|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 无数（ —— 忧复 解习 三学二 角） 形第 1 页，共 13 页一. 正弦定理：解三角形1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 a sin Ab sin Bc sin C2 R （其中 R 为三角形外接圆的半径）2. 变形： 1）a b c a b c ．sin sin sin C sin sin sin C2）化边为角：a : b : csinA : sinB : sin C ；a sin A b;sin B a;sin A;|精.|品.|可.b sin B c sin C csin C|编.|辑.|学.|习.3 ）化边为角： a2 R sin A、 b2 R sin B 、 c2R sin C|资.|料. * 4 ）化角为边：sin Aa ; sin B b ; sin A a ; | * | sin Bb sin C casin C cb c * | * | 5 ）化角为边：sin A、 sin B2R、 sin C2 R 2R|欢.|迎.|下.|载. 3. 利用正弦定理可以解决以下两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角 B、C、a ，解法：由 A+B+C=18o0，求角 A、 由正弦定理 asin A ; bsin B ; asinA ; 求出 b 与 c②已知b sin B csin C csin C两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边；o例：已知边 a、b、A、解法：由正弦定理a sin Aa sin Ab sin B求出角 B、 由 A+B+C=180求出角 C，再使用正弦定理c sin C求出 c 边4. △ABC中，已知锐角 A，边 b，就① a b sin A 时， B 无解； b② a b sin A 或 a b 时， B 有一个解；b sin A③ b sin Aa b 时， B 有两个解；A如：①已知 A60 、 a2、 b2 3 、 求 B 〔 有一个解 〕②已知 A60 、 b2、a2 3 、 求 B 〔 有两个解 〕留意：由正弦定理求角时，留意解的个数；二. 三角形面积1. SABC1 ab sin C 21 bc sin A 21 ac sin B 22. SABC1 〔 a2b c〕r、 其中 r 为三角形内切圆半径 .第 2 页，共 13 页3. SABCp〔 pa〕〔 pb〕〔 pc〕 、 其中 p1 〔a2b c〕 、4. SABCabc 4 R、R 为外接圆半径5. S ABC2 R 2 sinA sinB sinC 、R 为外接圆半径三. 余弦定理1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍，即 |精.|品.|可.a 2 b 2c2 2bc cos A|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * b 2 a 2 c2c 2 a 2 b 22ac cos B2 ab cos C2 2 2 | * | |欢.|迎.|下.|载.2. 变形：cos A bc a2bccos Ba 2 c2 b 2cos C2aca 2 b 2 c 22ab留意整体代入，如： a 2c2 b2 ac1cos B23．利用余弦定理判定三角形外形：设 a . b . c 为 C 的角 . .C 的对边，就：①如， ，所以 为锐角②如 c2 b 2 a 2A为直角③如 ， 所以 为钝角， 就 为钝角三角形3 利用余弦定理可以解决以下两类三角形的问题： 1）已知三边，求三个角 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四.应用题1. 已知两角和一边（如 A.B.C），由 A+B+C= π求 C，由正弦定理求 a.b．2. 已知两边和夹角（如 a.b.c），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = π，求另一角．第 3 页，共 13 页3. 已知两边和其中一边的对角（如 a.b.A），应用正弦定理求 B，由 A+B+C= π 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要留意解可能有多种情形．4. 已知三边 a.b.c，应用余弦定理求 A.B，再由 A+B+C = π，求角 C．5. 方向角一般为指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角） ，通常表达成 . 正北或正南，北偏东度， 北偏西度，南偏东度，南偏西度 .6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中 、 视线在水平线上方的角叫仰角 、 视线在水平线下方的角叫俯角 . |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 视线五.三角形中常见的结论铅1）三角形三角关系： A+B+C=180 ； C=180仰—角 〔A+B〕 ；2）三角形三边关系：直线 水平线两边之和大于第三边： ， ， ；俯角两边之差小于第三边： ， ， ；3）在同一个三角形中大边对大角： A B4) 三角形内的诱导公式：a b sin A视线sin Bsin〔 A B〕 sin C 、cos〔 A B 〕 cos C 、tan〔 A B 〕 tan C 、tan A B2tan〔 C 〕2 2sin〔 C 〕 2 2CCcos〔 〕 2Ccos〔 〕2 2sin〔 〕 25) 两角和与差的正弦.余弦.正切公式(1) sin〔 α β〕 ＝sin αcos βcos αsin β.(2) cos〔αβ〕＝cos αcos β.sin αsin β.第 4 页，共 13 页tan αtan ββ(3) tan〔 αβ〕＝1.tan αtan .6) 二倍角的正弦.余弦.正切公式(1) sin 2 α＝2sin αcos α.2 2 2 2(2) cos 2 α＝cos α－sin α＝2cos α －1＝1－ 2sin α. |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * (3)sin21 cos2 2; cos21 cos2 2 | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 2tan α(4) tan 2 α＝1－tan 2 α.7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点解三角形高考真题及答案解析1. （15 北京理科）在【答案】 1【解析】△ABC 中， a4 ， b5 ， c6 ，就 sin 2 A ．sin C试题分析：sin 2A2 sin A cos A 2a b 2 c 2 a22 4 25 36 16 1sin Csin C c2bc6 2 5 6考点：正弦定理.余弦定理第 5 页，共 13 页2. （15 北京文科）在 C 中， a3 ， b 6 ，2，就 ．3【答案】4【解析】试题分析：由正弦定理，得a b 3 6，即，所以sin B2，所以 B .sin Asin B3 sin B 2 42 |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 考点：正弦定理 .3.（ 15 年广东理科） 设 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，如 a就 b【答案】 1．【考点定位】此题考查正弦定懂得三角形，属于简单题．3 ，sinB 1 ，C π ，2 634（.15 年广东文科） 设 C 的内角 ， ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．如 a2 ，c2 3 ，cos ，2且 b c ，就 b （）A． 3 B． 2。
