4.2 三角恒等变换挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点三角恒等变换1.两角和与差的三角函数公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并了解它们的内在联系2.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,但这三组公式不要求记忆)2015天津,15两角差的余弦公式函数在闭区间上的最值★★★分析解读 两角和与差的三角函数公式及二倍角公式一直是高考命题的热点,全面考查两角和与差及二倍角公式的综合应用.1.以两角和与差的三角函数公式为基础,求三角函数的值或化简三角函数式;2.二倍角公式是热点和难点,要理解“倍角”的含义,注意“倍角”的相对性,并能灵活应用;3.解决与两角和与差的三角函数公式及二倍角公式有关的综合问题时,一般先把三角函数式化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再讨论三角函数的性质.本节内容常以解答题的形式出现,与解三角形问题结合在一起考查,属于中档题.破考点【考点集训】考点 三角恒等变换1.“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 2.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°·sin10°=( )A.-32 B.32 C.-12 D.12答案 D 3.若tanα=2tanπ5,则cosα-3π10sinα-π5=( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C 4.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)= . 答案 -12炼技法【方法集训】方法1 三角函数的化简与求值问题1.(2013课标Ⅱ,6,5分)已知sin2α=23,则cos2α+π4=( )A.16 B.13 C.12 D.23答案 A 2.已知tanα=2.(1)求tanα+π4的值;(2)求sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1的值.解析 (1)因为tanα=2,所以tanα+π4=tanα+tanπ41-tanα·tanπ4=2+11-2×1=-3.(2)因为tanα=2,所以sin2αsin2α+sinαcosα-cos2α-1=2sinαcosαsin2α+sinαcosα-(cos2α-sin2α)-(sin2α+cos2α)=2sinαcosαsin2α+sinαcosα-2cos2α=2tanαtan2α+tanα-2=2×222+2-2=1.方法2 利用辅助角公式解决问题的方法3.已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= . 答案 2;14.已知函数f(x)=(1+tanx)sin2x.(1)求f(x)的定义域;(2)若α∈(0,π),且f(α)=2,求α的值.解析 (1)因为函数y=tanx的定义域是x∈Rx≠kπ+π2,k∈Z,所以f(x)的定义域为x∈Rx≠kπ+π2,k∈Z.(2)f(x)=(1+tanx)sin2x=1+sinxcosx·sin2x=sin2x+2sin2x=sin2x-cos2x+1=2sin2x-π4+1.由f(α)=2,得sin2α-π4=22.因为0<α<π,所以-π4<2α-π4<7π4,所以2α-π4=π4或2α-π4=3π4,解得α=π4或α=π2(舍去).所以α=π4.过专题【五年高考】A组 自主命题·天津卷题组1.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2x-π6,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-π3,π4上的最大值和最小值.解析 (1)由已知,有f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-π32=1212cos2x+32sin2x-12cos2x=34sin2x-14cos2x=12sin2x-π6.所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间-π3,-π6上是减函数,在区间-π6,π4上是增函数,f-π3=-14,f-π6=-12,fπ4=34,所以f(x)在区间-π3,π4上的最大值为34,最小值为-12.2.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cosx·sinx+π3-3cos2x+34,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间-π4,π4上的最大值和最小值.解析 (1)由已知,有f(x)=cosx·12sinx+32cosx-3cos2x+34=12sinx·cosx-32cos2x+34=14sin2x-34(1+cos2x)+34=14sin2x-34cos2x=12sin2x-π3.所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间-π4,-π12上是减函数,在区间-π12,π4上是增函数,f-π4=-14,f-π12=-12,fπ4=14,所以函数f(x)在闭区间-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.B组 统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标Ⅲ,4,5分)若sinα=13,则cos2α=( )A.89 B.79 C.-79 D.-89答案 B 2.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知tanα-5π4=15,则tanα= . 答案 323.(2017江苏,5,5分)若tanα-π4=16,则tanα= . 答案 754.(2017课标Ⅰ,15,5分)已知α∈0,π2,tanα=2,则cosα-π4= . 答案 310105.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b= . 答案 21136.(2015四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是 . 答案 627.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tanα=43,cos(α+β)=-55.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解析 (1)因为tanα=43,tanα=sinαcosα,所以sinα=43cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=925,所以cos2α=2cos2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-55,所以sin(α+β)=1-cos2(α+β)=255,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=43,所以tan2α=2tanα1-tan2α=-247.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211.C组 教师专用题组1.(2017山东,4,5分)已知cosx=34,则cos2x=( )A.-14 B.14 C.-18 D.18答案 D 2.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cosπ4-α=35,则sin2α=( )A.725 B.15 C.-15 D.-725答案 D 3.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为 . 答案 14.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是 . 答案 π65.(2014广东,16,12分)已知函数f(x)=Asinx+π4,x∈R,且f5π12=32.(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=32,θ∈0,π2,求f3π4-θ.解析 (1)f5π12=Asin5π12+π4=32,∴A·32=32,解得A=3.(2)f(θ)+f(-θ)=3sinθ+π4+3sin-θ+π4=32,∴322(sinθ+cosθ)+22(-sinθ+cosθ)=32,∴6cosθ=32,∴cosθ=64,又θ∈0,π2,∴sinθ=1-cos2θ=104,∴f3π4-θ=3sin(π-θ)=3sinθ=304.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018天津河东二模,6)已知函数f(x)=cos234π-x-12,在下列区间中f(x)单调递增的为( )A.0,π4 B.0,π2 C.π6,π3 D.π4,π2答案 D 2.(2019届天津耀华中学第一次月考,6)已知函数f(x)=2sinωxcos2ωx2-sinωx(ω>0)的最小值在区间-π3,π4上至少出现两次,则ω的最小值等于( )A.6 B.94 C.154 D.3答案 D 3.(2018天津六校联考期中,4)若点P(cosα,sinα)在直线y=-2x上,则sin2α+cos2α+π2=( )A.0 B.25 C.65 D.85答案 D 二、填空题(每小题5分,共15分)4.(2019届天津新华中学第一次月考,12)已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,则cosα+π4= . 答案 -56655.(2019届天津武清杨村三中第一次月考,13)函数f(x)=cosx-sinx的单调递增区间为 . 答案 2kπ-5π4,2kπ-π4(k∈Z)6.(2018天津南开三模,13)若函数f(x)=sinωx+cosωx(ω≠0)对任意实数x都有fπ6+x=fπ6-x,则fπ3-πω的值等于 . 答案 -1三、解答题(共75分)7.(2018天津河西三模,15)已知函数f(x)=2cos2x-cos2x+π3-1.(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程;(2)讨论函数f(x)在-π4,π4上的单调性.解析 (1)f(x)=2cos2x-cos2x+π3-1=cos2x-12cos2x+32sin2x=sin2x+π6,∵ω=2,∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.令2x+π6=kπ+π2,k∈Z,解得x=kπ2+π6,k∈Z,∴f(x)的对称轴方程为x=kπ2+π6,k∈Z.(2)令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,解得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,设A=-π4,π4,B=x|-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,可得A∩B=-π4,π6,∴当x∈-π4,π4时,f(x)在区间-π4,π6上单调递增,在区间π6,π4上单调递减.8.(2017天津红桥二模,15)已知函数f(x)=-2sin2x+π4+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,π2上的最大值和最小值.解析 (1)由已知,有f(x)=-2sin2x+π4+6sinxcosx-2cos2x+1=-sin2x-cos2x+3sin2x-(1+cos2x)+1=2sin2x。