[高一数学]人教版中职数学教材-基础模块上册全册教案[1-5章共41份教案]_小学教育-小学学案

人教版中职数学教材 基础模块上册全册教案 目 录 第三章 函数 ..................................................................................................................................... 1 3.1.1 函数的概念 ................................................................................................................... 1 3.1.2 函数的表示方法 ........................................................................................................... 5 3.1.3 函数的单调性 ............................................................................................................... 8 3.1.4 函数的奇偶性 ............................................................................................................. 13 3.2.1 一次、二次问题 ......................................................................................................... 17 3.2.2 一次函数模型 ............................................................................................................. 20 3.2.3 二次函数模型 ............................................................................................................. 24 3.3 函数的应用 .................................................................................................................... 28 第四章 指数函数与对数函数 ....................................................................................................... 30 4.1.1 有理指数(一) .............................................................................................................. 30 4.1.1 有理指数(二) .............................................................................................................. 34 4.1.2 幂函数举例 ................................................................................................................. 38 4.1.3 指数函数 ..................................................................................................................... 41 4.2.1 对数 ............................................................................................................................. 45 4.2.2 积、商、幂的对数 ..................................................................................................... 48 4.2.3 换底公式与自然对数 ................................................................................................. 52 4.2.4 对数函数 ..................................................................................................................... 54 4.3 指数、对数函数的应用 ................................................................................................ 57 第五章 三角函数 ........................................................................................................................... 60 5.1.1 角的概念的推广 ......................................................................................................... 60 5.1.2 弧度制 ......................................................................................................................... 64 5.2.1 任意角三角函数的定义 ............................................................................................. 67 5.2.2 同角三角函数的基本关系式 ..................................................................................... 71 5.2.3 诱导公式 ..................................................................................................................... 75 5.3.1 正弦函数的图象和性质 ............................................................................................. 80 5.3.2 余弦函数的图象和性质 ............................................................................................. 84 5.3.3 已知三角函数值求角 ................................................................................................. 87 第三章 函数 3. 1. 1 函 数 的 概 念 【教学目标】 1. 理解函数的概念，会求简单函数的定义域． 2. 理解函数符号 y＝f (x)的意义，会求函数在 x＝a 处的函数值． 3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点． 【教学重点】 函数的概念及两要素，会求函数在 x＝a 处的函数值，求简单函数的定义域． 【教学难点】 用集合的观点理解函数的概念． 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出函数概念，使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素．然后通过求函数值与定义域的两类题目，深化对函数概念的理解． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 1．试举出各类学过的一些函数例子． 2．初中函数定义 在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定一个 x 值，就相应地确定了唯一的 y 值，那么我们就称 y 是 x 的函数， 其中 x 是自变量， y 是因变量． 师： 事物都是运动变化的，如：气温随时间在悄悄变化；我国的国内生产总值在逐年增长等．在这些变化中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化．在数学中，我们用函数来描述两个变量之间的关系． 师：提出问题． 生：回忆解答． 师生共同回忆初中函数定义． 为知识迁移做准备．在阅读适量的例子后再回顾引出初中定义， 由具体到抽象，符合职校学生的认知能力． 新 课 一、函数概念 1. 问题 1 一辆汽车在一段平坦的道路上以 100 km/h 的速度匀速行驶 2 小时． （1）在这个问题中，路程、时间、速度这三个量，哪些是常量？哪些是变量？ （2）如何用数学符号表示行驶的路程 s学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题． 问题一、二是为突出本课重难点而设计． 深度挖掘教材提出的两个问题，在回顾了初中的函数知识性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 （km）与行驶时间 t（h）的关系？ （3） 行驶时间 t （h） 的取值范围是什么？ （4）对于行驶时间中的每一个确定的 t值，你能求出汽车行驶的路程吗？ （5）根据初中知识，关系式 s＝100 t （0≤t≤2）表示的是函数关系吗？ 2．问题 2 如果一个圆的半径用 r 表示，它的面积用 A表示． （1）你能用数学符号表示圆的面积 A与它的半径 r 之间的关系吗？ （2）在 A与 r 的关系式中，r 的取值范围是什么？ （3）关系式 A＝ r2（r＞0）表达的是一种函数关系吗？因变量是哪个量？自变量是哪个量？ 3．两个事实 4．函数概念 设集合 A 是一个非空的数集， 对 A 内任意实数 x，按照某个确定的法则 f，有唯一确定的实数值 y 与它对应，则称这种对应关系为集合 A 上的一个函数．记作：y＝f (x)．其中 x 为自变量，y 为因变量．自变量 x 的取值集合 A 叫做函数的定义域．对应的因变量 y 的取值集合叫做函数的值域． 5． 6．函数两要素：定义域和对应法则． 教师针对学生的回答进行点评． 师： 从问题 1 和问题 2 中，可以看到两个重要的事实： （1）在每个例子中都指出了自变量的取值集合； （2）都给出了对应法则．对自变量的一个值，都有唯一的一个因变量值与之对应． 教师引导学生学习函数的概念． 学生阅读课本函数概念，在理解的基础上记忆函数概念． 师：函数关系实质是非空数集到非空数集的对应关系． 师：函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定． 的基础上，进一步讨论自变量的取值范围，以及自变量与因变量的对应关系，为顺利引出函数定义做准备． 通过阅读讨论分析，利用学生原有知识结构． 结合问题 1、 2 的实例，降低对函数概念的理解难度． 分析两个实例， 归纳得出两个事实，为引出函数的概念做最后的准备． 用图形能更直观地表示两个重要事实． 借助问题 1、问题 2加深对函数概念的理解． 强调“集合 A 是一个非空的数集”、“法则”、“唯一”等关键词语． 使学生理解函数关系实质是非空数集到非空数集的对应关系． 使学生明确 A x． A x． f：对应法则 y. f：对应法则 .y. 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 要检验给定两个变量之间的关系是不是函数，只要检验： （1）定义域是否给出； （2）对应法则是否给出，并且根据这个对应法则，能否由自变量 x 的每一个值，确定唯一的 y 值． 例 1 判断下列图中对应关系是否是函数： 7．有关符号： (1) 函数 y＝f (x)也经常写作函数 f (x)或函数 f． (2) 也可以将 y 是 x 的函数记为 y＝g(x)，或者 y＝h(x)，等． 二、求函数值 函数 y＝f (x)在 x＝a 处对应的函数值 y，记作 y＝f (a)． 例 2 已知函数 f (x)＝12 x＋1． 求： f (0)，f (1)，f (－2)， f (a)． 解 f (0)＝10＋1＝1，f (1)＝12＋1＝13， f (－2)＝1－4＋1＝－13 ．f (a)＝12 a＋1． 学生讨论例题中的对应关系是否满足函数的定义，并解答之． 教师总结，一个自变量 x只能有唯一的 y 与之对应． 教师讲解函数符号的含义． 学生分组讨论求解的方法； 小组讨论后教师引导完成． 教师引导学生求函数值． （1） 函数值域不是函数的要素的原因； （2） 函数两要素的作用． 利用函数的两要素来判断两变量的关系是否是函数关系还需要在以后的学习中加以巩固． 通过本例，使学生进一步理解函数关系的实质． 在本节中首次引入了抽象的函数符号 f (x)， 学生往往只接受具体的函数解析式，而不能接受 f (x)，所以应让学生从符号的含义开始认识，这部分教师必须讲解清楚． 进一步加强学生对 f（a）的理解． A B 1 4 9 开平方 1 －1 2 －2 3 －3 A B 4 5 6 2 倍 8 10 12 A 1 －1 2 －2 1 4 5 6 B 平方 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 练习 1 教材 P61，练习 A 组第 2 题． 三、函数的定义域 函数关系式中，函数的定义域有时可以省略，如果不特别指明一个函数的定义域，那么这个函数的定义域就是使函数有意义的全体实数构成的集合． 例 3 求函数 y＝x+3x 的定义域． 解 要使已知函数有意义， 当且仅当 x＋3≥0x≠0 所以函数的定义域为 {x | x≥－3，x≠0}． 练习 2 教材 P61，练习 B 组第 2 题． 教师强调函数的定义域是一个集合． 总结求分式函数， 偶次根式函数的定义域的方法． 教师强调定义域的表示形式． 学生讨论求解． 求定义域题目不必过难，重点在理解定义域的概念． 小 结 1. 函数概念． 2. 两要素． 3. 函数符号． 4. 定义域． 师生合作． 梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结． 作 业 教材 P61，练习 A 组第 2(3)题； 练习 B 组第 2(3)题． 巩固拓展． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各3. 1. 2 函 数 的 表 示 方 法 【教学目标】 1. 了解函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法． 2. 已知函数解析式会用描点法作简单函数的图象． 3. 培养学生数形结合、分类讨论的数学思想方法，通过小组合作培养学生的协作能力． 【教学重点】 函数的三种表示方法；作函数图象． 【教学难点】 作函数图象． 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组讨论教学法．本节课先借助一个实例，简要介绍函数的三种表示方法，进一步刻画函数概念；然后通过两个例题，使学生初步感知如何由解析式分析函数性质以指导画图，避免画图的盲目性．通过本节教学，使学生初步了解数形结合研究函数的方法，为下面学习函数的单调性和奇偶性做铺垫． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 1．函数的定义是什么？ 2．你知道的函数表示方法有哪些呢？ 师：提出问题． 生：回忆思考回答． 为 知 识迁移做准备． 新 课 1．函数的三种表示方法： (1) 解析法 (2) 列表法 (3) 图象法 2．问题. 由 3.1.1 节的问题中所给的函数解析式 s＝100 t (0≤t≤2) 作函数图象． 解：列表(略)； 画图 学生阅读教材 P62，了解函数的三种表示方法． 师：函数的三种基本表示方法， 各有各的优点和缺点， 有时把这三种方法结合起来使用， 即由已知的函数解析式， 列出自变量与对应的函数值的表格， 再画出它的图象． 师： 你知道画函数图象的步骤是什么吗？ 生：第一步：列表；第二步：描点；第三步：连线． 师： 在问题及解答过程中， 我们分别用到了哪些函数的表示方法？ 生：解析法、列表法、图象法 这一部分内容简单，可采用阅读思考等方式进行教学，充分利用教材资源发挥学生的主动性． 培养学生勤于思考善于分析的意识和能力． 本题的性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 3．针对上面的例子，思考并回答下列问题： (1) 在上例描点时，是怎样确定一个点的位置的？哪个变量作为点的横坐标？哪个变量作为点的纵坐标？ (2) 函数的定义域是什么？ (3) s 的值能大于 200 吗？能是负值吗？为什么？函数的值域是什么？ (4) 距离 s 随行驶时间 t 的增大有怎样的变化？ 4．例 1 作函数 y＝x3 的图象． 解 列表 画图 5．结合例 1 完成下列问题： (1) 函数 y＝x3 的定义域、值域是什么？ (2) 函数值 y 随 x 的增大有怎样的变化？ (3) f(a)与 f(－a)相等吗？有怎样的关系？ (4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？ 教师引导学生利用函数图象分析回答函数的性质． 师：由上例可以看出，我们在列表、作图时，要认真分析函数，避免盲目列表计算． 函数的图象有利于我们研究函数的性质， 如本例中函数的定义域、值域以及 y 随 x增大而增大等性质． 教师引导学生分析： 函数 y＝x3 的定义域是 R，当 x＞0 时，y＞0，这时函数的图象在第一象限，y 的值随着 x 的值增大而增大； 当 x＜0 时， y＜0，这时函数的图象在第三象限， y 的值随着 x 的值减小而减小． 教师引导学生完成列表、 描点及连线，完成函数图象． 师生合作完成例 1， 让学生体会取值前如何分析研究函数式的特点． 学生分组讨论完成， 从讨论中掌握分析函数性质的方法． 设置起到了承上启下的作用． 为突破本节课难点而设计．问题(4)为下节引入函数的单调性做准备． 让学生在作图过程中体会函数的性质，从做中学． 尽可能把主动权交给学生，使学生在自主探索中发现问题解决问题． 问题(3)(4) 的设置是为引入函数的奇偶性作准备． 避免为作图象而作性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 6．例 2 作函数 y＝1x2 的图象． 解 列表 画图 7．结合例 2 解答下列问题： (1) 函数 y＝1x2 的定义域、值域是什么？ (2) 在第一象限中， 函数值 y 随 x 的增大有怎样的变化？在第二象限中呢？ (3) f (a)与 f (－a)相等吗？有怎样的关系？ (4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？ 学生小组合作分析课本例 2如何取值． 学生作出例 2 图象，教师针对出现的情况进行点评或让学生互评． 教师强调自变量的取值，即 {x | x≠0}． 学生分组讨论完成， 从讨论中掌握分析函数性质的方法． 图象，让学生在画图的过程中学习． 让学生进一步掌握分析函数性质的方法．并为下一步学习函数的单调性与奇偶性做准备． 小 结 1. 函数的三种表示方法． 2. 作函数图象． 学生畅谈本节课的收获， 老师引导梳理，总结本节课的知识点． 梳 理 总结也可针对学生薄弱或易错处进行强 调 和 总结． 作 业 教材 P65 ，练习 A 组第 3 题； 练习 B 组第 2 题． 巩 固 拓展． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各3. 1. 3 函 数 的 单 调 性 【教学目标】 1．理解函数单调性的概念，掌握判断函数的单调性的方法． 2．通过教学，使学生领会数形结合的数学方法；培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力． 3．体验数学的严谨性，渗透由一般到特殊的辩证唯物主义观点． 【教学重点】 函数单调性的概念；学会运用图象法观察函数的单调性和用定义法证明一些函数的单调性． 【教学难点】 利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性． 【教学方法】 这节课主要采用类比教学法和分组教学法．教师用问题引导学生从函数图象的变化趋势类比得出增减函数的概念，然后对图象进行代数分析，得出用定义证明函数单调性的步骤．从形的直观感知到严密的代数分析，使学生领会数形结合研究函数的方法．借助两个证明题，深化学生对单调性概念的理解． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 从常见的美丽的建筑物图片入手，让学生感知数学的美，激发学生的学习兴趣． 师：播放动画，师生共同欣赏后，引导学生观察部分曲线的变化趋势，引入课题． 联系实际， 激发兴趣． 新 课 1．课件展示下列函数图象 2．增函数与减函数的定义： 师：提出问题，引导观察思考： 1． 观察图象的变化趋势怎样？ 2． 你能看出当自变量增大或减少时函数值如何变化吗？ 生：观察动画，思考回答． 教师引导学生归纳 从图象直观感知函数的单调性． 通过观察函数图y＝f(x) x y O A B f(x1) f(x2) x1 x2 y＝f(x) x y O A B f(x1) f(x2) x1 x2 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 增函数：在给定的区间上自变量增大( 减少) 时，函数值也随着增大( 减少) ． 减函数：在给定的区间上自变量增大( 减少) 时，函数值也随着减少( 增大) ． 3．例 1 给出函数 y＝f (x)的图象，如图所示，根据图象指出这个函数在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？ 解 函数 y＝f (x)在区间[－1， 0]，[2，3]上是减函数；在区间[0，1]，[3，4]上是增函数． 4．练习 1 (1) 观察教材 P64 例 1 的函数图象，说出函数在(－∞，＋∞)上是增函数还是减函数； (2) 观察教材 P65 例 2 的函数图象，分别说出函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数还是减函数． 5．设 y＝f (x)，在给定的区间上，它的图象如图． 在此图象上任取两点 A(x1， y1)，B(x2，y2)，记 增函数与减函数的定义． 学生观察图象完成此题，掌握用图象来判断函数单调性的方法． 教师强调，在说明函数单调性时，要指出明确的区间． 学生回答，教师点评． 教师带领学生结合增函数图象分析如何利用函数的解析式来判断一个函数是增函数． 象直接给出增函数、减函数的定义，符合学生的特点，容易被学生接受． 从观察直观图象入手，加深对单调性定义的理解，掌握用图象法判定函数单调性的方法，使学过的知识及时得到应用． 通过练习 1，让学生进一步掌握利用函数的图象来判断函数单调性的方法，从而提高学生的读图能力，并与前面学过的知识结合，对学过的函数有更新的认识． 将增函数、减函数定义中的定性说明2 3 x 1 4 -1 o y y＝f(x) x y O A B f(x1) f(x2) x1 x2 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课  x＝x2－x1， y＝y2－y1． 6．例 2 证明函数 f (x)＝3 x＋2在区间(－∞， ＋∞)上是增函数． 证明 设 x1，x2是任意两个不相等的实数，则  x＝x2－x1  y＝f (x2)－f (x1) ＝(3 x2＋2)－(3 x1＋2) ＝3(x2－x1)， 学生类比分析如何利用函数的解析式来判断一个函数是减函数． 教师指出利用函数图象判断单调性的局限性，引导学生从函数解析式入手证明单调性的思路与步骤． 教师讲解例题 2，板书详细的解题过程． 转化为定量分析．从而给出利用函数解析式来判断函数单调性的方法． 启发学生思考，完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华． 在板书例题的过程中，突出解题思路与步骤． 通过例题解答，加深对函数单调性定义的理解，并自然而然地将定义运用到判定函数单调性中，理论与实践相辅相成． 增函数 自变量增大( x＞0)，函数值增大( y＞0)．  y x ＞0 减函数 自变量增大( x＞0)，函数值增大( y＜0)．  y x ＜0 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课  y x ＝3(x2－x1)x2－x1 ＞ 0． 因此，函数 f (x)＝3 x＋2 在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 7． 总结由函数的解析式判定函数单调性的步骤： S1 计算  x 和  y； S2 计算 k＝ y x ． 当 k＞0 时， 函数在这个区间上是增函数； 当 k＜0 时， 函数在这个区间上是减函数． 8．例 3 证明函数 f (x)＝1x 在区间(0，＋∞)上是减函数． 证明：设 x1，x2是任意两个不相等的正实数． 因为  x＝x2－x1，  y＝f(x2)－f(x1)＝1x2 －1x1 ＝2121xxxx  ＝－2112xxxx ＝－21xxx． 又因为 x1 x2＞0， 所以  y x ＝－211xx＜0． 因此，函数 f (x)＝x1 在区间(0，＋∞)上是减函数． 9．练习 2 证明函数 f (x)＝ 3x 在区间 (－∞，0)上是减函数． 教师引导学生总结解题步骤，可简记为： 一设、二求、三判定． 学生讨论并试解例题．老师点拨、解答学生疑难． 学生模仿练习． 突出重点，深化证明步骤，分解难点． 通过学生讨论、老师点拨，顺利帮助学生判断 y x 的正负． 巩固用函数解析式来判定单调性的思路和步骤． 巩固理解，形成技能． 小 结 1. 函数单调性的定义； 2. 判定函数单调性的方法． 学 生 阅 读 课 本P66～68， 畅谈本节课的收获． 老师引导梳理，总梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各结本节课的知识点． 作 业 教材 P 69，练习 A组第 2 题； 练习 B组第 1、2 题． 巩固拓展． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各3. 1. 4 函 数 的 奇 偶 性 【教学目标】 1. 理解奇函数、偶函数的概念；掌握奇函数、偶函数的图象特征． 2. 掌握判断函数奇偶性的方法． 3. 通过教学，渗透数形结合思想，培养学生类比推理的能力，体会由具体到抽象、由特殊到一般的辩证唯物主义思想． 【教学重点】 奇偶性概念与函数奇偶性的判断． 【教学难点】 理解奇偶性概念与奇函数、偶函数的定义域． 【教学方法】 这节课主要采用类比教学法．先由两个具体的函数入手，引导学生发现函数 f(x)在 x 与在－ x 的函数值之间的关系，由特殊到一般引出奇函数的定义，再由点的对称关系得出奇函数的图象特征．然后由学生自主探索，类比得出偶函数定义．结合定义与例题总结出判断函数奇偶性的步骤，在解题过程中深化对概念的理解． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 复习前面所学求函数值的知识． 教师提出问题，学生回答． 为学生理解奇、偶函数的定义做好准备． 新 课 已知：函数 f (x)＝2 x 和 g (x)＝14 x3． 试求当 x＝±3， x＝±2， x＝±1， …，时的函数值，并观察相应函数值的关系． 发现规律： 对定义域 R 内的任意一个x，都有 f (－x)＝－f (x)；g(－x)＝－g(x)． 证明： f (－x)＝2 (－x)＝－2 x＝－f(x)； g (－x)＝14 (－x)3＝－14 x3＝－g(x)． 一、奇函数 1. 定义． 如果对于函数 y＝f (x)的定义域 A内的任意一个 x 都有 f (－x)＝－f (x)， 学生计算相应的函数值． 教师引导学生发现规律， 总结规律：自变量互为相反数时，函数值互为相反数． 老师引导学生给出证明． 教师通过引例， 归纳得到奇函数定义． 由特殊到一般，发挥学生自主性． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 则这个函数叫做奇函数． 2. 图象特征． 课件展示函数 f (x)＝2 x 和 g (x)＝14 x3的图象，动画展示对称性． 奇函数的图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形． 一个函数是奇函数的充要条件是，它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形． 例 1 判断下列函数是不是奇函数： (1) f (x)＝1x； (2) f (x)＝－x3； (3) f (x)＝x＋1；(4) f(x)＝x＋x3＋x5＋x7． 解 (1) 函数 f (x)＝1x 的定义域 A＝{x | x ≠ 0}， 所以当 x  A时，－x  A． 因为 f (－x)＝1－x＝－1x＝－f (x)， 所以函数 f (x)＝1x 是奇函数． (2) 函数 f (x)＝－x3 的定义域为 R， 所以当 x  R 时，－x  R． 因为 f(－x)＝－(－x)3＝x3＝－f (x)， 所以函数 f (x)＝－x3 是奇函数． (3) 函数 f (x)＝x＋1 的定义域为 R， 所以当 x  R 时，－x  R． 因为 f (－x)＝－x＋1 －f (x)＝－( x＋1)＝－x－1， 所以 f (－x)≠－f (x)． 师：播放动画． 生：观察动画，回顾轴对称、中心对称图形的定义． 观察函数 f (x)＝2 x 和 f (x)＝14 x3的图象，它的对称性如何？ 总结奇函数的图象特征． 教师出示例题． 教师首先请学生讨论：判断奇函数的方法． 学生尝试解答例题(1) ，对学生的回答给以补充、 完善， 师生共同总结判断方法： S1 判断当 x A时，是否有－x  A， 即函数的定义域对应的区间是否关于坐标原点对称； S2 当 S1 成立时，对于任意一个 x A， 若 f(－x)＝－f(x)， 则函数 y＝f(x)是奇函数． 板书解题过程； 其间穿插师生问答． 提高学生的读图能力，渗透数形结合的数学思想． 在奇函数的定义中定义域对应的区间关于坐标原点对称是学生思维的难点. 本环节为突破这一难点而设计． 通过分组讨论探究，使学生深刻理解定义中隐含的对定义域的要求． 例题根据各种不同情况进行设计，作了层次处理． 在教师引导讲解例题后紧跟相应练习，使学生对每一类型都有比较深刻印象，符合学生认知心理，为学生更好地掌握定义奠定基础． 规范解题步骤, 使学生模仿形成技能． 通过例题与练习的解答，加深对y x O (x，f (x)) (-x，f (-x)) 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 所以函数 f (x)＝x＋1 不是奇函数． (4) 函数 f (x)＝x＋x3＋x5＋x7的定义域为 R，所以当 x  R 时，－x  R． 因为 f (－x)＝－x－x3－x5－x7 ＝－( x＋x3＋x5＋x7) ＝－f (x)． 所以函数 f(x)＝x＋x3＋x5＋x7是奇函数． 练习 1 教材 P 73，练习 A 组 第 1 题． 二、偶函数 1. 定义． 如果对于函数 y＝f (x)的定义域 A内的任意一个 x 都有 f (－x)＝f (x)， 则这个函数叫做偶函数． 2. 图象特征． 偶函数的图象都是以y轴为对称轴的轴对称图形． 一个函数是偶函数的充要条件是，它的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形． 例 2 判断下列函数是不是偶函数： (1) f (x)＝x2＋x4； (2) f (x)＝x2＋1； (3) f (x)＝x2＋x3； (4) f (x)＝x2＋1，x－1，3 . 解 (2) 函数 f (x)＝x2＋1 的定义域为 R， 所以当 x  R 时，－x  R． 因为 f (－x)＝(－x)2＋1 ＝x2＋1＝f (x)， 所以函数 f (x)＝x2＋1 是偶函数． (4) 因为 2－1，3 ，－2－1，3 ， 老师强调，引起学生重视． 学生模仿练习． 学生探究：偶函数． 师：结合函数 f (x)＝x2的图象，出示自学提纲： 1. 偶函数的定义是什么？ 2. 偶函数的图象有什么特征？一个函数是偶函数的充要条件是什么？ 3. 偶函数对定义域的要求是什么？ 生：自学教材 P71~72——偶函数的有关内容， 每四人为一组， 讨论并回答自学提纲中提出的问题． 师： 以提问的方式检查学生自学情况， 订正学生回答的问题答案，并出示各知识点． 给学生以赏识性评价． 师：出示例题． 生：分析解题思路．在黑板上解答(1)(2)(3) ． 师：引导学生订正黑板上的答案， 规范解题过程， 梳理解奇函数定义的理解，并将定义运用到解题中． 通过类比、自学，培养学生的理性思维，提高学生的学习能力，加强学生间的合作交流． 在掌握了奇函数判断方法的基础上，放手让学生自己去进行偶函数的判断，提高学生举一反三解决问题的能力． 根据学生做题情况，了解学生对x O (x，f (x)) (-x，f (x)) y 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 所以函数 f (x)＝x2＋1， x－1， 3 不是偶函数． 3. 对定义域的要求 一个函数为奇函数或者偶函数的前提条件是这个函数的定义域关于原点对称． 练习 2 判断下列函数是不是偶函数： (1) f (x)＝(x＋1)(x－1)； (2) f (x)＝x2＋1，x (－1，1]； (3) f (x)＝1x2－1． 题步骤． 教师结合图象讲解(4)． 对比(2)，(4)的解题过程，发现判断函数奇偶性时， 所给定义域的重要性． 结合函数的图象强调定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的前提． 学生模仿练习； 师生统一订正． 本节课知识的掌握情况． 小 结 1. 函数的奇偶性 定义 图象特征 奇函数 偶函数 2. 判断函数奇偶性的步骤： S1 判断当 x A 时，是否有 －x A ； S2 当 S1 成立时，对于任意一个x A： 若 f (－x)＝－f (x)， 则函数 y＝f (x)是奇函数； 若 f (－x)＝f (x)， 则函数 y＝f (x)是偶函数． 1. 学生读书、反思： 读教材 P 69～73——函数的奇偶性，总结本节课收获． 2. 教师引导梳理 (1)出示表格，学生填表，巩固所学内容． (2)总结判断一个函数奇偶性的步骤． 通过对比，加深理解，强化记忆． 梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结． 作 业 教材 P74 ，习题第 5 题； 第 6 题(选做) ． 学生课后完成． 巩固拓展． x y 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各3. 2. 1 一 次 、 二 次 问 题 【教学目标】 1. 通过实际问题感知一次、二次函数在实际生活中的应用． 2. 培养学生从实际问题中抽象出数学模型并应用模型去解决实际问题的能力． 3. 通过教学，培养学生应用数学的意识，提高学生分析问题、解决问题的能力． 【教学重点】 从实际问题中抽象简单的数学模型． 【教学难点】 从实际问题中抽象简单的数学模型． 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法．教师引导学生对实际问题先用列表计算与画图的方法来直观感知，然后抽象成一次函数和二次函数来研究，通过教学，培养学生从实际问题中抽象出一次、二次函数模型并应用模型去解决实际问题的能力． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 1．分别写出一次函数、二次函数的一般形式． 2．函数分类： (1) y＝3 x； (2) y＝－3 x－2； (3) y＝x2－3 x－4；(4) y＝－x2－2 x＋3． 生：同桌交流，合作完成． 师： 引导学生观察这四个关系式的等号右边， 如果要将这些函数进行分类， 如何分类比较合理？引入课题． 唤醒对旧知识的记忆． 新 课 例 用长为 20 m 的绳子围成一个矩形，写出两边长之间的函数关系. 想想看，两边长各是多少时，围成的矩形面积最大？ 1．试填下面的表格( 见课件) ． 2． 设矩形的一边长为 x m， 另一边为 y m，能用含 x 的代数式来表示 y 吗？ 3．x 的值可以任意取吗？有限定范围吗？ 结论： y＝10－x (0 ≤x≤10) 是一次函数． 4． 又设矩形的面积为 S， 我们发现 S 是 x 的函数，试写出这个函数的关系式． 师：投影例题． 师： 提出问题， 引导学生分组交流，合作完成前 3 个问题． 生： 分组交流， 合作完成． 然后每个小组都汇报交流结果， 如果有疑义，其他小组可以补充，最后教师给出正确结论． 对于第 4、5 步师生共同分析， 教师首先引导学生从表格中找到当 x＝5 时，矩形面积最大对于求最值的问题，历来是学生的难点，不知从何处入手，为了突破这一难点， 把该题进行了分解， 分为5 个小问题．这样可降低学生分析问题的难度． 同时让学生进一步掌握函数的第一种表示法：列表法． 从表格直观感知面积的最值． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 5．从表中得出 x( x 为整数) 为多长时，矩形面积获得最大值？ 6． 作函数图象， 从图象中求出当 x 为何值时，面积有最大值． 基本步骤：列表、描点、连线． 结论： 当矩形的一边小于 5 m 时，函数值随边长增加而增加； 当矩形的一边等于 5 m 时，矩形面积获得最大值； 当矩形的一边大于 5 m 时，函数值随边长增加而减小． 7．用配方法分析，当 x 为何值时，面积有最大值． S＝x(10－x) ＝－x2＋10 x ＝－(x2－10 x) ＝－(x2－10 x＋25－25) ＝－[(x－5)2－25] ＝－(x－5)2＋25． 所以当 x＝5 时， 矩形面积获得最大值． 结论： S＝a(x＋b2 a)2＋4 a c－b24 a． 当 x＝－b2 a 时，函数有最值4 a c－b24 a． 是 25． 学生依据上面的表格画出函数的图象． 教师首先引导学生关注图象的最高点，得出 x＝5 时矩形面积最大是 25． 教师进一步引导学生观察图象，得出函数值的变化趋势． 师生共同解决． 教师引导学生关注配方法的几个关键地方． 教师引导学生回忆得出二次函数配方后的形式． 从图象直观感知面积的最值．同时让学生进一步掌握函数的第二种表示法：图象法．培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和读图能力． 从解析式直观感知面积的最值．同时让学生进一步掌握函数的第三种表示法：解析法． 培养学生用多种方法分析问题、解决问题的能力． 形式中当 x＝－b2 a 时， 函数有最值的理解是难点，此处的设计目的是为了突破学生这一思维障碍．加深对配方法的理解． 20 O 5 10 10 x S 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 练习 1 求自变量 x 为何值时， 函数取得最大值或最小值？ (1) f (x)＝－x2＋3； (2) f (x)＝－x2－8； (3) f (x)＝x2－5； (4) f (x)＝－(x－5)2－3． 练习 2 求自变量 x 为何值时，函数取得最大值或最小值． (1) f (x)＝x2－2 x－3； (2) f (x)＝－x2＋4 x－8． 学生抢答． 学生自行解决， 教师巡视并加以指导，同时有两名学生板演． 通过练习 1、2，让学生逐步掌握利用配方法来研究二次函数．同时进一步培养学生细心观察、分析问题的能力． 小 结 1．进一步熟悉用列表、画图或公式来表示某个函数关系． 2．用配方法求自变量 x 为何值时，函数取得最值． 学生阅读课本畅谈本节课的收获， 老师引导梳理， 总结本节课的知识点． 梳理总结，也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结． 作 业 教材 P77，练习 A 组第 1 题； 练习 B 组第 1、2(选做)题． 巩固拓展． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各3. 2. 2 一 次 函 数 模 型 【教学目标】 1. 掌握正比例函数和一次函数的关系；理解并掌握一次函数的性质． 2. 培养学生数形结合研究函数性质的能力，渗透平移变换的数学思想． 3. 体验数学的严谨性，培养学生理性分析问题的良好习惯． 【教学重点】 一次函数的性质． 【教学难点】 对正比例函数和直线的关系的理解． 【教学方法】 这节课主要采用讲练结合法．先定义一次函数，对特殊的一次函数——正比例函数，则采用由曲线与方程的角度来描述正比例函数与直线的关系，然后再考察一次函数与正比例函数的关系，从而得出一次函数的图象也是一条直线的结论，并结合函数的单调性深入分析一次函数的性质，将学生初中对具体的一次函数的认识上升到一般的理性结论. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 1. 一次函数的概念： 函数 y＝ (k，b 为常数，k )叫做一次函数． 当 b＝ 时，函数 y＝k 叫做正比例函数． 2. 在直角坐标系中作出 y＝3 x 的图象． 教师屏幕显示内容，学生合作完成． 结论： 正比例函数是特殊的一次函数． 师：函数 y＝3 x 的图象是一条直线吗？ 教师引导学生在复习旧知识的同时，让学生自主探索新知识，激发学生获取新知的动力． 新 课 一、正比例函数 y＝k x 的图象是什么形状？ 以具体函数 y＝3 x 为例， 令 x＝0，则 y＝0，所以函数 y＝3 x的图象过点 O(0，0)．又 x＝1，y＝3 是方程的另一个解，作点 A(1，3)，过这两个点 O，A 作直线 OA． 师： 你是怎么做出 y＝3 x的图象的？ 生：列表，描了两个点，连线． 师：由方程 y＝3 x 的两个解我们做出了直线 OA，那么方程 y＝3 x 的所有解都在直线 OA 上吗？反过来，这条直线上的所有点都满足 y＝3 x 吗？ 即方程 y＝3 x 的解与直线 OA 上的点是一一对应的吗？ 由学生的作图过程引发学生思考，然后在教师的问题引导下，从曲线与方程的角度来描述正比例函数 y＝3x 与直线 OA的关系； 画出示意图使学生更容易明确正比例函数y＝3x与直线OA上的点的一一对应关系． -2 -4 -3 O 2 -1 y=3x P A 1 x  2  1 1 2 3 4 y 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 我们来说明直线 OA 是正比例函数 y＝3 x 的图象． (1) 设点 P(x，y) 为直线 OA 任一点，用相似三角形的知识说明点 P(x，y)也满足函数关系式 y＝3 x． (2) 以方程 y＝3 x 的解为坐标的点 P(x，y)一定在直线 OA 上． 二、一次函数与正比例函数图象关系 例 1 在同一直角坐标系内作出下列函数 y＝x，y＝x＋2，y＝x－2 的图象． 步骤：列表、描点、连线． 观察与比较 正比例函数 y＝x 与一次函数 y＝x＋2，y＝x－2 图象有什么异同？ 填空 这 三个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 ，函数 y＝x的图象经过原点，函数 y＝x＋2 的图象与 y 轴交于点 ，即它可以看作由直线 y＝x 向 平移 个单位长度而得到．函数 y＝x－2 的图象与 y 轴交于点 ，即它可以看作由直线 y＝x 向 平移 个单位长度而得到． 讨论 (1) 一次函数 y＝k x＋b 的图象与 正比例函数 y＝k x 图象有什么关系？ (2) 一次函数 y＝k x＋b 的图象与x， 这一部分，教师结合图示， 用简洁明了的语言讲解二者之间的关系．学生了解即可，不宜过多强调． 师： 正比例函数的图象是直线， 那么一次函数的图象也是一条直线吗？它们的图象之间有什么关系呢?一次函数又有什么性质呢？ 师：出示观察与比较，提示学生， 相同点可从图象形状和倾斜度上分析． 不同点可从三条直线的位置关系等方面． 生：观察图象，小组合作讨论． 然后每组选一名代表汇报各组的交流结果， 最后师生一起汇总得出结论． 师：动画演示． 学生讨论，得出结论． 从更高的层次上审视初中所学的一次函数，培养学生的理性思维以及思维的严密性． 通过例 1， 让学生进一步掌握利用列表描点，连线画函数的图象，并且根据图象来分析一次函数和正比例函数的关系，从而提高学生的读图能力，及文字语言转化为数学语言的能力．并与前面学过的知识结合，对学过的这两个函数有更新的认识． 教师扮演组织者的角色，鼓励学生大胆的猜测和探究，以培养学生的观察、归纳能力，让学生从中体验独立获取知识的愉悦感和成就感． 通过动画演示，可调动学生学习的兴趣和正确理解直线平移变换的过程． 由练习 1 的两个-4 -1 y=x+2 1 2 x O  2  1 1 2 -2 -3 3 4 y=x y=x- 2 y 直线 OA 正比例函数 y＝3 x 方程 y＝3 x 的解（x,y） 点 P（x,y） 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 y 轴的交点坐标是什么？ 结论 (1) 一次函数 y＝kx＋b 的图象与正比例函数 y＝k x 图象的关系： 一次函数 y＝kx＋b 的图象是一条直线， 我们称它为直线 y＝kx＋b， 它可以看作由直线 y＝kx 沿 y 轴平移 |b| 个单位长度得到．(当 b＞0 时，向上平移；当 b＜0时，向下平移．) (2) 一次函数 y＝k x＋b 的图象是过点(0，b)，(－bk，0)的一条直线． 练习 1 指出下列直线是由哪个正比例函数的图象平移得到的，并求下列直线与 x 轴，y 轴的交点坐标． (1)直线 y＝5 x＋1； (2)直线 y＝5x－3； (3)直线 y＝x＋5； (4)直线 y＝x－3． 三、一次函数的单调性 当 k＞0 时， 函数 f(x)＝kx＋b 是增函数．当 k＜0 时，函数 f(x)＝kx＋b 是减函数． 例 2 证明 一次函数 f(x)＝kx＋b (k＞0)在( －∞，＋∞) 上是增函数． 证明 设 x1， x2 是任意两个不相等的实数，因为 Δ x＝x2－x1，而且 Δ y＝k x2＋b－k x1－b ＝k(x2－x1)＝k Δ x， 所以 Δ yΔ x＝xxk＝k＞0． 所以当 k＞0 时，函数 f (x)＝k x＋b在( －∞，＋∞) 上是增函数． 同理我们可以证明：当 k＜0 时，函数 f(x)＝k x＋b 在( －∞，＋∞) 上是减函数． 因为  y 是函数值的改变量，  x 是自变量的改变量，所以由  y＝k  x 还可知：函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比． 四、总结一次函数的性质 1．一次函数 y＝k x＋b 的图象是过点( 0，b) ，( －bk，0) 的一条直线． 学生抢答练习 1． 师生交流练习 1 后， 教师提出问题： 一次函数是由正比例函数平移得到的， 从图象上看， 它们的单调性是怎样的？你能证明你的结论吗？ 师生共同解决例 2，教师板书详细的解题过程． 教师引导学生归纳得出：函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比． 师生共同总结得出一次函数的性质． 问题， 从特殊到一般，师生一起总结得出结论． 改变教师直接给出结论的惯例，让学生通过练习，由特殊到一般，自己独立的去获取知识，培养学生的归纳、 概括能力． 练习1帮助学生理解知识，形成技能． 培养学生的观察能力和归纳总结能力． 在学生具备函数增减性的知识以后，用单调性的概念重新审视初中所学的一次函数，让学生对函数的直观感知上升到理性分析的层次上，同时加深对函数单调性概念的理解．并且为 引出一次函数的性质作铺垫． 通过练习 2， 加深性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 2．当 k＞0 时，函数 f (x)＝kx＋b 是增函数． 当 k＜0 时，函数 f (x)＝k x＋b 是减函数． 3．函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比． 练习 2 说出下列直线与 x 轴， y 轴的交点坐标，以及函数的增减性． (1) y＝x＋2； (2) y＝－2 x－1； (3) y＝3 x＋1； (4) y＝8 x． 学生口答，师生共同点评． 对函数性质的理解，理论与实践相辅相成． 小 结 1．一次函数 y＝k x＋b 与正比例函数 y＝k x 的关系． 2．一次函数 y＝k x＋b 的性质． 学生阅读课本畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点． 梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结． 作 业 教材 P 79 ，练习 A组 第 1，2 题； 练习 B组 第 3 题（选做）． 巩固拓展． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 3. 2. 3 二 次 函 数 模 型 【教学目标】 1. 理解并掌握二次函数的图象和性质；了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系； 2. 通过教学，使学生初步掌握数形结合研究二次函数的方法； 3. 渗透数形结合思想， 渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点， 培养学生观察分析、 类比抽象的能力． 【教学难点】 函数对称性的分析与数形结合研究二次函数的方法． 【教学方法】 这节课主要采用启发式教学法和讲练结合法．本节课通过对例题中的二次三项式进行代数分析，探究二次函数性质的由来，使学生从初中对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度．更重要的是在学习函数的一般通性之后，以二次函数为载体较系统地呈现数形结合研究函数的方法，为后面学习其它函数的性质奠定基础． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 二次函数的一般形式： y＝a x2＋b x＋c (a≠0)， 定义域是 R． 练习 1 下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项． (1) y＝2 x2＋3 x－1； (2) y＝x＋1x； (3) y＝3(x－1)2＋1； (4) y＝(x＋3)2－x2； (5) s＝3－2 t2； (6) v＝4 π r2． 教师引导学生回忆二次函数的一般式，并让学生举例． 学生口答． 教师在引导学生复习旧知识的同时， 让学生自主探索新知识，激发学生获取新知的动力． 新 课 引例 在同一坐标系内作出下列函数的图象． y＝x2， y＝2 x2， y＝3 x2， y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3 x2． 师： 如果 b＝c＝0， 则一般式变为 y＝a x2 (a≠0)，下面我们先来研究这类函数的性质． 出示引例． 学生在初中已经重点学过二次函数的作图， 所以教师只讲述 y＝x2的图象画法， 其余 5 个函数的图象，学生分组合作解答， 教师巡回观察． 最后通过屏幕演示，集体对照． 生： 观察图象， 小组合作讨论． 然后每组选一名代表汇报各通过引例，使学生进一步掌握二次函数图象的描点作图法，并根据所做图象来分析函数 y＝a x2 中系数 a 对图象的影响，提高学生读图能力． 学生合作，集体回忆初中所学二次函数的知识． 2xy 2xy22xy 23xy22xy23xy性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 观察图象并完成填空 函数 y＝a x2 的图象，当 a＞0 时开口 ．当 a＜0 时开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 函数是 函数 （用奇或偶填空） ． | a | 越大，开口越 ． 例 1 研讨二次函数 f (x)＝12 x2＋4 x＋6 的性质与图象． 解 (1) 因为 f (x)＝12 x2＋4 x＋6 ＝12(x2＋8 x＋12) ＝12(x＋4)2－2． 由于对任意实数 x， 都有 12(x＋4)2≥0， 所以 f (x) ≥－2， 并且，当 x＝－4 时取等号， 即 f(－4)＝－2． 得出性质： x＝－4 时，取得最小值－2．记为 ymin＝－2． 点(－4，－2)是这个图象的顶点． (2) 当 y＝0 时， 12 x2＋4 x＋6＝0， x2＋8 x＋12＝0， 解得 x1＝－6，x2＝－2． 故该函数图象与 x 轴交于两点 ( －6，0) ，( －2，0) ． (3) 列表作图． 以 x＝－4 为中间值，取 x 的一些值，列出这个函数的对应值表然后画出函数的图象． 组的交流结果， 最后师生一起汇总得出结论． 师生共同解决例 1， 教师详细板书解题过程， 带领学生仔细分析各个性质的由来． 教师引导学生观察图象可得出：函数的对称轴是直线 x＝－4． 师: 这个结论是否是正确的呢？ 教师通过问题 1、2，引导学生证明上述结论正确． 通过对例 1 中二次三项式的代数分析，使学生对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度，更重要的是使学生掌握数形结合研究函数的方法，初步培养学生的画图、识图能力． 分析图象与x轴的交点，一方面为描点作图，另一方面为下节研究函数与方程，不等式的关系做铺垫． 对称性的教学设计是为了启发学生完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华．教师让学生经历“观察—发现—验证—归纳”四个过程， 感受数学的严密性、科学性． y -2 -6 O x -4 -2 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 观察上表或图形回答： 1．关于 x＝－4 对称的两个自变量的值对应的函数值有什么特点？ 答：相同． 2． －4－h 与－4＋h (h＞0) 关于 x＝－4 对称吗？ 分别计算－4－h 与－4＋h 的函数值，你能发现什么？ 答：f (－4－h)＝f (－4＋h)． 得出性质： 直线 x＝－4 为该函数的对称轴． 函数在(－∞ ，－4]上是减函数，在[－4，＋∞) 上是增函数． 小结例 2 中的函数性质： 1．开口． 2．最值． 3．顶点． 4．对称轴． 5．单调性． 练习2(课本例3) 用配方法求函数 f (x)＝3 x2＋2 x＋1 的最小值和图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数？ 解：f (x)＝3 x2＋2 x＋1 ＝3(x2＋23 x)＋1 ＝3(x2＋23 x＋19－19)＋1 ＝3(x＋13)2＋23 所以 y＝f(－13)＝23，函数图象的对称轴是直线 x＝－13，在(－∞，－13]上是减函数，在[－13，＋∞)上是增函数． 例 2 研讨二次函数 f (x)＝－x2－4x＋3 的性质与图象． 小结 二次函数的性质．( 表格见课件) 例3 已知二次函数 y＝x2－x－6说出： 学生模仿练习． 老师巡回观察点拨、解答学生疑难． 例 2 是二次函数中 a＜0 的类型，学生可类比例 1，自己得出图象与性质． 例1与例2分别是二次函数中 a＞0，a＜0 的两种类型，教师引导学生填表， 自己总结出二次函数的性质表格，对比记忆． 例 3 板书详细的解题过程． 通过此例题， 教师总结一元 小结函数性质，将例1的分析条理化． 通过练习 2，进一步练习配方法以及巩固二次函数的性质． 以表格的形式整理二次函数性质，使知识结构一目了然． 本例题有两种方法，方法一：在图象中用区间分析法，方法二；求一元二次方性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 ( 1) x 取哪些值时，y＝0； ( 2) x 取哪些值时，y＞0， x 取哪些值时，y＜0． 解 ( 1) 求使 y＝0 的 x 的值，即求二次方程 x2－x－6＝0 的所有根． 方程的判别式 ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0， 解得：x1＝－2，x2＝3． ( 2) 画出简图，函数的开口向上． 从图象上可以看出，它与 x 轴相交于两点(－2，0)，(3，0)，这两点把 x 轴分成三段． 所以当 x (－2，3)时，y＜0． 当 x (－∞，－2)∪(3，＋∞)时，y＞0． 练习 3 下列函数自变量在什么范围内取值时，函数值大于 0、小于 0 或等于0． ( 1) y＝x2＋7 x－8； ( 2) y＝－x2＋2 x＋8． 总结二次函数，二次方程，二次不等式三者之间的关系(表格见课件)． 二次方程、 一元二次不等式与二次函数之间的关系： 求二次方程 ax2＋bx＋c＝0的解， 就是求二次函数： y＝a x2＋bx＋c(a≠0)的根； 求不等式 a x2＋b x＋c＜0的解集，就是求使二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0 )的函数值小于 0 的自变量的取值范围； 求不等式 a x2＋b x＋c＞0的解集，就是求使二次函数 y＝a x2＋b x＋c(a≠0)的函数值大于 0 的自变量的取值范围． 学生模仿练习． 老师巡回观察点拨、解答学生疑难． 程或一元二次不等式的解集的方法．教师在讲解时可根据学生的实际情况进行讲解和拓展． 方法一：在图象中用区间分析法是比较简单的一种方法，通过此法可进一步培养学生的读图，识图能力，培养学生数形结合的思想． 巩固用图象法解一元二次不等式的步骤． 利用表格总结，使所学知识系统化． 小 结 1．二次函数的性质． 2．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系． 3．数形结合研究二次函数的方法． 学生阅读课本畅谈本节课的收获， 老师引导梳理， 总结本节课的知识点． 梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结． 作 业 教材 P 84，练习 A 组第 1、2 题； 教材 P 85， 练习 B 组 1、 2 题 （选做） ． 巩固拓展． ｏ -2 3 -6 y x 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各3. 3 函 数 的 应 用 【教学目标】 1. 会应用一次函数和二次函数解决有关简单实际问题． 2. 培养学生建立简单的数学模型及应用模型去解决实际问题的能力． 3. 通过教学，培养学生应用数学的意识，提高学生分析问题、解决问题的能力． 【教学重点】 应用函数知识解决一些简单的实际问题． 【教学难点】 从实际问题中抽象出函数模型． 【教学方法】 这节课主要采用讲练结合法．教师将四个例题与练习穿插在一起，教师引导与学生主动参与相结合，培养学生的审题能力，以及从实际问题中抽象出数学模型并应用模型去解决实际问题的能力． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 我们前面学习了一次函数，二次函数的图象与性质，下面学习几个函数应用的例子． 开门见山， 直接进入课题． 新 课 例 1 一种商品，如果单价不变，购买8 件商品需付 120 元，写出这种商品件数 x 和总价值 y 之间的函数关系式． y＝15 x， x N 例 2 火车从北京站开出 12 km 后，以80 km/h 匀速行使．试写出火车总路程s 与作匀速运动的时间 t 之间的函数关系式． s＝12＋80 t， t≥0 练习 1 教材 P 87，练习第 1、2 题． 例 3 某单位计划建筑一矩形围墙．现有材料可筑墙的总长度为 l，如果要使墙围出的面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？ 解 设矩形长是 x， 则宽为 12(l－2 x)， 得矩形的面积为 S＝x l－2 x2＝－x2＋l2 x 师： 提出问题， 引导观察思考： 1. 购买一件商品须付多少元？ 2. 路程、速度与时间之间的函数关系是什么？ 生：同桌交流，合作完成． 关键： 找等量关系、 列函数关系式、确定自变量的取值范围． 例 3 教师引导学生画图分析题意： (1) 设矩形长是 x， 则宽为多少？ (2) 面积如何表达？它是个什么函数？如何求它的最大 例 1、 例 2 是一次函数模型的应用，难度较小，可让学生自己解决． 培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力． 例3是二次函数最值问题，以学生为主题分析解题思路． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 ＝－[x2－l2 x＋( l4 )2－( l4 )2] ＝－(x－l4)2＋l216． 所以该函数在 x＝l4 时取最大值，且 Smax＝l216，这时宽也为 l4．即这个矩形是边长等于 l4 的正方形时，所围出的面积最大． 练习 2 教材 P88，练习第 5 题． 例 4 一家旅社有客房 300 间，每间房租 20 元，每天都客满．旅社欲提高档次，并提高租金．如果每间房租增加 2元，客房出租数会减少 10 间．不考虑其他因素旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金收入最高． 解： 设提高 x 个 2 元， 则将有 10 x间客房空出，则客房租金总收入为： y＝( 20＋2 x)( 300－10 x) ＝－20 x2＋600 x－200 x＋6 000 ＝－20(x2－20 x＋100－100)＋6 000 ＝－20(x－10)2＋8 000． 由此可得当 x＝10 时， ymax＝8 000，即每间租金为 20＋10×2＝40 元时，每天租金的总收入最高为 8 000 元． 练习 3 教材 P88，练习第 8 题． 值？ 教师简单点拨，学生合作完成．教师屏幕显示具体过程． 教师引导学生回忆二次函数的配方过程． 并强调配方法的几个关键步骤： (1) 提系数； (2) 所配常数为一次项系数一半的平方． 例 3 结束后， 教师引导学生总结解函数应用题的一般步骤： 1. 设未知数(确定自变量和函数)； 2. 找等量关系，列出函数关系式； 3. 化简，整理成标准形式(一次函数，二次函数等)； 4. 利用函数知识，求解(通常是最值问题)； 5. 写出结论． 对例 4， 老师须带领学生详细分析题意， 解题时只点拨如何假设未知量， 启发学生讨论并尝试解答． 函数最值问题是函数应用中的重点同时也是难点，此题的设计目的是为了突破学生这一思维障碍．提高学生的建模能力，同时进一步巩固配方法在二次函数中的应用． 在板书例题的过程中，突出解题思路与步骤． 对于例 4 的教学，让学生读懂题意是解决问题的关键． 每个例题之后，分别设计练习 1， 2， 3，让学生模仿例题解答，强化数学建模思想以及熟练掌握函数应用题的解题步骤． 小 结 解函数应用题的一般步骤： 1. 设未知数(确定自变量和函数)； 2. 找等量关系，列出函数关系式； 3. 化简，整理成标准形式(一次函 数，二次函数等)； 4. 利用函数知识，求解(通常是最值问题)； 5. 写出结论． 学生阅读课本畅谈本节课的收获， 老师引导梳理， 总结本节课的知识点． 梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结． 作 业 教材 P 88，习题第 3、4、7 题． 巩固拓展． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各第四章 指数函数与对数函数 4. 1. 1 有 理 指 数 (一 ) 【教学目标】 1. 理解整数指数幂及其运算律，并会进行有关运算． 2. 培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力． 3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质． 【教学重点】 零指数幂、负整指数幂的定义． 【教学难点】 零指数幂及负整指数幂的定义过程，整数指数幂的运算． 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组教学法． 在引入指数幂时， 以在国际象棋棋盘上放米粒为导入素材，既体现数学的应用价值，也能引起学生的学习兴趣．从正整指数的运算法则中的 aman＝am- n (m＞n，a ≠ 0) 这一法则出发，通过取消m＞n的限制引入了零指数幂和负整指数幂的定义，从而把正整指数幂推广到整数指数幂．在本节教学中，要以取消m＞n这一条件为出发点，让学生积极大胆地猜想，以此增强学生的参与意识，从而提高学生的学习兴趣． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 在一个国际象棋棋盘上放一些米粒，第一格放 1 粒，第 2 格放 2 粒，第 3 格放 4 粒……一直到第 64 格， 那么第 64 格应放多少粒米？ 第 1 格放的米粒数是 1； 第 2 格放的米粒数是 2； 第 3 格放的米粒数是 2× 2； 第 4 格放的米粒数是 2× 2× 2； 第 5 格放的米粒数是 2× 2× 2× 2； …… 第 64 格放的米粒数是 2× 2× 2× …× 2. 学生在教师的引导下观察图片，明确教师提出的问题，通过观察课件，归纳、探究答案． 师：通过上面的解题过程，你能发现什么规律？那么第 64格放多少米粒，怎么表示？ 学生回答， 教师针对学生的回答给予点评．并归纳出第 64格应放的米粒数为 263． 师： 请用计算器求263的值． 学生解答． 通过问题的引入激发学生学习的兴趣． 在问题的分析过程中， 培养学生归纳推理的能力． 为引出 an设下伏笔． 用计算器使问题得到解决． 2 个 2 3 个 2 4 个 2 63 个 2 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 新 课 一、正整指数幂 1．定义 一般地， an (n N+) 叫做 a 的 n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数．并且规定： a1＝a． 当 n 是正整数时，an叫正整指数幂． 练习 1 填空 (1) 23× 24＝ ；am an＝ ； (2) (23)4＝ ；(am)n＝ ； (3) 2423＝ ；aman＝ (m＞n，a≠0) ； (4) (xy)3＝ ；(ab)m＝ ． 练习 2 计算 2323 ． 二、零指数幂 规定： a0＝1 (a≠0) 练习 3 填空 (1) 80＝ ； (2) (－0.8)0＝ ； 练习 4 式子 (a－b)0＝1 是否恒成立？为什么？ 练习 5 计算 (1) 2324； (2) 2325． 三、负整指数幂 我们规定： 教师板书课题． 学生理解概念． 教师强调 n 是正整数． 学生回顾正整指数幂的运算法则，并尝试解决练习 1、2． 练习 1，学生分小组抢答；练习 2，学生通过约分解得 2323＝1． 师：如果取消 aman＝am－n (m＞n，a ≠ 0) 中 m＞n 的限制，如何通过指数的运算来表示？ 2323＝23－3＝20 教师板书： 零指数幂 a0＝1 (a≠0)． 师： 请同学们结合零指数幂的定义完成练习 3． 学生解答． 教师强调练习 4 中， 等式成立的条件，即 a ≠ b． 练习 5， 学生可通过约分解答． 师：实数 m 与 n 的大小关系除了 m＞n，m＝n 还有 m＜n．当 m＜n 时，运算法则 aman＝am－n一定成立吗？ 学生在初中已学过此概念，用投影的形式展现，学生容易联想起以前的内容． 明确各部分的名称．通过强调 n 是正整数，为零指数和负整指数的引入作铺垫． 通过练习，让学生回顾正整指数幂的运算律． 由特殊到一般，由具体的例子入手，引出零指数幂的定义． 突破思维困境，引入零指数幂． 第 2 题的目的是要让学生记住 a0＝1 (a≠0) 中的 a≠0 这一条件． an 幂 指数 (n N＋) 底数 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 a－1＝1a (a≠0) a－n＝1an (a≠0, n N+) 练习 6 填空 (1) 8– 2＝ ；(2) (0.2)－3＝ ． 练习 7 式子(a－b)－4＝1(a－b)4 是否恒成立？为什么？ 四、实数系 五、整数指数幂的运算法则 am an＝am+n； (am)n＝amn ； (ab)m＝a mb m． 练习 8 (1) (2x)– 2＝ ； (2) 0.001– 3＝ ； (3) (x3r2)– 2 ＝ ； (4) x2b2c＝ ． 学生尝试解决教师提出的问题． 教师板书：负整指数幂 a－n＝1an (a≠0, n N+)， 并强调 a 的取值． 练习 6 由学生解答， 练习 7要求小组合作探究解决． 教师针对学生的解答进行点评， 并强调练习 7 中的等式成立的条件，即 a ≠ b． 师： 从数的分类可知， 在定义了零指数幂和负整指数幂以后， 我们就把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围． 师：正整指数幂的运算法则， 对整数指数幂的运算仍然成立． 板书运算法则． 通过演示将 aman 的运算归结到 am an 中去，即 aman＝am a－n＝am +(– n)＝am– n． 学生解答， 练习 8 要求小组合作解决． 教师在讲解上述题目时， 应再现每题运算过程中用到的运算律． 类比零指数的引入，负整指数的引入就顺理成章了． 练习 7 是为了让学生注意，在负整指数幂中底数 a 的取值范围． 重新回顾实数的分类，展示幂指数的推广过程，帮助学生理解“把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围”这句话． 使学生对幂的运算法则给予重新认识． 突出本节知识，突出运算法则． 小 结 1．指数幂的推广 2． 正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立： 回顾本节主要内容， 加深理解零指数和负整指数幂的概念、牢记运算律． 简洁明了地概括本节课的重要知识，使学生易于理解记忆． 实数 有理数 无理数 整数 分数 正整数 零 负整数 正整指数幂 零指数幂 负整指数幂 整数指数幂 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各(1) am an＝am+n； (2) (am)n＝amn； (3) (ab)m＝a m b m． 作 业 必做题：P98，练习 A 第 1 题， 选做题：P103，习题第 1 题(9)． 标记作业． 针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排必做习题和选做习题两层． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各4. 1. 1 有 理 指 数 (二 ) 【教学目标】 1. 了解根式的概念和性质； 理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质． 2. 会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力． 3. 培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题． 【教学重点】 分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质． 【教学难点】 对分数指数幂概念的理解． 【教学方法】 这节课主要采用问题解决教学法． 在引入分数指数幂时，先讲方根的概念，根据方根的定义，得到根式具有的性质．在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，引导学生注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律．在对根式的性质进行练习以后，为了解决运算的合理性，引入了分数指数幂的概念，从而将指数幂推广到了有理数范围．在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，将有理指数幂推广到实数指数幂．考虑到职校学生的实际情况，并没有给出严格的推证． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 1．整数指数幂的概念． an＝a×a×a×…×a (n 个 a 连乘)； a0＝1 (a≠0) ； a－n＝1an (a≠0 ，n N+)． 2．运算性质： am an＝am+n； (am)n＝amn； (ab)m＝a m b m． 师：上节课我们把正整指数幂推广到了整数指数幂，那么我们能不能把整数指数幂推广到分数指数幂，进而推广到有理指数幂和实数指数幂呢？这节课我们就来探讨这个问题． 师：首先来复习一下上节课所学的内容． 学生回答教师提出的问题，教师及时给予评价． 以旧引新提出问题， 引入本节课题． 复习上节所学内容． 新 课 一、根式有关概念 定义： 一般地， 若 xn＝a (n＞1， n N)， 则 x 叫做 a 的 n 次方根． 例如： (1) 由 32＝9 知，3 是 9 的二次方根(平方根)； 由(－3)2＝9知， －3也是9的二次方根(平方根)； (2) 由(－5)3＝－125 知，－5 是－125 的三次方根(立方根)； (3) 由 64＝1 296 知，6 是 1 296 的 4 次方根． 有关结论： 教师板书课题． 学生理解方根概念． 教师通过举例让学生进一步理解方根的概念． 引入方根的概念为下一步引入分数指数做基础． 使学生加深对方根概念的理解，为总 结出结论作铺垫． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 (1) 当 n 为奇数时： 正数的 n 次方根为正数， 负数的 n 次方根为负数．记作： x＝na． (2) 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个(互为相反数)．记作： x＝±na． (3) 负数没有偶次方根． (4) 0 的任何次方根都为 0． 当na有意义时，na叫做根式，n 叫根指数． 正数 a 的正 n 次方根叫做 a 的 n 次算术根． 例如：32叫做 2 的 3 次算术根；4－2不叫根式，因为它是没有意义的． 二、根式的性质 (1) (na)n＝a． 例如，(327)3＝27，(5－3)5＝－3． (2) 当 n 为奇数时，nan＝a； 当 n 为偶数时，nan＝|a| ＝a（a≥0）－a（a＜0） . 例如：3(－5)3＝－5，332＝2； 52＝5，4(－3)4＝|－3|＝3． 观察下面的运算： (a13)3＝a13 3＝a ① (a23)3＝a23 3＝a2 ② 上面两式的运算，用到了法则 (am)n＝amn，但无法用整数指数幂来解释，但是①式的含义是a13连乘 3 次得到 a， 所以 a13可以看作是 a 的 3 次方根；②式的含义是 a23连乘 3 次得到 a2，所以 a23可以看作是 a2的 3 次方根． 因此我们规定 a13＝3a，a23＝3a2， 以使运算合理． 三、分数指数幂 学生在教师的引导下进一步理解根式的概念． 学生重新构建根式、根指数的概念， 教师强调当na有意义时，na叫做根式． 学生理解根式的性质，通过实例演示，将性质应用到运算之中． 教师用语言叙述根式性质： (1) 实数 a 的 n 次方根的 n次幂是它本身； (2) n 为奇数时，实数 a 的 n次幂的 n 次方根是 a 本身；n 为偶数时，实数 a 的 n 次幂的 n 次方根是 a 的绝对值． 学生认真观察． 在教师的引导下，学生寻找解惑途径． 学生在教师的引导下， 由方根的概念引入其数学记法， 为引入根式的概念作准备． 引入根式、根指数的概念． 将数学语言(符号)转化为文字语言， 使学生加深对性质的理解． 设置障碍，使学生积极寻找解决途径， 从而调动学生思维的积极性． 通过教师引导， 学生找到使运算合理的途径． 引入正分数指数幂的概念． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 一般地，我们规定： a1n＝na (a＞0)； amn＝nam＝(na)m (a＞0，m，n N+，且 mn 为既约分数)． a－mn＝1 amn (a＞0，m，n N+，且 mn 为既约分数) ． 四、实数指数幂的运算法则 (1) aα aβ＝aα +β； (2) (aα) β＝aα β； (3) (a b) α＝a α b α． 以上 aα，aβ中，a＞0，b＞0，且 α ，β 为任意实数． 练习 1 835×825 ＝83＋25＝81＝8； 823＝(813)2＝22＝4； 3 3×33 ×63＝3×312×313×316＝31＋12＋13＋16＝32＝9； (a23b14)3＝(a23)3·( b14)3＝a2b34． 例 1 利用函数型计算器计算(精确到 0.001)： (1) 0.21.52； (2) 3.14－2； (3) 3.123． 例 2 利用函数型计算器计算函数值． 已知 f (x)＝2.71x， 求 f (－3)， f (－2)， f(－1)，f (1)，f (2)，f (3) (精确到 0.001)． 请同学们结合教材在小组内合作完成． 练习 2 教材 P 98， 练习 A 组 第 3 题，练习 B 组第 3 题． 由特殊到一般，积极构建分数指数幂的概念． 师：负整数指数幂是怎么定义的？如何来定义负分数指数幂呢？ 学生在教师的引导下，类比负整指数幂的定义，形成负分数指数幂的概念． 师：至此，我们把整数指数幂推广到了有理指数幂．有理指数幂还可以推广到实数指数幂．使学生形成实数指数幂的概念． 学生做练习． 教师讲解例 1 第(1)题的操作方法． 学生结合教材，完成例1 第(2)、(3)题，学习用计算工具来求指数幂 ab 的值． 类比负整数指数幂的定义， 引入负分数指数幂的概念． 将有理指数幂推广到实数指数幂， 并给出实数指数幂的运算法则． 加深对有理指数幂的理解， 并使学生进一步掌握指数幂的运算法则． 使学生掌握函数型计算器的使用． 使学生进一步巩固函数计算器的使用方法． 1． 学生在教师的引导下回顾本节课的主要内容，加简洁明了地概括本节课根式 分数指数幂 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 小 结 2． 3．利用函数型计算器求 ab 的值． 深理解根式和分数指数幂的概念；理顺实数指数幂的推广过程；回顾计算器的使用方法． 的重要知识， 便于学生理解记忆． 理顺本节指数幂的推广思路， 使学生思维清晰． 作 业 必做题：教材 P 98，练习 B 组第 1 题； 选做题：教材 P 98，练习 B 组第 2 题． 针对学生实际， 对课后书面作业实施分层设置， 安排基本练习题和选做题两层． 正整指数幂 零指数幂 负整指数幂 整数指数幂 分数指数幂 有理指数幂 实数指数幂 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各4. 1. 2 幂 函 数 举 例 【教学目标】 1. 了解幂函数的概念，会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象． 2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力． 3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质． 【教学重点】 幂函数的定义． 【教学难点】 会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象． 【教学方法】 这节课主要采用启发式和讲练结合的教学方法． 从函数 y＝x，y＝x2，y＝1x等导入，通过观察这类函数的解析式，归纳其共性，引入幂函数的概念．在例 1 求函数的定义域中，对于分数指数及负整指数的幂函数要转化为分式或根式的形式，讲解时，注意引导，让学生在解答问题的过程中自己归纳总结规律．函数图象是研究函数性质的有利工具，教师在讲授例2 时，可以采用分组的方式，让学生一起合作完成函数的图象，并从本例中找出幂函数的某些性质． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 1．指数幂 an＝a×a×a×…×a (n 个 a 连乘) a0＝1； a- n＝1an (a≠0, n N+)； a1n＝na (a>0)； amn＝nam (a>0，m，n∈N+，且mn为既约分数)； a－mn＝1 amn (a>0，m，n∈N+，且mn为既约分数)． 2．观察函数 y＝x2，y＝x3，y＝x 及 y＝x－1． 学生在教师的引导下，回顾指数幂的有关定义及运算法则． 师：以上函数表达式的共同特征是什么？你还能举出类似的函数吗？ 学生观察函数的表达式，回答教师提出的问题． 复习上节内容，为本节学习做准备． 通过实例引入本节课题，确定本节的学习目标． 新 课 一、幂函数的概念 一般地，形如 y＝x 的函数我们称为幂函数． 学生在教师的引导下归纳幂函数的概念． 由学生自己归纳幂函数的概念，有利于他们把握和理解性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 练习 1 判断下列函数是不是幂函数 (1) y＝2 x； (2) y＝2 x35； (3) y＝x78； (4) y＝x2＋3． 例 1 写出下列函数的定义域： (1) y＝x3； (2) y＝x12； (3) y＝x－2； (4) y＝x－32． 解：(1) 函数 y＝x3的定义域为 R； (2) 函数 y＝x12，即 y＝ x ，定义域为[0，＋∞)； (3) 函数 y＝x－2，即 y＝1x2 ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)； (4) 函数 y＝x－32，即 y＝1 x3，其定义域为(0，＋∞)． 练习 2 求下列函数的定义域： (1) y＝x－3； (2) y＝x－43； (3) y＝x－12． 二、幂函数的性质 例 2 作出下列函数的图象： (1) y＝x； (2) y＝x12； (3) y＝x2； (4) y＝x－1． (1)列表： (2)描点； x … －3 －2 －1 0 1 2 … y＝x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x12 … / / / / 1 1.41 1.73 … y＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y＝x-1 … －13 －12 －1 / 1 12 13 … 学生回答练习 1，进一步理解幂函数的概念． 针对学生的回答，教师结合定义点评． 在教师的引导下利用指数幂的有关定义，师生共同完成例题． 学生寻找规律，形成解题规律． 师：由上例我们可以看出，当幂函数的 指 数为 负 整 数时，一般是先将函数表达式转化为分式形式；当幂函数的指数为分数时，一般是先将函数表达式转化为根式，然后再来求函数的定义域． 教师根据学生的解答进行点评，并给予相应评价． 师：函数图象可以直观反映函数性质，是研究函数性质的有利工具，请同学们回顾一下，作函数图象分为哪三步？ 学生回答． 学生分组完成列表． 新概念． 使学生加强对幂函数概念的理解． 通 过 例题演示，使学生 进 一 步 掌握 求 幂 函 数定 义 域 的 方法． 总结规律． 使学生应用刚学过的新知识． 回顾作图过程，进一步明确函数图象是研究函数性质的有利工具． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 (3)连线． 幂函数的性质 幂函数随幂指数 α的取值不同，它们的性质和图象也不尽相同，但也有一些共性，例如，所有的幂函数都通过点(1，1)，都经过第一象限等． 练习 3 画出函数 y＝x34的图象，并指出其奇偶性、单调性． 师生共同完成描点和连线，有条件的学校可利用计算机进行作图． 教师结合函数图象说明幂函数的性质． 学生在教师的引导下完成练习． 在画图过程中，学会与人合作． 使 学 生对 幂 函 数 的性 质 有 简 单的了解． 复习作图过程，并强化学生读图能力培养． 小 结 1．幂函数的定义 2．求幂函数的定义域 3．通过幂函数的图象分析幂函数的性质 师生共同回顾幂函数的概念，定义域的求法以及幂函数的图象和性质． 简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆． 作业 1．教材 P 100，练习 A 第 1 题． 2．计算机上的练习 在同一坐标系中画出函数y＝x3与y＝3x 的图象，并指数这两个函数各有什么性质以及它们的图象关系(操作步骤参照教材 172 页)． 基于学生实际，对课后书面作业实施分层设置的同时设置了计算机上的练习，让学生自己在操作过程中寻找学习的乐趣． 2性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各4. 1. 3 指 数 函 数 【教学目标】 1. 掌握指数函数的定义、图象、性质及其简单的应用． 2. 培养学生用数形结合的方法解决问题的能力． 3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养独立思考等良好的个性品质． 【教学重点】 指数函数的图象与性质． 【教学难点】 指数函数的图象性质与底数 a 的关系． 【教学方法】 这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法． 本节课由生活中的真实例子导入新课， 引入指数函数的定义， 并通过一组练习深化指数函数的定义． 先通过列表——描点——连线得到指数函数的图象，然后在教师的启发下，充分利用函数的图象来研究函数的性质．为了加强学生对函数性质的应用，增加了一道求函数定义域的例题，然后安排一定数量的练习，体现练为主线，讲练结合的教学方法． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 1 年剩留的质量约是原来的 84%．试写出这种物质的剩留量随时间变化的函数解析式． 教师分析解题的过程，得到 y＝0.84x． 通过实例引入，让学生得到指数函数的一些特征，从而有了感性认识，对理解和掌握指数函数的定义、性质会起到很好的帮助作用． 新 课 一、指数函数的定义 一般地，函数 y＝ax (a＞0 且 a 1，x R) 叫做指数函数．其中 x 是自变量，定义域为 R． 探究 1 y＝2×3x是指数函数吗？ 探究 2 为什么要规定 a＞0，且 a≠1 呢？ (1) 若 a＝0， 则当 x＞0 时，ax ＝0； 当 x≤0 时，ax无意义． 教师板书课题． 通过探究问题， 教师强调指数函数的解析式 y＝ax中，ax的系数是 1． 学生分组合作探究教师提出的问题． 教师在学生分组探究的过程中要注意巡视指由实例的引入，进而归纳出这种自变量在指数位置上的函数——指数函数． 对于 a＞0，且 a≠1 这一点，学生容易忽略，通过讨论研究，性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 (2) 若 a＜0， 则对于 x 的某些数值，可使 ax无意义． 如 (－2)x，这时对于 x＝14 ，x＝12 ，…等等，在实数范围内函数值不存在． (3) 若 a＝1， 则对于任何 x R，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性． 为了避免上述各种情况，所以规定 a＞0 且a 1． 在规定以后，对于任何 x R，ax都有意义，且 ax＞0. 因此指数函数的定义域是 R，值域是 (0，＋∞)． 练习 1 指出下列函数哪些是指数函数： (1) y＝4 3x； (2) y＝x； (3) y＝0.3x； (4) y＝x3． 二、指数函数的图象和性质 在同一坐标系中分别作出函数y＝2x和y＝(12)x的图象． (1)列表：略． (2)描点：略． (3)连线：略． 练习 2 作函数 y＝3x与 y＝(13)x的图象． 导． 师： 函数的图象是研究函数性质的有力工具， 那么指数函数的图象是怎样的？如何作 指 数 函 数 的 图 象呢？ 教师引导学生一起把描出的点用光滑的曲线连接起来， 得到指数函数 y＝2x的图象． 重复描点、 连线的步骤， 在同一坐标系中完成指数函数 y＝(12)x的图象． 请同学分组完成练习2， 教师巡查指导． 学生完成题目后，利用实物投影将学生的解答投影到屏幕． 师：指数函数： y＝2x，y＝(12)x，y＝3x可以加深学生的印象，从而把新旧知识衔接得更好．同时又可以 强化学生对指数函数的定义的理解记忆． 让学生完成画图过程，从画图过程中加深对指数函数的感性认识． 有条件的学校可以让学生通过计算机画图软件上机操作． x y 1 2 3 －1 －2 －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 O y＝2x y＝(12)x 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 探究 3 观察 y＝2x，y＝(12)x，y＝3x与 y＝(13)x的图象，找出图象特征． (1) 图象向左右无限延伸； (2) 图象在 x 轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于 x 轴； (3) 图象都经过点(0，1)； (4) a＝2 或 a＝3 时，从左向右看图象逐渐上升； a＝12 或 a＝13 时，从左向右看图象逐渐下降． 探究 4 (1)“图象向左右无限延伸”揭示了“函数的定义域为 R” ； (2)“图象在 x 轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于 x 轴” 揭示了 “函数的值域为(0， ＋∞)； (3)“图象都经过点(0，1)”揭示了“当 x＝0 时，ax＝1”； (4) “a＝2 或 a＝3 时， 从左向右看图象逐渐上升； a＝12 或 a＝13 时，从左向右看图象逐渐下降”揭示了“当 a＞1 时，指数函数是增函数；当 0＜a＜1 时，指数函数是减函数”． 表 4-1 指数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图 象 定义域 R 值域 (0，＋ ) 定点 (0，1) 单调性 增函数 减函数 x≥0 时，y≥1； x＜0 时，0＜y＜1 X≥0 时，0＜y≤1； x＜0 时，y＞1 练习 3 (1) 指数函数 y＝ax，当 时，函数是增函数；当 时，函数是减函数． 与 y＝(13)x的图象有什么共同的特征？又有哪些不同？ 师： 你能用学过的数学语言来表示这些函数的性质吗？ 教师引导学生用数学语言来表示这些函数的性质． 学生分组， 采用小组合作形式完成． 师生共同完成该表． 全体学生一起回答． 为了学习指数函数的性质，先引导学生观察四个函数的图象特征，从而顺理成章地总结出指数函数的性质，这符合人认识问题的一般规律：由特殊到一般，学生很容易接受． 锻炼学生的口头表达能力以及文字语言与数学语言的转化能力． 设置本练习其目的为了进一步强化学生对指y＝1 x y (0,1) O y＝1 x y (0,1) O 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 (2)若函数 f(x)＝(a＋1)x是减函数， 则 a 的取值范围是 ． 例 1 用指数函数的性质， 比较下列各题中两个值的大小： (1) 1.72.5和 1.73； (2) 0.8－0.1和 0.8－0.2． 解 (1) 考察函数 y＝1.7x， 它在实数集上是增函数． 因为 2.5＜3，所以 1.72.5＜1.73． 请同学们用函数的图象来验证一下答案是否正确？ (2) 考察函数 y＝0.8x， 它在实数集上是减函数． 因为 －0.1＞－0.2， 所以 0.8－0.1＜0.8－0.2． 请同学们用计算器验证一下答案是否正确？ 练习 4 比较下列各题中两个值的大小： (1) 0.70.8 0.70.7； (2) 1.1－2.1 1.1－2； (3) 如果 2n＜2m，则 n m． 例 2 求函数 y＝ 3x－3 的定义域． 解：要使函数有意义，则有 3x－3≥0， 所以 3x≥3， 所以 x≥1． 所以函数的定义域为 [1，＋∞)． 练习 5 求函数 y＝ 2x－4 的定义域． 教师强调： 对于比较大小的问题， 若是底数相同， 通过构造一个指数函数， 用指数函数单调性来解决． 学生画图验证． 学生用计算器验证． 学生练习并解答． 学生体会求定义域的方法． 数函数性质的掌握． 通过构造指数函数来比较两值的大小，并让学生采用不同的途径来进行检验． 增加本例为学生顺利解答课后相关练习及习题做基础． 加深训练． 小 结 1．指数函数的定义； 2．指数函数的图象与性质； 3．应用： (1) 比较大小； (2) 求函数的定义域． 师生共同回顾本节主要内容， 加深理解指数函数的概念、 图象与性质． 简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆． 作 业 1． 必做题：教材 P102，练习 A 组 第 2 题； 选做题：教材 P102，练习 B 组 第 2 题． 2．计算机上的练习 在同一坐标系中画出函数 y＝10x与 y＝(110)x的图象，并指出这两个函数各有什么性质以及它们的图象关系(操作步骤参照教材 167 页)． 标记作业． 针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题和计算机上的练习两层． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各4. 2. 1 对 数 【教学目标】 1. 理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化． 2. 培养学生的类比、分析、转化能力，提高理解和运用数学符号的能力． 3. 通过对数概念的建立，明确事物的辩证发展和矛盾转化的观点，培养学生科学严谨的治学态度． 【教学重点】 对数的概念，对数式与指数式的相互转化． 【教学难点】 对数概念及性质的理解掌握． 【教学方法】 这节课主要采用启发式和分组合作教学法．在教学过程中遵循学生是教学的主体的精神，要给学生提供各种可能的参与机会，调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动．利用多媒体辅助教学，引导学生从实例出发，认识对数的模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生积极思维，通过课堂练习、学生讨论的方式来加深理解重点，更好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 1．庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭． (1)取 5 次，还有多长？ (2)取多少次，还有 0.125 尺？ 2．细胞分裂问题，经过几次分裂后细胞的个数为 4 096 个？ 2x＝4 096． 学生通过课件的演示，在教师的带领下明确问题内涵． 师：这两个问题都是已知底数和幂的值求指数的问题． 通过生活实例引入， 体现数学的应用性，引发学生的好奇心． 展示分析问题的过程，化解问题的难度，使学生通过寻找规律，归纳问题的答案． 新 课 一、对数的概念 一般地，如果 a (a＞0 且 a≠1)的 b次幂等于 N，即 ab＝N，那么幂指数 b叫做以 a 为底 N 的对数． “以 a 为底 N 的对数 b”记作 b＝logaN (a＞0 且 a≠1)， 其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 注意： (1) 底数的限制：a＞0 且 a≠1 ； 教师给出对数的定义，并举例说明： 因为 42＝16，所以 2是以 4 为底 16 的对数； 因为 43＝64，所以 3是以 4 为底 64 的对数． 教师强调规范的书写格式，底数的限制，并引导学生讨论真数N的取值． 准确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定作准备．同时注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 (2) 对数的书写格式； (3) 对数的真数大于零． 二、对数式与指数式的关系 由对数的定义可知，ab＝N 与 b＝logaN 两个等式所表示的是 a，b，N 三个量之间的同一关系的两种不同表示形式．例如：32＝9 2＝log39． 对数式与指数式的互化： ab＝N  b＝log a N 练习 1 (1) 将下列指数式写成对数式： 22＝4； 62＝36； 7.60＝1； 34＝81． (2) 将下列对数式写成指数式： log39＝2； log416＝2； log5125＝3； log749＝2． 练习2 将下列指数式写成对数式 ( 其中 a＞0 且 a≠1)： 21＝2； a1＝a； 60＝1； a0＝1． 三、对数的性质 (1) loga a＝1，即底数的对数等于 1； (2) loga1＝0，即 1 的对数等于零； (3) 0 和负数没有对数． 例 1 求 log22，log21，log216，log212． 解 (1) 因为 21＝2， 所以 log22＝1； (2) 因为 20＝1，所以 log21＝0； (3) 因为 24＝16，所以 log216＝4； (4) 因为 2－1＝12，所以 log212＝－1． 四、常用对数 以 10 为底的对数叫做常用对数． 为了简便，log10N 简记作 lgN． 例 2 求 lg 10，lg 100，lg 0.01． 解 (1) 因为 101＝10， 所以 lg10＝1； (2) 因为 102＝100，所以 lg100＝2； (3) 因为 10－2＝0.01， 所以 lg0.01＝－2． 例 3 利用计算器求对数(精确到 教师启发引导学生归纳指数式与对数式的转换关系． 学生分组合作并抢答． 本练习由学生独立思考完成，从而使学生熟悉对数式与指数式的相互转化，加深对对数的概念的理解．并要求每位学生会对数式与指数式互化． 师：通过练习二，你能得到什么结论？ 学生分组讨论得出结论． 学生解答． 对提出的问题要求小组合作解决． 师：强调 lgN 的底数是10，而不是没有底数． 掌握常用对数的特殊表示． 学生抢答． 让学生了解对数式与指数式的关系，明确对数式与指数式形式的区别；a，b 和 N 位置的不同， 及它们的含义． 互化体现了等价转化的数学思想． 让学生在解决问题的同时归纳总结其中的规律，为学习对数的性质做准备． 由学生从特殊到一般， 归纳出对数的性质． 学习应用计算器求对数，让学生体会常用性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 0.000 1)． lg2 001； lg0.618； lg0.004； lg396.5． 练习 3 求下列各式的值 (1) lg1＋lg10＋lg100； (2) lg0.1 ＋lg0.01＋lg0.001． 学生独立完成． 对数的方便性． 知识强化训练． 小 结 一、对数 二、指数式与对数式的关系式 ab＝N  b＝logaN 三、常用对数 以 10 为底的对数叫做常用对数， 简记作 lg N． 师生共同回顾本节主要内容，加深理解对数的概念、牢记指对关系式． 用最简洁的语言归纳本节课的要点，使学生更加明确本节课的要点． 作 业 必做题：教材 P108，练习 B 组第 1 题； 选做题：教材 P108，练习 B 组第 3 题． 结合学生实际，书面作业实施分层设置，安排基本练习题和选做题． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各4. 2. 2 积 、 商 、 幂 的 对 数 【教学目标】 1. 掌握积、商、幂的对数运算法则，并会进行有关运算． 2. 培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力． 3．培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质． 【教学重点】 积、商、幂的对数运算法则的应用． 【教学难点】 积、商、幂的对数运算法则的推导． 【教学方法】 本节教学采用引导发现式教学方法，并充分利用多媒体辅助教学，体现“ 教师为主导、学生为主体” 的教学原则．通过教师在教学过程中的点拨启发，使学生主动思考．通过分组合作的教学方式，使学生在合作中快乐学习,培养学生的团结协作能力和集体主义情操．通过设置三组“ 低台阶，小坡度” 的练习，满足各层次学生的学习需求，从而培养学生的计算能力和学习数学的兴趣． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 1．指数式与对数式的关系： 若指数式 ab＝N，则 logaN＝b． 2．指数幂的运算法则 (1) am an＝am＋n； (2) (am)n＝amn； (3) (ab)m＝a m b m． 师： 以前， 我们学习过数的加、减、乘、除、乘方、开方，数的加减乘除乘方开方都有自己的运算规律和运算法则，那么， 我们刚学习的对数运算有什么样的运算法则呢？ 学生在教师的引导下， 明确教师提出的问题后，学生抢答． 通过学生抢答，使全体学生回顾有关旧知识，为对数性质的推导铺平道路． 在探究积、商、幂的对数过程中，主要运用指数式与对数式的相互转换，因此在复习中要强化这一知识点． 新 课 探究 1 已知 logaM，logaN (M，N＞0)，求 logaMN． 解 设 logaM＝p，logaN＝q， 根据对数的定义，可得 M＝ap，N＝aq， 因为 MN＝ap aq＝ap＋q， 所以 loga(MN) ＝p＋q＝logaM＋logaN． 探究 2 已知 N1， N2 … Nk都是大于0 的数，loga(N1N2 … Nk)等于什么？ 结论： loga(N1N2…Nk) 教师提出探究问题， 学生通过小组讨论， 归纳， 探究问题的答案． 在学生探究后， 教师给出问题的解答过程． 学生解答， 分组合作． 教师巡视并给予指导． 小组讨论的过程，是一个团结协作的过程，培养学生的团队精神和团结合作能力． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 ＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk． 探究 3 已知 logaM，logaN (M，N＞0)． 求 loga MN． 解 设 logaM＝p，logaN＝q． 根据对数的定义，可得 M＝ap，N＝aq． 因为 MN＝apaq＝ap－ q， 所以 logaMN ＝p－q＝logaM－logaN． 探究 4 已知 logaM (M＞0)，求 loga Mb． 解 设 logaM＝p， 由对数的定义，可得 M＝ap． 因为 Mb＝(ap)b＝abp， 所以 loga Mb＝b p＝b loga M． 即 loga Mb＝b loga M． 结论： (1) logaM N＝logaM＋logaN． (M＞0，N＞0) 引申：loga(N1N2…Nk) ＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk． (N1＞0，N2＞0，…Nk＞0) 正因数积的对数等于各因数对数的和． (2) logaMN＝logaM－logaN． (M＞0，N＞0) 两个正数商的对数等于被除数的对数减去除数的对数． (3) loga Mb＝b logaM．(M＞0，N＞0) 正数幂的对数等于幂的指数乘以幂的底数的对数． 例 1 用 logax，logay，logaz 表示下列各式： (1) log a xyz； (2) log a (x3 y5)； (3) log a xyz ； 学生通过讨论后， 教师给出解答过程． 教师引导学生对探究问题做总结， 并写出结论， 学生在总结的过程中理解、记忆公式． 学生解答， 教师对学生的解答给予评价． 板书结论，有利于学生比较记忆． 明确各部分的名称，通过强调各部分的名称使学生正确理解公式． 通过练习，让学生理解对数的运算法则．并会熟练应用． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 (4) log a x2y3z ． 解 (1) loga xyz＝loga(x y)－loga z ＝loga x＋loga y－loga z； (2) loga(x3 y5)＝loga x3＋loga y5 ＝3 loga x＋5 loga y； (3) loga xyz＝loga x －loga(y z) ＝loga 21x－(loga y＋loga z) ＝12 loga x－loga y－loga z； (4) log a x2 y3z＝loga(x2 y12 z－ 13 ) ＝loga x2＋loga y12 ＋loga z－ 13 ＝2 loga x＋12 loga y－13 loga z． 练习 1 请用 lg x，lg y，lg z， lg(x＋y)，lg(x－y) 表示下列各式： (1) lg( x y z)； (2) lg ( x＋y) z； (3) lg ( x2－y2) ； (4) lg x y2z． 例 2 计算： lg5100； log2(47×25)． 解 lg5100 ＝15 lg 100＝25； log2(47×25) ＝log247＋log2 25 ＝7 log2 4＋5 log2 2 ＝14＋5 ＝19． 练习 2 计算 (1) log3(27×92)； (2) lg 1002； (3) log2 6－log2 3； (4) lg 5＋lg 2． 教师用投影仪显示练习， 对照对数的运算法则， 要求学生分组合作，并抢答． 学生解答，对问题 3、4 要求小组合作解决． 教师点评突出本节知识点，突出运算法则． 培养学生的竞争意识，勇于显示自己． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 小 结 1．loga M N＝loga M＋loga N 2．loga MN＝loga M－loga N 3．loga M b＝b loga M 师生共同回顾本节主要内容，加深理解、牢记运算律． 简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆． 作 业 必做题： 教材 P110，练习 B 组第 1、2 题； 选做题： 教材 P110，练习 B 组第 3 题． 针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各4. 2. 3 换 底 公 式 与 自 然 对 数 【教学目标】 1. 掌握换底公式，了解自然对数，能利用换底公式求对数值． 2. 培养学生的逻辑思维能力和应用能力． 3．培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质． 【教学重点】 换底公式． 【教学难点】 利用换底公式求值、化简及证明． 【教学方法】 本节采用启发引导式教学，并利用多媒体以体现“教师为主导，学生为主体”的教学原则． 通过一个特殊例子导出课题．针对本节课的特点，教师应多引导，多启发，与学生之间进行适当交流和讨论，在应用换底公式时可设定不同层次的题目，让各层次同学都能掌握公式，从而培养学生学习数学的兴趣和运用公式的能力． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 在生物科学中， 常常要研究某种细胞的分裂问题： 某种细胞第 1 次分裂， 1 个分裂为 2 个，第二次分裂，2 个分裂为 4 个……， 问经过多少次分裂， 1 个这样的细胞分裂的总数为 4 096 个？ 将对数式转化为指数式： 4 096＝2x． 两边取常用对数得 lg 4 096＝lg 2x． 即 lg 4 096＝x lg 2 x＝ lg 4096lg 2 ＝12 教师通过课件展示回顾 4.2.1 节的引入实例，并提出问题． 师：该问题也就是如果知道最终分裂得到的细胞 y ＝ 4 096 个，我们能否求出分裂的次数 x？ 生：log2 y＝x． 师： 像 log2 4 096 这样的对数值，是不能直接从常用对数表中查出也不能用计算器求出的．怎么办？ 学生探究问题的解决方式． 师：我们可以利用计算器求常用对数的值，那么能否将所求以 2 为底的对数换成以 10 为底的常用对数？ 师：如何换底？ 学生分组讨论， 思考求x的思路，找出解决问题的方法． 教师在学生探究的基础上给出问题的解答过程． 通过对数的应用例子，提出新的问题激发学生好奇心，提高学生学习兴趣． 提出和本节课密切相关的问题，让学生思考，充分发挥学习小组的作用，展开热烈的讨论． 特殊例子的推导为学习后面的换底公式打好基础． 新 课 一、对数的换底公式 一般地，有下面的公式 logbN＝logaNlogab． 注意 (1) 成立前提： b＞0 且 b≠1，a＞0，且 a≠1． (2) 公式应用：对数换底公式的教师板书课题． 教师强调使用换底公式要注意的两个问题，使学生对两项注意有深刻认识． 换底公式的证明不做教学要求，教师可针对学生的情况取舍． 使学生对换底公式的底数有清醒的认识即大于零且不等于1． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 作用在于“换底” ，这是对数恒等变形中常用的工具． 通常换成以 10 为底． 二、自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e＝2.718 28…为底的对数， 以 e 为底的对数叫做自然对数，记作：ln N． 探究 1．利用换底公式如何得到自然对数和常用对数的关系？ 2．利用计算器直接计算： ln 34≈3.526 4． 练习 1 将下列对数换成以 10为底的常用对数． log2 6； ln 10． 练习 2 求下列各式的值 eln x； ln e2． 练习 3 求值： log8 9 log27 32； log5 4 log8 5． 练习 4 化简：log5 3 log27 125． 练习 5 求证： logx y logy z＝logx z． 教师直接给出自然对数定义，注意 e 是一个常数，是一个无理数． 师：换底公式的第一次应用，换成以 10 为底． ln N＝lg Nlg e≈lg N0.4343 ． 教师指导学生使用计算器求解． 练习 1、2 学生独立完成， 教师巡视指导． 练习 3、4、5 有一定难度，需要小组合作完成，教师巡视指导． 使学生了解自然对数与常用对数的关系，揭示数学知识的普遍联系． 将例题直接转化为练习，同时增加同类练习，由学生自己寻找解题方法，让学生感觉自己是最棒的． 小 结 1．换底公式： logb N＝loga Nloga b 2．自然对数：ln N 教师总结本节内容之一：换底公式，要理解推导过程，掌握公式内容，会用公式进行比较简单的计算和化简． 点明本节课的重点知识，便于学生记忆． 作 业 必做题： 教材 P112， 练习 A 组第 2 题，练习 B 组第 3 题． 选做题： 教材 P112，练习 B 组第 1、2题． 面对学生实际，对课后书面作业实施分层设置． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各4. 2. 4 对 数 函 数 【教学目标】 1. 掌握对数函数的概念，图象和性质，并会简单的应用． 2. 培养学生用数形结合的方法去解决问题．注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力． 3. 培养学生发现、探索、创新的精神；培养合作交流、独立思考等良好的个性品质． 【教学重点】 对数函数的图象、性质及其运用． 【教学难点】 对数函数图象和性质的发现过程，培养数形结合的思想． 【课 时】 2 课时． 【教学方法】 这节课主要采用启发式和引导发现式的教学方法，结合对数函数的特点，让学生动手做，动脑想，大胆猜，以学生的研究为主体采用，引导发现式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学．这样既增强学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，从而提高学习兴趣．通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 在指数函数的引入问题中，已经得出某种放射性物质的质量的初始值为 1，它的剩留量与经过的年数的函数关系为 y＝0.84x (x≥0)， ① 其中 x 为自变量，表示经过的年数，y 为对应的剩留量． 根据①式画出函数图象，求约经过多少年，剩留量是原来的一半(结果保留一位有效数字)． 解：经过的年数 x＝log0.840.5＝lg 0.5lg 0.84 ≈－0.30－0.08 ≈4.0． 即经过 4 年，剩留量是原来的一半． 师： 根据①式， 给定一个 x 值(经过的年数)，就能计算出唯一的函数值 y． 实际上， 在这个问题中知道的是 y 的值， 要求的是对应的 x 值． 所以用对数形式表示， 即 x＝log0.84 y． ② 学生解题． 师： 在②式中， 对应任一个 “剩留量 y” 都可以求出唯一的 “经过的年数 x” ．所以“经过的年数 x”是“剩留量 y”的函数． 通常我们用 x 表示自变量， 用 y表示因变量， 于是上述的函数关系，可表示为 y＝log0.84 x． 提出与对数定义不同的问题引发学生的 学 习 好 奇心． 使学生初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型． 新 课 一、对数概念 一般地，把函数 y＝loga x (a＞0 且 a≠1) 叫对数函数， 其中 x 是自变量， 函数的定义域为(0，＋∞)． 板书课题． 教师引导学生联系上面“情景问题”的表达式，请同学们思考讨论对数函数的概念． 师：(1) 为什么规定 a＞0 且 a≠1？ 让学生牢记底数大于零且不等于 1， 真数大于零． 通过此问性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 二、对数函数的图象和性质 探索与研究： 画出函数 y＝log2 x与 y＝log12 x 的图象． (1) 列表(略) (2) 描点(略) (3) 连线(略) 对数函数的图象特征： (1) 图象在 y 轴的右侧； (2) 图象向上无限延伸，向下无限延伸； (3) 图象都经过点(1，0)； (4) a＝2 时，从左向右看图象逐渐上升；a＝12 时，从左向右看图象逐渐下降． 对数函数图象和性质 a＞1 0

为用描点法得出余弦函数图象做准备． 新 课 余弦函数 y＝cos x，x R 1. 余弦函数的图象． 根据角x+ k·2π 与角x的余弦值相等， 我们可以利用 (0， 1)， (π2， 0)， (π ，－1)，(3 π2，0)，(2 π ，1)这五个点作出余弦函数的简图.然后再沿 x 轴向左、右分别平移 2π ，4π ，… 就可得到 y＝cos x，x R 的图象. 余弦函数的图象叫做余弦曲线. 2. 余弦函数的性质． 由单位圆中的余弦线或余弦函数图象,可得余弦函数的性质： （1）值域： ［－1，1］ 当 x＝2 k π ，k  Z 时， y max ＝1； 当 x＝(2k＋1)π ， k Z 时， y min ＝－1． 教师利用函数观点讲解y与x间的对应关系． 师： 观察 y＝cos x， x [0， 2π]的图象，最高点是哪个？最低点是哪个？图象与 x 轴有几个交点？分别是什么？ 师：在精确度要求不高的情况下， “五点法”是最常用的画余弦函数图象的方法． 师：在［0，2 π ］上，图象的最高点、最低点坐标分别是什么？在定义域 R 上呢？ 教师用问题引导学生观察图象,初步掌握余弦函数图象的形状. 每个性质先用观察余弦函数图象的方法得出，所以教师注性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 （2）周期性 余弦函数是一个周期函数，2 ， 4  ， … ， －2 ， －4 ， …， 2 kπ (k Z且 k≠0)，都是它的周期，2 π 是其最小正周期． （3）奇偶性 由公式 cos(－x)＝cos x 得知，余弦函数是偶函数， 图象关于 y 轴对称． （4）单调性 余弦函数在闭区间［(2 k－1)π ，2 k π ］(k Z)上，是增函数；在闭区间 ［2kπ ，(2k＋1)π ］(k Z)上是减函数． 例 1 求下列函数的最大值、最小值和周期． (1) y＝5cos x； (2) y＝－8cos(－x)． 练习 1 教材 P157， 练习 A 组第 1 题． 例 2 不求值，比较下列各对余弦值的大小： (1) cos 5 π4 与 cos 7 π5 ； (2) cos( －23 π5 )与 cos(－17 π4 )． 练习 2 教材 P157， 练习 B 组第 1 题． 因为 cos(x＋k 2 π )＝cos x (k Z)，所以余弦函数 y＝cos x 在 x  [－2 π ，0]，[2 π ，4 π ]， [4 π ，6π ]，… 时的图象与 x [0，2 π ] 的形状完全一样，只是位置不同． 所以余弦函数的图象每隔2 π重复出现． 由图 5-17 亦可以看出，角和角－的余弦值是相等的． 师：余弦函数图象的升降情况是怎样的？ 生：余弦函数在［(2k－1)π ，2 k π ］(k Z)上，图象是上升的，在［2 k π ，(2k＋1)π ］(k Z)上，图象是下降的． 教师将例1结合函数图象讲解，在练习后小结：各种函数图象与 y＝cos x 图象的关系，求函数最大值、最小值的规律． 教师将例2结合诱导公式和余弦函数图象，讲解如何比较函数值的大小，然后再引导学生一起写出解题步骤． 意用问题引导学生从哪些方面来考察余弦函数图象，使学生考察时有的放矢． 教师引导学生从诱导公式(数)和余弦函数图象(形)两个角度探究余弦函数的各个性质,培养学生数形结合的思想． 利用两个例题，使学生深入理解余弦函数性质，进一步渗透数形结合的思想． 小 结 1.“五点法”作图． 2. 余弦函数的图象． 3. 余弦函数的性质． 教师小结典型例题及解题规律． 利用典型题目，再次强调数形结合解题的思想． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各作 业 教材 P 157，练习 A 组第 2、3 题，练习 B 组第 2 题． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各5. 3. 3 已 知 三 角 函 数 值 求 角 【教学目标】 1. 理解并掌握已知三角函数值求角的方法． 2. 通过教学，培养学生观察问题，分析问题，类比解决问题的能力． 3. 通过教学，渗透数形结合的思想． 【教学重点】 已知一个角的三角函数值，求指定范围内的角． 【教学难点】 已知一个角的三角函数值，求指定范围内的角． 【教学方法】 本节课主要采用观察、启发探究、类比的教学方法．运用现代化多媒体教学手段，教师设置问题引导学生观察分析三角函数的图象，学会已知正弦值求角，并总结出这类题的解题步骤；对于由已知余弦值或正切值求角，可在教师的问题引导下让学生自己类比求解． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 导 入 复习：特殊角的三角函数值； 诱导公式，三角函数的简图． 师：我们知道 sin π6＝12 ，反过来，若 sin x＝12 ， 则 x 等于多少 ？x 的值只有π6 吗？我们这节课就来研究这个问题：已知三角函数值求角． 复习旧知， 导入新课． 新 课 1．已知正弦值，求角． 例 1 已知 sin x＝12 ，且 x0，2 π )，求 x 的取值集合． 解 因为 sin x＝12 ， 所以 x是第一或第二象限的角． 由 sin π6＝12 可知符号条件的第一象限的角是π6. 又由 sin(π －π6)＝sin π6＝12 ， 可知符合条件的第二象限的角是5π6 ． 教师提示5π6 的得出，既可以用诱导公式，也可以根据正弦函数图象． 师小结解题步骤： 1．定象限． 2．求锐角． 小结解题步骤，给学生做题以明确的思路． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 于是所求的角 x 的取值集合为{π6 ，5π6 }． 例 2 已知角 x－π2 ，π2  ，求满足下列各式的 x 的值: (1) sin x＝ 3 2 ；(2) sin x＝2 2 ； (3) sin x＝－12； (4) sin x＝0.2672． 解 (1) 因为在 －π2 ，π2  上， sin π3 ＝3 2 ， 所以 x＝ π3 ； (2) 因为在 －π2 ，π2  上， sin π4 ＝2 2 ， 所以 x＝ π4 ； (3) 因为在 －π2 ，π2  上， sin(－π6 )＝－12 ， 所以 x＝－π6 ； (4)使用函数计算器解题． （略） 例 3 已知 sin x＝－0.2156， 且－180 ≤x≤180 ，求 x ． 解 因为 sin x＝－0.2156， 所以 x 是第三或第四象限的角． 先求符合sin x＝0.2156 的锐角x， 使用函数计算器解得 x≈12 27． 因为 sin(－12 27 )＝－sin 12 27 ＝－0.215 6， 且 sin(12 27－180 )＝－sin12 27 ＝－0.215 6． 所以当－180 ≤x≤180 时，所求的角分别是 －12 27 和 －167 33． 3．写形式． 例 2 教师可作一个，其他让学生自己练习． 教师对比例１与例 2，提问：为什么例１有两个解，而例 2 的题目只有一个解？ 通过例 3，教师再次强调已知三角函数值求角的三个步骤： 1．定象限． 2．求锐角． 3．写形式． 对比例１与例 2，使学生明确已知三角函数值求角时，所给区间的重要性． 巩固做题步骤． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 新 课 2．已知余弦值、正切值，求角． 例 4 已知 cos x ＝－2 2 ， 且 x0，2π )，求 x 的取值集合． 解 因为 cos x ＝－ 2 2 ， 所以 x 是第二或第三象限的角． 又因为 cos π4 ＝2 2 ， 所以符合条件的锐角是 π4 ， 因为 cos(π －π4 )＝－cos π4 ＝－2 2 ， 且 cos(π ＋π4 )＝－cos π4 ＝－2 2 ． 所以符号条件的第二象限角是3π4 ，符号条件的第三象限角是5π4 ． 于是所求角的集合为{3π4 ，5π4 }． 例 5 已知 tan x＝－3 3 ，且 x (－π2 ，π2 )，求 x 的值． 解 因为 tan x＝－3 3 ， 所以 x 是第四象限的角． 又因为 tan π6 ＝3 3 ， 所以符号条件的锐角是 π6 ． 又因为 tan（－π6 ）＝－tan π6 ＝－3 3 ， 所以所求角的 x ＝－π6 ． 教师可引导学生复习已知三角函数值求角的三个步骤： 1．定象限． 2．求锐角． 3．写形式． 在此基础上，让学生自己解决例 4． 在此，可让学生结合余弦函数图象，验证结论是否正确，培养数形结合的思想. 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各 小 结 本节内容： 1．已知正弦值，求角． 2．已知余弦值，正切值，求角． 两类题目的解题步骤： (1) 定象限； (2) 求锐角； (3) 写形式． 师生一起总结本节内容与解题步骤． 通过总结，统一各例题的解题思路． 作 业 教材 P 162，练习 A 组第 1、2、3题；练习 B 组第 1、2 题． 本节内容颇多， 可分为两节讲授，教师酌情布置课后作业． 性一次二次问题一次函数模型二次函数模型函数的应用第四章指数函数与对数函数有理指数一有理指数二幂函数举例指数函数对数积商幂的对数换底公式与自然对数对数函数指数对数函数的应用第五章三角函数角的概念的推广弧度三角函数值求角第三章函数函数的概念教学目标理解函数的概念会求简单函数的定义域理解函数符号的意义会求函数在处的函数值通过教学渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点教学重点函数的概念及两要素会求函和分组教学法运用现代化教学手段通过两个实例分析抽象出函数概念使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素然后通过求函数值与定义域的两类题目深化对函数概念的理解教学过程环节教学内容师生互动设计意图试举出各。