二、 导数应用二、 导数应用习题课一、 微分中值定理及其应用一、 微分中值定理及其应用机动目录上页下页返回结束中值定理及导数的应用第三三章拉格朗日中值定理)()(bfaf=一、 微分中值定理及其应用一、 微分中值定理及其应用 1. 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系罗尔定理0)(=′ξfxyoab)(xfy =ξ)()( )()()()( ξξ Ff aFbFafbf ′′=−−abafbff−−=′)()()(ξ)()()( bfafxxF ==1 0) 1( ! ) 1( 1))((++ +−+nn nxxfξ柯西中值定理xxF=)(ξxyoab)(xfy= 泰勒中值定理))(()()(000xxxfxfxf−′+=nn nxxxf))((00)( !1−++?0=n机动目录上页下页返回结束2. 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态(2) 证明恒等式或不等式(3) 证明有关中值问题的结论机动目录上页下页返回结束3. 有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思维逆向思维 , 设辅助函数 .一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用 柯西中值定理柯西中值定理 . 必须多次应用多次应用 中值定理中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当适当放大放大或缩小缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 .机动目录上页下页返回结束例例1. 设函数在)(xf),(ba内可导, 且,)(Mxf≤′证明在)(xf),(ba内有界. 证证: 取点, ),(0bax ∈再取异于0x的点, ),(bax∈对xxxf,)(0在以为端点的区间上用拉氏中值定理, 得))(()()(00xxfxfxf−′=−ξ)(0之间与界于xxξ))(()()(00xxfxfxf−′+=∴ξ00)()(xxfxf−′+≤ξ)()(0abMxf−+≤K=(定数)可见对任意, ),(bax∈,)(Kxf≤即得所证 .机动目录上页下页返回结束例例2. 设在)(xf] 1 ,0[内可导, 且,0) 1 (=f证明至少存在一点−=′)(ξf, ) 1 ,0(∈ξ使上连续, 在) 1 ,0(ξξ)(2 f证证: 问题转化为证.0)(2)(=+′ξξξff设辅助函数)()(2xfxx =ϕ显然)(xϕ在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 , ) 1 ,0(∈ξ使0)()(2)(2=′+=′ξξξξξϕff即有−=′)(ξfξξ)(2 f少存在一点机动目录上页下页返回结束例例3.,)(],[)(内可导，在，上连续在设babaxf,0ba >则当ax >时. )()(xgxf>证证: 令, )()()(xgxfx−=ϕ则; ) 1,, 1 ,0(0)()(−==nkak?ϕ)(0)()(axxn>>ϕ利用)(xϕ在ax =处的 n －1 阶泰勒公式得=)(xϕ)(xa时. )()(xgxf>0>nn axn)(!)()( −ξϕ定理定理.机动目录上页下页返回结束的连续性及导函数例例7. 填空题填空题(1) 设函数上连续，在),()(+∞−∞xf 的则)(xf其导数图形如图所示,机动目录上页下页返回结束单调减区间为;极小值点为;极大值点为.)(xf ′),0(),,(21xx−∞),(),0,(21∞+xx21, xx0=x提示提示:)(xf根据的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为;o2x1xyxox)(xf1x2xo)(xfx.在区间上是凸弧 ;),0(),,(21拐点为xx−∞))0(, 0( ,))(,( ,))(,(2211fxfxxfx提示提示:)()(xfxf′ ′的可导性及根据形在区间的正负作 f (x) 的示意图. 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图上可导，在),()((2)设函数+∞−∞xf的图形如图所示,机动目录上页下页返回结束),(),0,(21∞+xx)(xf′ ′o2x1xyx2x)(xf ′ ′1x]ln)1ln([)()(1xxxfxf−+=′例例8. 证明在x xxf)1 ()(1+=),0(∞+上单调增加.证证:)1ln()(ln1 xxxf+=]ln)1ln([xxx−+=]11ln)1ln([)11()(xxxxxfx +−−++=′∴令,ln)(ttF=在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理,机动目录上页下页返回结束]1 11[xxx−++) 10(1ln)1ln(+11故当 x > 0 时,,0)(>′ xf从而)(xf在),0(∞+上单调增.得例例9. 设在)(xf),(∞+−∞上可导, 且证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证证: 设)()(xfexx=ϕ则] )()([)(xfxfexx′+=′ϕ0>,0)()(>′+xfxf故)(xϕ在),(∞+−∞上连续单调递增, 从而至多只有一个零点 .又因,0>xe因此)(xf也至多只有一个零点 .思考思考: 若题中0)()(>′+xfxf改为,0)()(+>+xxxx证证: 设xxxxarctan)1ln()1 ()(−++=ϕ, 则0)0(=ϕ211)1ln(1)(xxx+−++=′ϕ)0(0>>x故0>x时, )(xϕ单调增加 , 从而0)0()(=>ϕϕx即)0(1arctan)1ln(>+>+xxxx思考思考: 证明) 10(arcsin)1ln( 11>ba有)()()(bfafbaf+x)(xϕ0)0(= 0 时,.) 1(ln) 1(22−≥−xxx证证: 令,) 1(ln) 1()(22−−−=xxxxf0) 1 (则=fxxxfln2)(=′0) 1 (=′ fxxfln2)(=′ ′,121 x++02) 1 (>=′ ′f32) 1(2)(xxxf−=′ ′ ′xx1−+, ) 1(2−−x法法1 由)(xf在1=x处的二阶泰勒公式 , 得=)(xf2) 1(!2) 1 (−′ ′xf3) 1(!3)(−′ ′ ′+xfξ2) 1( −= x3 32 ) 1(31−−+xξξxx在ξ, 0( >0≥故所证不等式成立 .与 1 之间)机动目录上页下页返回结束法法2 列表判别:,) 1(ln) 1()(22−−−=xxxxf0) 1 (=f2ln2)(1+−=′xxxxf0) 1 (=′ f,1ln2)(21++=′ ′xxxf02) 1 (>=′ ′ f32) 1(2)(xxxf−=′ ′ ′x )(xf ′ ′ ′)(xf ′ ′)(xf ′)(xf1)1,0(), 1(∞+0020−+ −++++ +,0)(0≥>xfx时故当即.) 1(ln) 1(22−≥−xxx机动目录上页下页返回结束法法3 利用极值第二判别法极值第二判别法.,0)(1的唯一根是易知=′=xfx的唯一为)(1xfx =∴故0) 1 (=f也是最小值 ,因此当0>x时,0)(≥xf即22) 1(ln) 1(−≥−xxx机动目录上页下页返回结束,) 1(ln) 1()(22−−−=xxxxf0) 1 (=f2ln2)(1+−=′xxxxf0) 1 (=′ f,1ln2)(21++=′ ′xxxf02) 1 (>=′ ′ f，极小点,0) 1 (>′ ′ f且1yox22) 1(ln) 1( −−−= xxxy例例15. 求)0()1arctan(arctanlim2≠+− ∞→ana nan n解法解法1 利用中值定理求极限原式)1(11lim22 +−+= ∞→na nan nξ之间）与在1(+na naξ221) 1(limξ++= ∞→a nnnna=机动目录上页下页返回结束解法解法2 利用泰勒公式令,arctan)(xxf=则,11)(2xxf+=′22)1 (2)(xxxf+−=′ ′)()0()0()0()(22 !21xoxfxffxf+′ ′+′+=∴)(2xox+=2lim n n∞→=原式)0()1arctan(arctanlim2≠+− ∞→ana nan n⎥⎦⎤+ ++⎢⎣⎡= ∞→22112)() 1(limnn nonnnaa=⎩⎨⎧+)]1([2nona⎭⎬⎫+++−)]) 1(1(1[2nona机动目录上页下页返回结束解法解法3 利用罗必塔法则)0()1arctan(arctanlim2≠+− ∞→ana nan n原式21arctanarctanlimxxb xax−= ∞→xt1=令20arctanarctanlimtt bt at−= →?=机动目录上页下页返回结束P1805 ; 7 ; 8 ; 10(2) , (3) ;11(1); 17机动目录上页下页返回结束作业作业。