全国大学生数学比赛河北赛区试题及答案河 北 省 大 学 生 数 学 竞 赛 试 题 及 答 案一、(此题满分10分)求极限lim12(n21n222n2(n1)2)nn【解】Sn1(n21n222n2(n1)2)n2因1x2在[0,1]上连续，故11-x2dx存在，且01n11(i)2.1，2dx=lim1-x0nnni0所以，limSn12dxlim112dx1-x1-xn0nn0410分)请问a,b,c为什么值时下式建立1xt2dt.lim二、(此题满分x0sinxaxb1t2【解】注意到左侧得极限中，不论 a为什么值总有分母趋于零，所以要想极限存在，分子必须为无量小量，于是可知必有 b 0，当b 0时使用洛必达法例获得1xt2dtlimx2limax01t2，x0sinxx0(cosxa)1x2由上式可知：当 x 0时，若a 1，则此极限存在，且其值为 0；若a 1，则1xt2dtx22，limaxb1tlimx0sinx2x0(cosx1)1x2综上所述，获得以下结论： a 1,b 0,c 0;或a 1,b 0,c 2三、(此题满分10分)计算定积分I2dx01tan2010x/【解】 作变换 x t，则22I 2dt ，0 2所以，I。
41四、(此题满分10分)求数列{nn}中的最小项1【解】因为所给数列是函数yxx当x分别取1,2,3,,n,时的数列又yx12(lnx1)且令y0xe，x简单看出：当0xe时，y0；当xe时，y011所以，yxx有独一极小值y(e)ee1111而2e3，所以数列{nn}的最小项23333五、(此题满分10分)求en0nn1【解】考虑幂级数xnn0n1其收敛半径为，收敛区间为(1,1)，1当x时，xn(n1收敛；1n0n11)n0n1当x1时，xn1发散，所以其收敛域为[1,1)n0n1n0n1设其和函数为s(x)，则x(1,1)，xxtnxtndtxn1xs(t)dtdt00n0n1n00n1n01x于是，s(x)(x)1.1x(1x)2故，ens(e1)e2n0n1(e1)2六、(此题满分10分)设f(x)sinxx(xt)f(t)dt，此中ff(x)0为连续函数，求【解】原方程可写为f(x)sinxxxxf(t)dttf(t)dt，00上式两头对x求导得f(x)cosxxxf(x)xf(x)cosxxf(t)dt0f(t)dt0（*）两头再对x求导得即f(x)f(x)sinx这是一个二阶线性常系数非齐次方程，由原方程知f(0)0，由（*）式知f(0)1。
特点方程为210，i齐次通解为yC1sinxC2cosx设非齐次方程特解为y*x(asinxbcosx)，代入f(x)f(x)sinx得a0,b12xcosx则非齐次方程通解为yC1sinxC2cosx2由初始条件y(0)0和y(0)1可知，C11,C202七、(此题满分10分)在过点O(0,0)和A(,0)的曲线族yasinx(a0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分L(1y3)dx(2xy)dy的值最小解】I(a)(1y3)dx(2xy)dy[1a3sin3x(2xasinxacosxdxL0)]4a4a33令I(a) 4 4a2 0，得a 1(a 1舍去)；又I(1) 8 0，则I(a)在a 1处取极小值，且a=1是I(a)在(0,+∞)内的独一极值点， 故a=1时I(a)取最小值，则所求曲线为ysinx(0x)八、(此题满分10分)设f(x)在[?1,1]上有二阶导数，且f(1)f(1)1，f''(x)12证明：1．f'(x)1，x∈[?1,1]。