1,小结 思考题 作业,函数极限的性质,函数在无穷远点的极限,函数在一点的极限,,,,,第三节 函数的极限,第一章 函数与极限,2,一、函数在无穷远点(infinite point)的极限,设对充分大的x,,函数 处处有定义.,如果随着x的无限增大,,相应的函数 就,无限接近某一常数 A.,由此可引入函数在,无穷远处的极限概念.,以下分别用记号,表示,无限增大的过程.,x 趋向于负无穷,x 趋向于无穷,x趋向于正无穷,3,用数学语言刻划,问题,表示,表示,无限增大.,1. 定义,定义1,记作,或,无限接近、,4,2. 另两种情形,5,,解,显然有,可见,和,虽然都存在,,但它们不相等.,6,如果在x的某种趋向下,,并不无限接近,一个常数,,则称:,在x的该种趋向下,例,当|x|无限增大时,,都不无限接近一个常数,,因此,都不存在.,不存在.,7,,,,,,,,,,,图形,完全落在:,,,,8,,例,证,要使,成立.,只要,有,解不等式,,,9,,,练习,试证,证,注意,有,为了使,只要使,有,的图形的,水平渐近线(horizontal asymptote).,结论,则直线,10,用数学语言刻划,问题,无限接近,于确定值A.,二、函数在一点(one-point)的极限,,,,11,1.定义,定义2,设函数,有定义.,记作,或,恒有,在点x0某去心邻域内,12,(1) 定义中的,所以,f (x)有没有极限与f (x)在点x0,是否有定义并无关系.,(2) 定义中 标志x接近x0的程度,,也将越小.,(3) 不要求最大的,表示,它与,一般地说,,越小,,只要求 存在即可.,有关.,13,,必存在x0的去心邻域,对于此邻域内的 x,,对应的函数图形位于这一带形区域内.,作出带形区域,,,,,,,,,,,,14,,一般说来,,应从不等式,出发,,推导出应小于怎样的正数,,这个正数就是要找的与 相对应的,这个推导常常是困难的.,但是, 注意到我们不需要找最大的,所以,适当放大些,,的式子,,变成易于解出,找到一个需要的,找到,就证明完毕.,可把,15,,,例,证,例,证,任,16,,例,证,函数在点,处没有定义.,要使,17,例,证,min,,可用,保证,18,,练习,(1) 证明,证,由于,要使,解出,只要,可取,有,解不等式,,19,(2) 证明,证,可取,有,同样有,(自己证).,20,3. 左、右极限(单侧极限),例如,,两种情况分别讨论!,,,21,左极限,右极限,或,或,或,或,22,,且,性质常用于判断分段函数当x趋近于,分段点,时的极限.,23,试证函数,证,左、右极限不相等,,故,例,24,左、右极限存在,,证,故极限不存在.,例,但不相等,,讨论,的存在性.,,,25,,练习,设函数,答案,总结一下,x的趋向一共有六种:,26,函数极限与数列极限相比,有类似的性质,,定理1(极限的唯一性),有极限,,若在自变量的某种变化,趋势下,,则极限值必唯一.,定理2(局部有界性),f(x)有极限,,则f(x)在 上有界;,f(x)有,极限,,且证明方法也类似.,三、函数极限的性质,27,,定理3(局部保号性),证,(1) 设A>0,,取正数,即,,,有,自己证,,28,只要取,便可得更强的结论:,证,(1),也即,(2),自己证.,定理3 (1)的证明中,,不论,定理,29,,,证,假设上述论断不成立,,那末由(1)就有,在该邻域内,这与,所以,类似可证 的情形.,假设矛盾,,若定理3(2)中的条件改为,必有,不能!,如,思考,是否,定理3,30,,,,,定理4(函数极限与数列极限的关系),如果极限,存在,,为函数,的定义域内任一收敛于x0的数列,,那么相应的函数值数列,且满足:,必收敛,,且,证,设,则,有,故对,有,,有,即,★,31,,以上定理也适用于其它极限过程,等(包括单侧极限),,其结论只,需根椐其极限过程,,的自变量范围.,改动使不等式成立,和,32,1. 函数极限的,或,定义;,2. 函数极限的性质,局部保号性;,四、小结,唯一性;,局部有界性;,函数极限与数列极限的关系;,3. 函数的左右极限判定极限的存在性.,33,思考题,( A) 先给定 后唯一确定 ;,极限定义中 与 的关系是( ).,( C) 先确定 后给定 ;,(D) 与 无关.,B,(1),( B) 先确定 后确定 ,但 的值不唯一;,34,(B) 存在但不一定有,(C) 不一定存在;,(D) 一定不存在.,(A) 存在且,C,35,,,(3),试证,[提示],仅需在,附近讨论问题,,如限定,即限定在,范围内,讨论问题.,这时,36,作业,习题1-3 (37页),1.(1) (3) 2.(2) 3. 5. 8.,。