简谐振动的合成简谐振动的合成1. 两振动同方向两振动同方向同频率同频率不同频率不同频率2. 两振动互相垂直两振动互相垂直同频率同频率不同频率（整数比关系）不同频率（整数比关系） §§ 5同同一直线上一直线上简谐振动的合成简谐振动的合成一、同一、同一直线上同频率的一直线上同频率的简谐振动的合成简谐振动的合成K1K2接触处匀光滑接触处匀光滑整理可得整理可得其中其中 旋转矢量图合成法旋转矢量图合成法由余弦定理可得到由余弦定理可得到同方向同频率两简谐振动同方向同频率两简谐振动的合成，仍为简谐振动的合成，仍为简谐振动多个多个同方向同频率同方向同频率的简谐振动合成？的简谐振动合成？xx =x1+x2 = Acos( t+ ) 振幅振幅：A最大最大（（1）同相）同相x（（2）反相）反相xA最小最小质点处于静止状态质点处于静止状态!初相？初相？初相？初相？ XA1Xt0A2A1X1(t)X2(t)求合振动的表达式求合振动的表达式(设圆频率为设圆频率为 )A2X(t) x xt x 1 ≠ 2 矢量平行四边形矢量平行四边形在不断变形，在不断变形，P点在点在x轴轴上上 的运动不再是简谐振的运动不再是简谐振动，甚至不再是周期振动，甚至不再是周期振动动二、二、 同一直线上不同频率简谐振动的合成同一直线上不同频率简谐振动的合成P 很小，随时间变化缓慢很小，随时间变化缓慢很大，随时间变化很快，时间的影响表现在这一项很大，随时间变化很快，时间的影响表现在这一项合振动近似看成振幅合振动近似看成振幅 缓慢变化的圆频率缓慢变化的圆频率 为为 “准简谐振动准简谐振动”讨论讨论 2 - 1 << 1, 2 情况情况 2A拍频：振幅变化的频率拍频：振幅变化的频率Ot拍拍 拍拍拍频拍频 : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =| 2- 1| xtx2tx1t合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象 合振动的轨迹方程（合振动的轨迹方程（质点在质点在O-xy平面上的运动轨迹）平面上的运动轨迹）一、同频率两垂直振动的合成一、同频率两垂直振动的合成椭圆方程椭圆方程§§ 6 互相垂直的简谐振动的合成互相垂直的简谐振动的合成 0xyt 时刻，距原点距离时刻，距原点距离 s合振动是谐振动合振动是谐振动s振动方向振动方向 t 时刻，距原点距离时刻，距原点距离 s合振动是谐振动合振动是谐振动振动方向振动方向0xys 正椭圆正椭圆A1＝＝A2时为圆时为圆判断转向：由判断转向：由x(t), y(t) 表达式表达式然后然后 x 减小，减小，y向负向增加向负向增加0yx 作图法作图法xyxy 正椭圆正椭圆A1＝＝A2时为圆时为圆判断转向：判断转向：x(t), (t) 表达式表达式例：例：然后然后 x 减小，减小，y向正向增加向正向增加0yx 一般情况下一般情况下,位相差位相差 等于其它任一中间值等于其它任一中间值 时得到的轨时得到的轨迹为形状和旋转方向各不相同的椭圆。
下图所表示的是位相为迹为形状和旋转方向各不相同的椭圆下图所表示的是位相为某些值时合成运动的轨迹某些值时合成运动的轨迹0xy0x 二、互相垂直的不同频率两振动的合成二、互相垂直的不同频率两振动的合成频率比为简单整数比频率比为简单整数比 ，，仍是周期运动仍是周期运动 轨迹闭合轨迹闭合T = n1T1 = n2T2T1/T2 = 1/3，， 1/ 2 = 3/10< < /2 = /2 = 李萨如图形李萨如图形 互相垂直简谐振动的合成互相垂直简谐振动的合成 利萨如图形利萨如图形 互相垂直的两简谐振互相垂直的两简谐振动的频率比为无理数时，动的频率比为无理数时，合成的运动将永远不重复合成的运动将永远不重复已走过的路径，它的轨迹已走过的路径，它的轨迹将密布在由振幅所限定的将密布在由振幅所限定的整个矩形面积内整个矩形面积内准周期运动准周期运动 §7 7 谐振分析谐振分析频谱分析频谱分析 （付里叶变换）时域至频域的变换（付里叶变换）时域至频域的变换任何一个复杂的周期性振动都可以分解成一系列任何一个复杂的周期性振动都可以分解成一系列简谐振动之和。
简谐振动之和任一周期性振动函数可展开为任一周期性振动函数可展开为周期振动有分立的频谱周期振动有分立的频谱 k=2,二次谐频；二次谐频；k=3,三次谐频三次谐频… 方方波波的的分分解解x0t0tx1t0x3t0x5t0x1+x3+x5+x00tx0 单簧管单簧管小号小号txtxAA基频基频基频基频非周期振动非周期振动有连续频谱有连续频谱 噪声噪声AA基频决基频决定音调定音调谐频决谐频决定音色定音色 §8 相空间中振动的轨道相空间中振动的轨道位形空间位形空间由位置坐标构成，如（由位置坐标构成，如（x，，y，，z））相空间相空间由位置和动量构成，如（由位置和动量构成，如（p，，x））简谐振动简谐振动pxo 相图相图动力学系统动力学系统的吸引子的吸引子0欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界临界阻尼阻尼 周期振动：周期振动： 简谐振动：简谐振动： x(t)=Acos( t+ )1. 振幅振幅 A初相初相— : t=0时的相位，时的相位，初相由初始条件决定初相由初始条件决定振动总结振动总结A由初始条件决定由初始条件决定 ，， ，，T由系统的物理条件决定由系统的物理条件决定 振幅矢量逆振幅矢量逆时针旋转时针旋转t0 振幅矢量振幅矢量 t+ 相位相位 x(t)=Acos( t+ )简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法/参考圆表示法参考圆表示法 (1) 动能动能(2) 势能势能简谐振动的能量简谐振动的能量(3) 机械能机械能xEMEp(1/2)kA2EkTto守恒守恒振动速度与加速度振动速度与加速度 无阻尼小阻尼大阻尼Ao简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程阻尼振动的动力学方程阻尼振动的动力学方程受迫振动的动力学方程受迫振动的动力学方程稳态解：稳态解：位移共振条件：位移共振条件： 同同一直线上同频率的一直线上同频率的简谐振动的合成简谐振动的合成与与Δφ有关有关同相同相?反相反相?t0A2A1X1(t)X2(t)X(t)Δφ=3/4 同一直线上不同频率简谐振动的合成同一直线上不同频率简谐振动的合成合振动近似看成振幅合振动近似看成振幅 缓慢变化的圆频率缓慢变化的圆频率 为为 “准简谐振动准简谐振动”拍频拍频当当ω2 - ω1 << ω1,ω2 情况情况 互相垂直的两振动合成互相垂直的两振动合成同频率同频率不同频率但频率比不同频率但频率比为简单的整数比为简单的整数比李萨如图形李萨如图形水平与垂直方向的节点数水平与垂直方向的节点数之比等于水平与垂直方向之比等于水平与垂直方向振动的周期比振动的周期比0xy 。