二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象【教学目标】1、会用描点法画出二次函数2、能结合图象确定抛物线、 与 的图象；、 、 的对称轴与顶点坐标；3、通过比较抛物线总结的力量;【教学重点】与 同 的相互关系，培育观看、分析、画出形如 、 与形如 的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.【教学难点】理解函数、 、 与 及其图象间的相互关系【学问点梳理】学问点一、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c 为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项.学问点二、二次函数的图象及画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y 轴(或是y 轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.假如二次项系数a 相同，那么其图象的开口方向、外形完全相同，只是顶点的位置不同.1. 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x 轴的交点、与y 轴的交点.2. 用平移法画图象由于a 相同的抛物线y=ax2+bx+c 的开口及外形完全相同，故可将抛物线 y=ax2 的图象平移得到 a 值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数 y=ax2 的图象.将抛物线y=ax2 平移，使其顶点平移到(h，k).学问点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质1. 函数 y=ax2(a≠0)的图象与性质：a 的符对称函数 图象 开口方向 顶点坐标 增减性 最大(小)值号 轴x>0 时，y 随 x当 x=0 时，y=ax增大而增大y 最小=0a>0 向上 (0，0) y 轴2 x<0 时，y 随 x增大而减小x>0 时，y 随 x当 x=0 时，y=ax增大而减小y 最大=0a<0 向下 (0，0) y 轴2 x<0 时，y 随 x增大而增大2. 函数 y=ax2+c(a≠0)的图象及其性质:(1) 当 a>0 时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2 相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y 最小=c(2) 当 a<0 时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2 相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y 最大=c3. 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是 ， 对称轴是直线函二次函数 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)数a>0a<0图象(1)当 a>0 时，抛物线开口向上，并向上无限(1)当 a<0 时，抛物线开口向下，并向下无限延延长，顶点是它的最低点.性伸，顶点是它的最高点.质(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.上升.学问点四、抛物线y=ax2+bx+c 中a、b、c 的作用a，b，c 的代数式作用字母的符号图象的特征a1. 打算抛物线的开口方向；2. 打算增减性a>0a<0开口向上开口向下c打算抛物线与 y 轴交点的位置，交点坐标为(0，c)c>0c=0交点在 x 轴上方抛物线过原点c<0交点在 x 轴下方打算对称轴的位ab>0对称轴在 y 轴左侧置，对称轴是直线ab<0对称轴在 y 轴右侧b2-4ac>0抛物线与 x 轴有两个交点b2-4ac打算抛物线与 x 轴公共点的个数b2-4ac=0顶点在 x 轴上b2-4ac<0抛物线与 x 轴无公共点【典型例题】题型一： y = ax 2+ k 的图象和性质例 1、一条抛物线的开口方向、对称轴与 y =求这条抛物线的函数关系式．1 x2 相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），2例 2 、?在同一平面直角坐标系画出函数由图象思考下列问题：、 、 的图象.（1） 抛物线（2） 抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？ 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（3） 抛物线 ，（4） 抛物线 与与 的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？同 有什么关系？例 3、已知二次函数 y = 8x 2 - (k - 1)x + k - 7 ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式．变式训练：1、已知函数 y =1 x 2 ， y = x 2 + 3 ， y = x 2 - 2 ．1 13 3 3（1）分别画出它们的图象； （2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数 y =1 x 2 3+ 5 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．1 12、不画图象，说出函数 y = - x 24+ 3 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数 y = - x 24通过怎样的平移得到的．3、若二次函数 y = ax 2 + 2 的图象经过点（-2，10），求 a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？题型二： y = a(x - h)2 的图象和性质例 1、不画出图象，你能说明抛物线 y = -3x 2 与 y = -3(x + 2)2 之间的关系吗?例 2、已知函数 y = - 1x 2 ， y = - (x + 1)2 ， y = - (x - 1)2 ．1 12 2 2（1） 在同始终角坐标系中画出它们的图象；（2） 分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 分别争辩各个函数的性质．例 3 、依据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 y = - 11 12y = - (x + 1)2 和 y = - (x - 1)2 ？ 2 2变式训练：x 2 得到抛物线1、函数 y = -3(x + 1)2 ，当 x 时，函数值y 随 x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值， 最 值 y= ．2、不画出图象，请你说明抛物线 y = 5x 2 与 y = 5(x - 4)2 之间的关系．3、将抛物线 y = ax 2 向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求a 的值．题型三： y = a( x - h) 2 +k 的图象和性质例 1、把抛物线 y = x 2 + bx + c 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线 y = x 2 ，求b、c 的值．例 2、把抛物线 y = -3 x 2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，所得的抛物线的函数关系式2为 ．例 3、在同始终角坐标系中，画出下列函数的图象．y = -3x 2 ， y = -3(x + 2)2 ， y = -3(x + 2)2 - 1 ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．变式训练：1、抛物线 y = 1 + 2x -单位而得到．1 x 2 可由抛物线 y = - x 2 向 平移 个单位，再向 平移 个12 22、将抛物线 y = - x 2 + 2x + 5 先向下平移 1 个单位，再向左平移 4 个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3、将抛物线 y = -1 x 23 1+ x + 如何平移，可得到抛物线 y = - x 2 + 2x + 3 ？2 2 24、抛物线 y = -3x 2+ bx + c 是由抛物线 y = -3x 2- bx + 1 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位得到的，求b、c 的值．题型四、 y = ax 2+ bx + c 的图象和性质例 1、通过配方，确定抛物线 y = -2x 2 + 4x + 6 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．例 2、已知抛物线 y = x 2 - (a + 2)x + 9 的顶点在坐标轴上，求a 的值．1 5例 3、已知抛物线 y = x 2 - 3x + ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．2 2例 4、利用配方法，把下列函数写成 y = a(x - h)2 +k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1） y = -x 2+ 6x + 1 （2） y = 2x 2- 3x + 4（3） y = - x 2+ nx （4） y = x 2+ px + q变式训练：1、（1）二次函数 y = - x 2- 2x 的对称轴是 ．（2） 二次函数 y = 2x 2 - 2x - 1的图象的顶点是 ，当 x 时，y 随 x 的增大而减小．（3） 抛物线 y = ax 2- 4x - 6 的顶点横坐标是-2，则a = ．12、抛物线 y = ax 2+ 2x + c 的顶点是( ,-1) ，则a 、c 的值是多少？33、已知 y = (k + 2)xk 2+2k -6 是二次函数，且当 x > 0时，y 随 x 的增大而增大．（1） 求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．4、当a < 0时，求抛物线 y = x 2+ 2ax + 1 + 2a 2 的顶点所在的象限．5、已知抛物线 y = x 2 - 4x + h 的顶点A 在直线 y = -4x - 1上，求抛物线的顶点坐标．题型五、 y = ax 2+ bx + c 的最大或最小值例 1、求下列函数的最大值或最小值：（1） y = 2x 2- 3x - 5 ； （2） y = - x 2- 3x + 4 ．x（元）130150165y（件）705035例 2、某产品每件成本是 120 元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？ 此时每日销售利润是多少？例 3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利40 件，为了扩大销售，增加盈利，尽快削减库存，商场打算实行适当的降价措施，经过市场调查发觉，假如每件衬衫每降价1 元，商场平均每天可多售出 2 件．（1）若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元。