号根据各 种晶类的对称性可以是三项、或二项、或 一项符号组成，它分别表示晶体某三个、 或二个、或一个方向上的对称元素如果 在某一个方向上，同时具有对称轴和垂直 于此轴的对称面，则写成分数形式 1wangcl@熊夫利斯（熊夫利斯（SchSchö öenflesenfles））符号符号 vCn：字母表示旋转的意思，组标n表示旋 转的次数，n=1、2、3、4、6例如C2代表 二次旋转轴 vCnh：表示除了n次旋转轴外，还包括一个 与此轴垂直的对称面 vCnv：表示除了n次旋转轴外，还包括一个 与此轴重合（即平行）的对称面 vCni：表示除了n次旋转轴外，还包括一个 对称中心 2wangcl@vCi：表示有一个对称中心 vS4：表示有一个四次旋转倒反轴 vDn：表示除了n次主旋转轴外，还包括n 个与之轴垂直的二次旋转轴 vDnh：表示除了Dn的对称性外，还包括一 个与主旋转轴垂直的对称面，和n个与二次 旋转轴重合（即平行）的对称面。
vDnd：表示除了Dn的对称性外，还包括n个 平分两个二次旋转轴夹角的对称面 3wangcl@vT：除了四个三次旋转轴外，还包括三个 正交的二次旋转轴 vTh：除了T的对称性外，还包括与二次旋 转轴垂直的三个对称面 vTd：除了T的对称性外，还包括六个平分 两个二次旋转轴夹角的对称面 vO：包括三个互相垂直的四次旋转轴，六 个二次旋转轴，和四个三次旋转轴 vOh：除了O的对称性外，还包括Td与Th的 对称面 4wangcl@国际符号与熊氏符号对比国际符号与熊氏符号对比国际符号国际符号熊氏符号熊氏符号 1C1 2C2 3C3 4C4 6C6 mCs Ci，S2 S45wangcl@其它注意事项其它注意事项v由于分子没有无限周期性的限制，所以 分子点群的数目要多于晶体中的点群数目 32个；v自然界对称性很多，例如：五度对称性 ，足球，富勒烯C60, buckministerfullerence，碳管6wangcl@7wangcl@8wangcl@小结小结 summarysummaryv密勒指数（Miller indices）v对称元素和对称操作v晶体的三十二个点群v对称性和点群对于压电铁电体非常重要 ！v只有晶体才会有压电铁电性，不存在非 晶压电铁电体。
但是有非晶半导体和非晶 磁性材料9wangcl@晶体中的点群晶体中的点群v由于无限大周期性的限制，晶体中的对称 操作只能有：1，2，3，4，6，i，m, ；v由这些对称操作所构成的集合就是晶体中 的点群；v点：所有这些对称操作下，肯定有一个点 是不变的；v晶体中一共有32个这样的点群；10wangcl@空间群空间群 space groupsspace groups 晶轴和直角坐标轴晶轴和直角坐标轴11wangcl@空间群的概念空间群的概念 晶体的对称性，不仅包括了宏观对称元素 ，而且也包括了微观对称元素 平移不变性（translation invariance） 这样微观对称元素共有两个：v螺旋轴（screw rotation）v滑移面（glide）12wangcl@螺旋轴螺旋轴 screw rotationsscrew rotations平移对称与旋转轴对称结合，即形成 “螺旋轴”螺旋轴操作为绕此轴旋 转360/n后，再沿此轴方向平移l/n 周期，图形即可自身重合，其中n=1 、2、3、4、6，l=1、2、…、（n-1 ）螺旋轴的国际符号为21；31，32 ；41，42，43；61，62，63，64，65。
13wangcl@例如：国际符号31表示三次螺旋轴， 平移为c/3；国际符号32表示三次螺 旋轴，平移为2c/3螺旋轴与螺旋线 一样，可以有左旋和右旋之别，平移 大于1/2时为左旋，平移小于1/2时为 右旋，平移等于1/2时无左旋和右旋 之别14wangcl@15wangcl@滑移面滑移面 slideslide平移对称与对称面结合即形成“滑 移面”滑移面操作为对此平面反 映后，再沿平行于此平面的某个方 向上平移二分之一或四分之一周期 ，图形即可自身重合滑移面的国 际符号为a、b、c、n、d等16wangcl@例如，a表示沿a轴方向的滑移面，平 移a/2；n表示沿对角线方向的滑移面 ，平移（a/2+ b/2），或（b/2+ c/2 ）或（c/2+ a/2）；d表示沿对角线 方向的滑移面，但平移为（a/4+ b/4 ），或（b/4+ c/4）或（c/4+ a/4） 17wangcl@18wangcl@宏观对称元素的组合，可以导出32种 点群；宏观对称元素与微观对称元素 的组合，可以导出230种空间群空 间群的国际符号由两部分组成，第一 部分为大写字母P、C、I、F，表示14 种布喇菲格子中的原始格子（P）、 底心格子（C）、体心格子（I）和面 心格子（F）；第二部分为对称类型 的国际符号（与点群符号类似）。
19wangcl@例如空间群I 2d表示四方体心格子 ，在沿c轴方向为四次旋转倒反轴， 在a轴与b轴方向上为二次旋转轴， 在a轴与b轴之间的对角线方向上为 滑移面又如空间群P21212表示是正 交原始格子，沿a轴和b轴方向上为 二次螺旋轴，沿c轴方向为二次旋转 轴 20wangcl@21wangcl@22wangcl@Space group P212121 (222)23wangcl@晶轴和直角坐标轴的选择晶轴和直角坐标轴的选择 晶面符号和晶棱符号的确定取决于晶轴的 选择，晶轴选择方式不同，晶面符号和晶 棱符号也不一样其次，在讨论晶体的弹 性性质、介电性质和压电性质时，采用直 角坐标系是比较方便的由于晶轴之间夹 角不一定等于90，所以选定晶轴之后，有 时还要另选直角坐标系选择不同的直角 坐标系，所得到的数学表达式也不一样 为了避免混乱，必须对晶轴的选择和直角 坐标系的选择作共同的规定 24wangcl@三斜晶系三斜晶系晶轴三斜晶系除了一次旋转轴或一次旋转倒 反轴外，无其它对称元素因此只能选择三个 不在同一平面上的晶棱方向作为晶轴晶轴的 安排是c轴为直立，b轴为左右并向右倾，a轴为 前后方向并向前倾。
晶格常数的大小为b>a>c， 晶轴间的夹角为，并有>90，>90 坐标轴（x、y、z）目前都选择z轴与晶轴c重 合；x轴在晶轴a和c组成的平面内，并指向+a方 向；y轴垂直于ac平面，并指向+b方向，如图1- 23所示25wangcl@图图1-23 1-23 三斜晶系中的晶轴与坐标系三斜晶系中的晶轴与坐标系26wangcl@单斜晶系单斜晶系 晶轴单斜晶系的特点是具有一个二次旋转 轴或二次旋转倒反轴选二次轴为b轴，并 在与b轴垂直的平面上选择相交的晶棱方向 作为c轴和a轴晶格常数大小为：abc， a>c，晶轴之间夹角为==90，>90单 斜晶系的实例如图1-24所示 坐标轴（x、y、z）目前选择y轴与b轴重 合；z轴与c轴重合，x轴垂直于bc平面，如 图1-25所示 27wangcl@图图1-24 1-24 单斜晶系中的晶轴单斜晶系中的晶轴28wangcl@图图1-25 1-25 单斜晶系中的坐标系单斜晶系中的坐标系, ,其中其中y y轴是二次旋转轴轴是二次旋转轴29wangcl@正交晶系正交晶系 晶轴正交晶系的特点是具有三个互相垂直的 二次旋转轴，或有二个互相垂直的对称面。
在 222点群和mmm点群中，分别选这三个二次旋转 轴为a、b、c轴；在mm2点群中则选唯一的一个 二次旋转轴为c轴，选两个对称面的法线方向为 a轴和b轴，晶格常数大小为：c
三角晶系和六角晶系的特点是具有一 个三次旋转轴或六次旋转轴通常都是选三 次轴或六次轴为c轴，选二次轴或对称面的 法线为a、b轴晶格常数大小为：a=bc， 晶轴之间夹角为==90,=120 坐标轴（x、y、z）通常选z轴平行于c轴 ，x轴与a轴一致，y轴垂直于ac平面三角 晶系和六角晶系的实例如图1-28和图1-29所 示 34wangcl@图图1-28 1-28 - -石英晶体属于石英晶体属于3232点群，点群，c c轴为三次轴，轴为三次轴，a a、、b b、、d d轴为二次旋转轴轴为二次旋转轴35wangcl@图图1-29 1-29 碘酸锂晶体属于碘酸锂晶体属于6 6点群，点群，c c轴为轴为6 6次旋转轴次旋转轴36wangcl@立方晶系立方晶系 晶轴立方晶系的特点是具有四个三次旋转 轴（包括旋转倒反轴），同时不是有三个相 互垂直的四次旋转轴（包括旋转倒反轴）， 就是有三个相互垂直的二次旋转轴，分别选 择这些四次或二次轴为a、b、c轴晶格常 数大小为：a=b=c，晶轴之间夹角为 ===90 坐标轴（x、y、z）通常选择晶轴a、b、c 为坐标轴x、y、z。
37wangcl@X-axisZ-axisY-axis38wangcl@summarysummarynSpace groups， glide and screwnCrystal axis and Cartesian axisCase studyCase study画出七大晶系的晶轴 和直角坐标轴的对应 关系39wangcl@线群(line group)纳米线材料的出现使线群的概念得到了 重新重视. Z M Li et al, Appl Phys Lett 84 (2004) 4101;V N Popov et al, Phys Rev B61 (2000)3078; M Vujicic et al, J Phys A10 (1977)1271; I Bozovic et 。