2024—2025学年江苏省锡山高级中学锡西分校高一上学期期中考试数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合 ， ， 若 ， 则 （ ） A． -1B． 1C． 0D． 2 (★) 2. 已知函数 的定义域是 ， 则 的定义域是（ ） A． B． C． D． (★) 3. “ ”是“ ”的（ ） A． 充分不必要条件B． 必要不充分条件C． 充要条件D． 既不充分也不必要条件 (★★) 4. 幂函数 在 上单调递增， 则（ ） A． B． C． 或3D． (★) 5. 对于任意实数 a， b， c， 下列命题中正确的是（ ） A． 若， ， 则B． 若， 则C． 若， 则D． 若， 则 (★★) 6. 若函数 是定义在 上的偶函数， 则 （ ） A． B． C． D． (★★) 7. 在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分）， 则其边长 x应为（ ） A． 10 mB． 15 mC． 20 mD． 25 m 二、多选题(★★) 8. 若关于 的不等式 的解集为 ， 则下列说法错误的是（ ） A． B． 的解集为C． D． 的最大值为 (★★★) 9. 下列说法正确的是（ ） A． 不等式的解集为B． 函数的值域为C． 若， 则函数的最小值为2D． 当时， 不等式恒成立， 则的取值范围是 (★★) 10. 函数 与 在同一坐标系中的图象可能为（ ） A． B． C． D． (★★★★) 11. 已知定义在 R上的函数 满足 ， 当 时， ， ， 则（ ） A． B． 为奇函数C． 为减函数D． 当时， 三、填空题(★) 12. 若命题“ ， 使 ”是假命题， 则实数 的取值范围为 _______ . (★★) 13. 定义集合 ， 的一种运算“ ”， ， 若 ， ， 则集合 的所有元素的和 ____________ . (★★★★) 14. 已知函数 ， 若关于 的不等式 恰有两个整数解， 则实数 的取值范围是 ____ ． 四、解答题(★★) 15. （1）计算： ； （2）计算： ； （3）已知 ， 求 的值． (★★★) 16. 已知全集 为实数集， 集合 . (1)若 ， 求图中阴影部分表示的集合 C； (2)若 ， 求实数 的取值范围. (★★★★) 17. 已知函数 是定义在 上的奇函数， 当 时， ． （1）求函数 的解析式； （2）①证明函数 在 上是单调递减函数； ②判断函数 在 上的单调性（不要证明）； （3）根据你对该函数的理解， 作出函数 的图像． （不需要说明理由， 但要有关键特征， 标出关键点） （本题可能使用到的公式： ） (★★★) 18. 某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线， 建设该生产线的成本为300万元， 若该型芯片生产线在2024年产出 万枚芯片， 还需要投入物料及人工等成本 （单位： 万元）， 已知当 时， ；当 时， ；当 时， ， 已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出． (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为 （单位： 万元）， 试求出 的函数解析式． (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划， 使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大， 并预测最大利润． (★★★) 19. 已知 a为实数， 函数 ， ． (1)设 ， ， 若函数 的最大值等于2， 求 a的值； (2)若对任意 ， 都存在 ， 使得 ， 求 a的取值范围； (3)设 ， 求 的最小值． 。
