排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题常用解题方法和技巧1. 优先排列法2. 总体淘汰法3. 合理分类和准确分步4. 相邻问题用捆绑法5. 不相邻问题用插空法6. 顺序问题用“除法”7. 分排问题用直接法8. 试验法精选.9. 探索法10. 消序法11. 住店法12. 对应法13. 去头去尾法14. 树形图法15. 类推法16. 几何计数法17. 标数法18. 对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合基础知识 （数学概率方面的基本原理）一 . 做一件事情， 完成它有 N 类办法，在第一类办法中有 M1 中不同的方法，在第二类办法中有 M2 中不同的方法， ，在第 N 类办法中有 Mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 M1+M 2+ +Mn 种不同的方法二 . 如果完成某项任务，可分为 k 个步骤，完成第一步有 n1 种不同的方法，精选.完成第二步有 n2 种不同的方法， 完成第ｋ步有 ｎ ｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有 ｎ１ ×ｎ ２× ×ｎ ｋ 种不同的方法。
三 . 两个原理的区别做一件事，完成它若有 n 类办法，是分类问题 ，每一类中的方法都是 独立的，故用加法原理每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同 (即分类不重 )；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类 (即分类不漏 )做一件事，需要分 n 个步骤， 步与步之间是连续的 ，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务， 必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同这样完成一件事的分“ 类”和“ 步 ”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．四 . 排列及组合基本公式1. 排列及计算公式从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素按照 一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列；从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 排列数，用符号 Pmn 表示 .Pmn =n(n-1)(n-2) (n-m+1)n!= (n-m)!(规定 0!=1).精选.2. 组合及计算公式从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素 并成一组 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合；从 n 个不同元素中取出 m(m≤ n) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数 .用符号 Cmn 表示 .n!m mC n = P n /m!= (n-m)!×m!一般当遇到 m 比较大时（常常是 m>0.5n 时），可用 Cmn = Cn-mn 来简化计算。
规定： Cnn =1, C0n =1.3. n 的阶乘 (n!)—— n 个不同元素的全排列Pnn =n!=n ×(n-1)×(n-2) 3× 2× 1五 . 两个基本计数原理及应用1. 首先明确任务的意义【例 1】 从 1、2、3、 、 20 这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有 ________个分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题设 a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知 b 由 a,c决定，又∵ 2b 是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从 1， 3， 5， ， 19 或 2， 4，6，8， ， 20 这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，如： a=1，ｃ =7，则 b=4（即每一组 a,c 必对应唯一的 b，另外 1、4、7 和 7、 4、 1 按同一种等差数列处理）∴ C210＝10× 9＝90，同类（同奇或同偶）相加，即本题所求 =2 ×90＝ 180精选.【例 2】 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道，街道之间的间距相同，如图若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从 M 到 N 有多少种不同的走法 ?分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一） 从 M 到 N 必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，∴ 本题答案为： C38=562. 注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段 (排序 )可转化为排列问题例 3】 在一块并排的 10 垄田地中，选择二垄分别种植 A， B 两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求 A， B 两种作物的间隔不少于 6 垄，不同的选法共有 ______种分析： 条件中“要求 A、B 两种作物的间隔不少于 6 垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法第一类： A 在第一垄， B 有 3 种选择；第二类： A 在第二垄， B 有 2 种选择；第三类： A 在第三垄， B 有 1 种选择，同理 A 、B 位置互换 ，共 12 种精选.1． 恰好能被 6， 7， 8， 9 整除的五位数有多少个 ?【分析与解】6、 7、 8、9的最小公倍数是504，五位数中，最小的是10000，最大为 99999．因为 10000÷504：19424 ， 99999 ÷ 504=198207 ．所以，五位数中，能被504 整除的数有198-19=179 个．所以恰好能被 6， 7， 8， 9 整除的五位数有 179 个．2．小明的两个衣服口袋中各有13 张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3， ， 13．如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积．那么，其中能被 6 整除的乘积共有多少个 ?【分析与解】 这些积中能被 6 整除的最大一个是 13 × 12=26 × 6，最小是6．但在 l × 6～ 26 ×6之间的 6 的倍数并非都是两张卡片上的乘积，其中有 25 × 6， 23 × 6， 21 × 6， 19 × 6， 17这×6五个不是．∴ 所求的积共有 26-5=21 个．3． 1，2， 3， 4， 5， 6 这 6 个数中，选 3 个数使它们的和能被 3 整除．那么不同的选法有几种 ?【分析与解】 被 3除余 1的有 1，4；被 3除余 2的有 2,5；能被 3 整除的有 3， 6．从这 6 个数中选出 3 个数，使它们的和能被 3 整除，则只能是从上面 3 类中各选一个，因为每类中的选择是相互独立的，∴ 共有 2× 2×2=8 种不同的选法．4．同时满足以下条件的分数共有多少个 ?①大于 1 ，并且小于 1 ； ②分子和分母都是质数； ③分母是两位数．6 5【分析与解】 由①知分子是大于 1，小于 20 的质数．精选.如果分子是 2，那么这个分数应该在2 与 2 之间，在这之间的只有2符合要求．10811如果分子是 3，那么这个分数应该在3与 3之间， 15 与 18 之间只有质数17，所以分数是3 ．151817同样的道理，当分子是5， 7， 11， 13， 17，19 时可以得到下表．分子 分数22113317552973 , 73741分子 分数1111,1159611313131367,,717317171789,97191997于是，同时满足题中条件的分数共 13 个．5．一个六位数能被 11 整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的 6 个数字重新排列，最少还能排出多少个能被 11 整除的六位数 ?【分析与解】 设这个六位数为 abcdef ，则有 ( a c e) 、 (b d f ) 的差为 0 或 11 的倍数．且 a 、 b 、 c 、 d 、 e、 f 均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数．先考虑 a 、 c 、 e 偶数位内， b 、 d 、 f 奇数位内的组内交换，有P33× P33=36 种顺序；再考虑形如 badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有333 ×3 =36 种顺序．PP所以，用均不为0 的 a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f 最少可以排出36+36=72 个能被 11整除的数 (包含原来的 abcdef )．所以最少还能排出72-1=71 个能被 11 整除的六位数。