甲型H1N1流感预测模型及分析董晓鹏、莫天立、李明东北大学理学院1 东北大学信息学院2摘 要：甲型H1N1病毒的蔓延引起了全世界的关注，本文提出了一种基于SIR模型的微分方程思想，并且结合中国实际情况的H1N1病情的预测模型经典的SIR模型是基于微分方程思想，结合病毒的传播规律，设计了传染病病毒在传播过程中的三个变量、、本文设计的数学模型中，结合了中国的实际情况，对上述模型进行了重建，细化了人群分类，不仅对于变量间的关系进行了改进，而且引入了政府控制力等变量在系数估计部分，在收集到大量数据的基础上，由于中国实际情况的特殊性，所以除了医疗能力、输入型携带者等系数可以通过中国的数据进行估计，但是对于传染率、接触率等系数的估计要更多的参考美国、墨西哥等疫区的数据模型的建立和完善后，利用matlab软件对模型的预测结果进行了模拟分析、求解之后，本文基于蒙特卡洛模拟的思想，对模型进行了随机数检验，结果表明本文提出的模型稳定性较好，而且预测结果比较合理最后，传播率在有效范围内是服从均匀分布的，应用三次样条拟合对不同传播率下所得到的离散预测值进行拟合，在三维空间中演示模型的预测结果关键词：H1N1、数学模型、微分方程1.问题重述与分析1.1 问题重述由墨西哥发端的甲型H1N1流感疫情已蔓延至中国内地，但是经历了非典考验的中国内地采取了严防、严控等有效措施，使得甲型H1N1流感对我国的影响得到了最大限度的控制，反观一些医疗条件远好于我国而人口密度小于我国的一些国家和地区，疫情蔓延范围之大确诊病例人数之多都远超我国。
问题：收集和分析相关数据，分析在不对输入型甲型H1N1流感病例进行隔离的条件下，按我国目前的医疗水平，自确诊首例输入型甲型H1N1流感病例后半年内每月的可能确诊人数1.2 问题初步分析对于上述问题的分析有：对于一般的传染病蔓延规律，人群中的患病者，作为传染源,对接触到的易感人群，进行病毒感染考虑到人体自身的免疫力和病毒的传染条件等因素，易感人群有一定的受感染概率，如果被感染，或是直接转化为患病者，或是成为病毒的携带者之后，在患者、病毒的携带者和易感人群中，上述的传播过程不断的进行下去但是政府的防控能力、医院的治愈能力、人群的防范意识、人体自身的自愈能力等因素对病毒的蔓延趋势具有有效的限制能力中国对甲型H1N1采取了严防、严控等有效措施所以中国的实际情况与问题假设的情况在一些部分不符而且中国的实际情况只有少量的非输入型H1N1的病例，现今发现的确诊病例仅有5例不是输入型H1N1病例，对于传染源从国外输入国内的情况和国际疫情对中国输入型病例的影响都需要有效的估计而且考虑到中国的人口密度、医疗水平和政府的重视程度等因素，对于中国的H1N1流感，在问题假设条件下的估计，经典的SIR模型已经不适用了。
考虑到上述的分析，结合SIR模型的中心思想，首先通过把人群分类，分类的标准基于上述的分析过程，这样能够区分其中具有传染性的人群考虑到对于疑似病例是否隔离和病毒携带者的人群接触率等因素来建立病毒传播的模型为了完善模型，考虑病愈者具有的病毒免疫性对病毒传播的影响2. 预备知识在传染病的预测问题上，已经有经典的SIR模型文献[5]把微分方程模型应用于病毒的传染模型在建模过程中作如下的假设：1. 总人数N不变，人群分为健康者、患者和病愈移出者三类，三类比例、、2. 病人的日接触率为，日治愈率为由假设1可得，由假设2推导可得 ，对于病愈的移出者应有，再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是和 ，初始值时病愈者比例则这种假设条件下的病毒的传播数学模型为： 3.模型假设3.1 问题进一步分析 结合本次H1N1在中国传染的特性，基于SIR模型的中心思想，在上述介绍的基础上，结合中国甲型H1N1流感的实际情况，做以下的模型重建分析在疾病的防治过程中，病毒传播的控制与政府和医疗部门及社会公众的防范控制措施有关，它不是单一因素，而是多因素的综合，包括隔离、消毒、医药预防、减少公共场合开放时间以及公众自我防范意识的增强等。
输入型流感是指出国后被传染发病回国的病例，或者出国被传染但没有立即发病而是回国后发病的病例，非输入型流感病例是指被输入型病毒携带者传染后在国内患病的患者所以根据题意分析，在未对输入型患者成功进行隔离的前提下，对于病毒大范围传播后的治疗过程中对非输入传染型患者隔离是个必须的防治手段3.2模型假设我们把整个人群分为六类: 健康者人数,确诊患者人数,治愈移出人数, 隔离疑似患者人数, 非输入病毒携带者（未隔离）人数，人口总数变化人数中输入携带者根据实际情况假设，政府控制力度系数1. 某一时段, 某一地区的迁入迁出相对较稳定且占总人数比率较小, 故假设人口总数不变，但由于H1N1病毒的输入性必须考虑人口变化中的输入者；2. 人的活动是随机的, 为了简化模型可以假设病人与被感染者的个体在人群中混合是均匀的, 并且人群个体间是没有差异的；3. 将H1N1 的传播途径视为与病源在传播范围内的有效接触；4. 因为H1N1感染后都有一定的潜伏期, 所以假设每一个确诊病人都经历了潜伏期, 也就是说任意的确诊病人都是由隔离疑似患者、病毒携带者或输入携带者转化而来的；5. 假设,,，，,，是随时间变化的；6. 疑似病例与确诊病人被完全隔离, 不再具有传染性；7. 不考虑被隔离, 而实际未得病的情况, 因为即使有, 这部分人是没有自由的, 所以他们也不会对传染过程产生影响；8. 患者治愈移出后具有对病毒的免疫能力；9. 政府控制力度系数影响了未被隔离的病毒携带者被隔离的比率；参数说明:——隔离者中每日排除的人数占疑似人数的比例；——隔离者中每日确诊的人数占疑似人数的比例； ——每个自由病毒携带者转化为确诊病人的日转化率；——每个携带者被隔离前平均每天感染的有效人数；——病毒携带者有效感染的人中可能被隔离的比率；——确诊病人的日治愈率；——政府控制力度系数。
——平均每日输入携带者的个数4.模型建立通过以上的分析与假设，基于SIR模型中心思想，结合微分方程知识，建立以下H1N1病毒传播模型根据参数关系, 可列出如下方程组:微分方程组中，等号左边的导数式代表了各变量在单位时间内的增长量，左边是根据各变量的关系（通过对甲型H1N1病毒传播过程的分析）建立的关系式5. 模型的求解5.1 参数估计在上述的假设条件下，中国本土的甲型H1N1病毒的传播数据的利用性不高，但医疗水平、输入型病例及人口分布等相关系数的估计还是采用国内数据本文采用了大量的美洲、日本等疫区H1N1病毒传播的相关数据，对模型所需系数进行了估计1. ，可由数据近似推导得到，我们取近似值=0.02，=0.035 2. 、、、其精确解无法得到，但从数据中可推算出其取值范围，分别是： ：0.15—0.32 ：0.7—1.1：0.70—0.95 ：0.006—0.0087通过上述建立的模型方程组，为获得更好的拟合优度，获得最优的参数：=0.27，=0.8，=0.7，=0.006415.2 模型求解 图（1）横坐标是时间t，纵坐标是患病人数i由模型的求解过程可知，患病人数的增速在初期很快，但逐渐减小；在90天附近患病人数达到最大值，约为2260人左右；然后患病人数缓慢的下降。
下面应用三次多项式拟合与我们建立模型的结果进行比较图（2）应用三次多项式拟合的结果 由上图分析可知，利用三次多项式拟合的结果，患病人数的增速随着时间的增长，逐渐增大而且由于三次多项式的特点，患病人数结果没有上限由曲线可知，三次多项式在短期的预测结果较好，但在长期预测中，效果远不如本文建立的模型 上述的试验结果表明，本文建立的模型不仅短期的预测结果较好，而且在长期模型预测中，能够有效的控制曲线的增长速度通过假设和分析，模型设计的变量和系数能够有效的控制预测结果的走向变量能够有效的加强模型的稳定性，而且接近现实数据5.3 模型检验及分析图（4）应用蒙特卡洛模拟的思想对模型进行模拟在本文设计的预测模型的基础上，应用蒙特卡洛模拟思想，对模型进行模拟假设图（4）中的点表示模拟的患病人数的结果，点的整体趋势与连续的预测趋势相符，有效的说明了模型的稳定性图（5）在之后没有输入型携带者的情况下，模拟结果 上图中的曲线表示：在第一个输入者不被隔离，之后没有输入型病毒携带者的情况下，患病者的数量在90天附近达到最大值后，逐渐的减小根据模型的预测结果可知，如果没有输入型携带者，患病者人数经过长时间的模型进化会趋向与0.如果之后有输入型携带者，患病人数经过一定时间的模型进化后会趋向于稳定。
如下图图（6）在之后有输入型携带者的情况下，模拟结果图（7）传染率从0.15—0.30变化时的患病人数上图中，0—20的坐标轴是把传染率0.15—0.32扩充至0—20的结果，0—200的坐标轴是时间t的范围对于微分方程组的离散解利用三次样条拟合的方法得到较为光滑，并且连续的曲线图（6）中的模拟结果与图（1）中曲线的整体趋势相符6. 模型的推广 本文建立了针对H1N1特点的微分方程数学模型，根据不同情况对各参数进行了合理的假设及估计本文采用均匀分布对数据进行估计，希望在以后的研究过程中能应用更合理的数据概率分布在模型中，每个携带者被隔离前平均每天感染的有效人数具有很大的随机性，但是它对病毒传播具有重要的影响，因此对的估计需要建立更有效的数学模型本文提出的模型可以在这些方面进行改进参考文献[1]薛定宇等，高等应用数学问题的MATLAB求解[M]，北京：清华大学出版社，2004[2]高隆昌等，数学建模基础理论[M]，北京：科学出版社，2007[3]丁同仁等，常微分方程教程[M]，北京：高等教育出版社，2004 [4]赵国忠, 流感病毒传播的数学模型及数值模拟[J]，阴山学刊，Vol.20 No.2，2006.6 - 9 -。