§4.2换元积分法I授课题目§4.2换元积分法(第一类换元法)II教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是 “凑微分”,加(x)=甲'(x)dx .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分m教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分.w讲授内容： 一、第一类换元积分法设f (u)具有原函数F(u)，j f (u)du =F(u) + C ,若u是中间变量，u =9 (x)，中(x)可微，则根据 复合函数求导法则，有dF (9 (x)) dF du du= =f (u) = f [9(x)]9'(x)dx du dx dx所以根据不定积分的定义可得：j f [9 (x)]9'(x)dx = F [9 (x)] + Cu =9 (x)F [u ] + C = [ j f (u )du ] 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有j f [甲(x)]9(x)]dxu =9(x)[ j f (u)du] = F [u]+ C = F [甲(x)]+ C以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然jf [甲(x)]pr(x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待 从而上式中的9‘(x)dx可以看成是9(x)的微分，通过换元u =9 (x)，应用到被积表达 式中就得到9 '(x)dx = du .定理1设f (u)具有原函数F(u)，u = 9(x)可导，du = 9‘(x)dx，则j f [9 (x)9，(x)dx = jf (u )du = F (u) + C = F [9 (x)] + C如何应用公式(1)，在求不定积分积分jg(x)dx时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f [9(x)]9'(x)的形式 那么j g (x)dx =j f [9 (x)]9，( x)dx9 (x) = u [ j f (u )du ] = F (u) + Cu =9 (x) F [9 (x)] + C.所以第一换元积分法体现了 “凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积例 1 求 f 3e3 xdx解』3e3xdx = fe3x3dx=f e3x(3x) dx，可设中间变量u = 3x，,/ du = d (3x) = 3dx :. 3dx = du，所以有 j°3xdx = je3x3dx = f eudu = eu + C = e3x + C.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
例 2 f cos 2xdx解 f cos 2xdx = 2 f cos 2x - 2dx = 2 f cos 2x - (2x)dx令 u = 2x，显然 du = 2dx，贝 U f cos 2 xdx =上 f cos 2 x - 2dx =上 f cos udu = — sin u + C = — sin 2 x + C2 2 2 2在比较熟练后，我们可以将设中间变量"=中⑴ 的过程省略，从而使运算更加简洁例 3 f (3x - 2)5dx解如将(3x-2)5展开是很费力的，不如把3x-2作为中间变量，d(3x — 2) = 3dx，f (3x - 2)5dx = 1 1 1 1 1J dx = J 2dx = J d (3 + 2 x) = lnl3 + 2 x I+C3 + 2x 2 3 + 2x 2 3 + 2x 2例 5 f 2xex2 dxf 2 xex2 dx = f ex2 (x 2)dx = f ex2 dx 2 =ex2 + C例 6 求 f x t'1 - x2dxf x 1 — x 2 dx = - 2 f (-2 x)扣 1 一 x 2 dx=-Lf \；1 - x 2 (1-x 2)'dx = -!f i'1 -x 2 d (1-x 2) f (3x - 2)5 - 3dx=1 f (3x - 2)5d(3x - 2) = — (3x - 2)6 + C3 3 18例 4 f \ dx3 + 2 xu =1 — /2 --、和du =--x-ut + C = - 1(1一股)；+ C2 2 3 3、掌握几种典型的“凑微分”的方法dx = —d (ax + b)； aXn-1dx = —d (Xn + b)；nexdx - d(ex)；— dx = d (In |x |)； xaxdx = —!—d (ax)；In acos xdx = d(sin x)；sin xdx = -d (cos x)；sec 2 xdx = d (tan x)；csc2 xdx = 一d(cot x)；sec x tan xdx = d (sec x)；dx<1 一 x 2=d (arcsin x)；dx1 + x 2=d (arctan x)。
三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分 计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算 例 7 求 j sin 2 xdx解 j sin 2 xdx = j 2 (1-cos 2x)dx = 2 j dx - 2 j cos 2xdx不-H j (cos 2x) - 2dx = — - — sin 2x + C .(此题利用三角函数中的降幂扩角公式)2 4 2 4dx\-a2 一 x2(a > 0)dx 1 1 x xJ —— J —dx — J —d (—) — arcsin — + CE2 - x 2 叩-(^ )2 ,1 - (^ )2 a a\ a a利用d(xn) — nxn-1 dx，有如下例题. 1sin —例9求j——x dx x 2解 d (!) = -L dxx x2sin1—cos1 + Cx二 j x dx = -j (sin —)(— 一)dx = -j (sin —)(_)，dx = -j sin — d(_)x 2 x x2 x x x x例 10 求 jex cosexdx解 j ex cos exdx^\ cos exd(ex) = sin ex + C.利用 d(ex) = exdx , d(ax) = ax Inadxdx例11求J 一+—— 习题4-2:2(30)解 J dx = J ——ex——dx = J _dex_ = arctan ex + C . ex +e-x (ex )2 +1 (ex )2 +1dx例12求J -ex +11 1 + ex — e^ ex = =1 — ex +1 ex +1 ex +1.J dxex +1=J dx — J6x―4x—dx = J1 +生4 x(2)x——、——dx1 + (3)2 x2-13 J ln2 1 + |(|) x—1 arctan(l) x + C ln3 — ln2 2 -此题利用 d(ax) = ax lnadx卜面几个例题利用d (ln x) = - dxxdx例14求 ——x ln x解 J * = J 1 Idx = J 1 d(lnx) = ln lnx + Cx ln x ln x x ln x ,「 dx又如习题4-2:2 (16) J —■———■一 x - ln x - ln ln x-^—dx = x — J d(ex +1) = x — ln(ex +1) + C. ex +1 ex +1=J — •上 d In xln ln x ln xdx 1 11,J = • ・一dx解 x • ln x • In In x In In x In x x1=J |——d In In x = In I In In x I+C 例 15 求 J 1(2lnx + 5)4dxx解 J 1(2ln x + 5)4dx = - J (2ln x + 5)4 2 dx x 2 x=2 J (2ln x + 5)4 d(2ln x + 5) =，(2ln x + 5)5 + C.第一次课可以讲到这里.被积函数是分母是二次函数，分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法 (例16〜例22六个例题)(a > 0)分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项.r dx 例16求J a 2 + x 26 / 10dx 1 1 八 1 1 x、 1 x ,八J — — J dx ———J d (——)一——arctan ——+ Ca 2 + x 2 a 2 1 + (b a 1 +(x )2 a aa a例17dx被积函数分母是一个完全平方式dx 1 1 c 7 1 1 1J = — J 3dx — J d (3x + 2) — — + C9x2 +12x + 4 3 (3x + 2)2 3 (3x + 2)2 3(3x + 2)f 1 , 1 1被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为J （OF g a J标Fd（ax+b例18分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式J dx4 x 2 + 4 x +17 dx dx 1 1J — ■ ■ - = J - ■ = dx4 x 2 + 4 x +17 16 + (2 x +1)2 16 1 + (2 x + \21 41 2x +1、 1 ,x , 1、，八 5—n— d (—a—)= 3 arc tan(二 + —)+ C 1+(公)2 4 8 2 44被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为 （ax + b）2 + c 的形式， 然后利用 J―1~dx = arctanx + C1 + x 2练习：求Jxi—1^dx （第一换元积分法分）解 x 2 — 2 x + 5 = (x —1)2 + 4，dx J 1 d _ 1 J 1 d j (x2 — 2x + 5) =J (x —1)2 + 4dx =4J (±1)2+1dx1 1 ,x — 1 1 x — 1 八=一 J ；— d = — arctan + C2 1+（史）2 2 2 22例19求J—d^— 分子是常数，分母是二次三项式且可以分解因式x 2 — x —12解•••1x2 — x —121(x + 3)( x — 4)dx J1 1 11 J 1 』1 J 1 ,二 J = J — ( — )dx = dx — dxx2 — x —12 7 x — 4 x + 3 7 x — 4 7 x + 3=1J^— d (x — 4) —1J-^ (x + 3) — ilnl x — 41 — Lnl x + 31 +C = Lnlx—41+C7 x —。