第六章 线性空间一． 内容概述（一） 基本概念⒈线性空间的定义-----两个集合要明确两种运算要封闭，八条公理要齐备数域 使 使满足下述八条公理：⑴； ⑵；⑶对于都有，零元素；⑷对于，都有，称为的负元素，记为；⑸；⑹；⑺；⑻常用的线性空间介绍如下：（ⅰ）、分别表示二维，三维几何空间ⅱ）或表示数域上的维列向量构成的线性空间ⅲ）表示数域上全体多项式组成的线性空间表示数域上次数不大于的多项式集合添上零多项式构成的线性空间ⅳ）表示数域上矩阵的集合构成的线性空间当时，记为ⅴ）表示在实闭区间上连续函数的集合组成的线性空间⒉基，维数和坐标------刻画线性空间的三个要素 ⑴基 线性空间的一个基指的是中一组向量满足（ⅰ）线性无关；（ⅱ）中每一向量都可由线性表出⑵维数 一个基所含向量的个数，称为维数⑶坐标 设为的一个基有则称有序数组为关于基的坐标记为()⑷过渡矩阵 设的二个基（ⅰ）（ⅱ）且 则称阶矩阵为由基到基的过渡矩阵⒊子空间 子空间的定义及其判定交子空间和子空间，生成子空间，余子空间⒋ 线性空间的同构 设和是数域上两个线性空间如果⑴是到的一个双射⑵ ⑶ 则称为到的一个同构映射。
此时称与同构二） 基本理论⒈为的一个基中每一个向量都可唯一地表示成这个向量的线性组合⒉任意多于个向量的向量必线性相关（中）因此有以下四个结论：（ⅰ）中任意个线性无关的向量均可构成一个基ⅱ）中任何两个基所含向量个数相同ⅲ）有限维线性空间的任意子空间必为有限维的ⅳ）若中两个子空间且有 则⒊ 中两个向量组与等价，则⒋基扩充定理 设为一组线性相关的向量，则中必有个向量使得做成的一个基⒌维数公式 设是的两个子空间，那么⒍坐标变换公式 ⒎过渡矩阵是可逆的⒏子空间的判定设是的一个非空子集，则为的一个子空间 都有⒐直和的充要条件：（ⅰ）零向量的表示法唯一ⅱ）（ⅲ）⒑线性空间同构的性质ⅰ） （ⅱ）线性空间中向量组线性相关它们的象线性相关ⅲ）同构具有反身性，对称性，传递性ⅳ）数域上两个有限维线性空间同构的是它们有相同的维数三） 基本方法 ⒈线性空间及子空间的证明方法；⒉基、维数及向量坐标的求法；⒊线性空间直和分解的方法；⒋线性空间同构的证明方法二． 例题选讲例⒈判断下列集合对指定的运算是否构成给定数域上的线性空间⑴数域上全体阶对称矩阵与反对称矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数乘运算⑵全体正实数构成的集合, 加法和数乘定义为 解 ⑴构不成线性空间。
因为设是对称矩阵，是反对称矩阵，且都不是零矩阵则但（否则之一为零矩阵）即既不是对称矩阵，也不是反对称矩阵故，因而构不成线性空间⑵对于加法封闭：对任意的，有； 对于数乘封闭：对任意的，有；(ⅰ)；(ⅱ)（ⅲ）中存在零元素1,对任何，有； （ⅳ）对任何，有负元素，使(ⅴ)；（ⅵ）；（ⅶ）；（ⅷ）因此对于所定义的加法和数乘构成线性空间例⒉设（ⅰ）证明对于矩阵的加法和数乘来说构成实数域上的线性空间ⅱ）求的一组基及维数ⅲ）求在该基下的坐标解（ⅰ）有两种证法①逐条验证②用子空间的判定条件来证 （ⅱ）,,线性无关，又任意矩阵 为的的一个基，维数为3 (ⅲ)矩阵在基下的坐标为例⒊ ⑴证明以下两组向量是线性空间的两个基： （北京师范大学、湖北大学） ⑵求向量在这两个基下坐标的关系 证明 ⑴以向量及为到三阶行列式 与分别线性无关 故与都是线性空间的基 ⑵设在两个基下坐标分别为与其中为3维单位向量在两个基下坐标有如下关系：例⒋ ⑴证明下列多项式是（即次数次的多项式及零多项式构成的线性空间）的基：其中是数域中个互不相同的数。
⑵在⑴中，取为全体次单位根，求由基到基的过渡矩阵⑴证：事实是上，若⑴则令代入⑴式由得将分别代入⑴式由于必得故线性无关故是一个基⑵由于由基到基的过渡矩阵为例⒌在中，求由基到基的过渡矩阵 解：的基，所以 将⑵代入⑶得 为所求过渡矩阵 例⒍ 证明：数集关于数的加法与数的乘法构成有理数域上的线性空间，并求的一组基与维数 证： 根据线性空间的定义，根据数的加法具有交换律、结合律是中的零元的负元素为数的乘法对加法具有分配律，容易验证故构成上的线性空间 为求的基与维数，设 则 由于是有理数，是无理数 故 注意到是有理数，是无理数 得从而线性无关并且中的数都可由线性表示这样是的一组基，从而维 例⒎ 若以表示实系数多项式试证 （吉林工业大学、华中师大）是实数域上的线性空间并求出它的一组基及维数 证：记为实系数多项式全体，已知是上的线性空间 即证是的子空间，从而是实数域上的线性空间 再令 由于且次数 再证线性无关，令 得线性无关 再对 那么 但是 此即可由线性表示 综上可知是的一组基，且维。
例⒏ 若，则对通常的加法和数乘，在复数域上（ ）维的在实数域上是（ ）维的答：2；4在复数域上令；则线性无关则此即可由线性表示，在实数域上 令若 其中此即线性无关可由线性表示，在实数域上，例⒐ 设是定义在闭区间上所有实函数的集合，在上定义加法为：对为函数定义实数乘函数为 ⑴证明：是实数域上的向量空间；并指示什么函数是零向量；的负向量是什么函数； ⑵证明不是有限维向量空间证：⑴先证关于加法和数乘是封闭的那么和仍为定义在闭区间上的实函数， 下证加法满足四条公理： 规定零向量如下： 以下四条中，这里只证最后一条（其余同理可证） 再证数乘满足四条公理： 现以为例（其余同理可证）故综上所述，即证得是上的向量空间，零向量是零函数即的负向量为⑵证明维即存在任意多个线性无关的向量，令 那么可证线性无关，由可任意大 维 即不是有限维实向量空间例⒑ 设是定义域实数集的所有实函数组成的集合，对于分别用下列式子定义 则成为实数域上的一个线性空间设⑴判断是否线性相关，写出理由⑵用表示生成的子空间，判断是否为直和北京大学）解： ⑴令即 分别代入上式得 解得 线性无关。
⑵令是直和即是直和例⒒ 证明对于全体阶矩阵构成的线性空间，有其中分别是全体阶对称矩阵与反对称矩阵的线性空间 证： 先证 虽然有 因为 而 故 故 再证 故 而例⒓ 设A、B、C、D都是数域上阶方阵，且关于乘法两两可交换，还满足AC+BD=E（E为阶单位矩阵） 设方程的解空间为与的解空间分别为，证明 证：⑴先证 此即 则此即即 ⑵再证 由⑴有故此即 故 ⑶证明 即的任意性证得 故例⒔ 设是数域上的矩阵是上矩阵是非奇异矩阵证明：维线性空间是齐次线性方程组的解空间的解空间的直和山东大学“） 证：仅有零解即方程组仅有零解，此即但秩秩（秩）例⒕ 设都是的子空间证明 证：已知只须证设对于任意的有且故使推出又故得而故故例⒖设且 证明：关于通常矩阵的加法与数乘构成上的线性空间并求的维数 证：显然故是数域上三阶方阵所构成线性空间的一个非空子集。
易证是的子空间 从而是上的一个线性空间 另一方面，由计算得知的特征多项式为最小多项式为任取则 于是可见是的生成元线性无关故是线性空间的一个基从而例⒗ 设是线性空间的两个真子空间，证明：存在向量使同时成立的补充题4） 证：因为为非平凡子空间故存在如果则命题得证 如果但必另有如果则命题也得证今设即有向量使得于是可证 事实上，若，那么必定有这与假设矛盾同理可证则即为所求例⒘ 设是线性空间的个真子空间证明中至少有一个2不属于中任何一个的补充题5）（北京邮电学院） 证：对用数学归纳法 ⑴当时，由上例得知，结论成立 ⑵假设时，命题成立现证时，也成立 由归纳假设须知中存在一个向量，如果则结论得证 今设另外存在此时如果中任何一个，则结论也成立因此不妨设于是有及由上例知：对作同样的讨论如果中任何一个，则结论成立因此不妨设显然中任何一个，再对作上述讨论如果中任何一个则命题得证不然又可设于是得如此继续下去，因子空间个数有限故经有限步后可得所以对任意结论成立 由⑴⑵得知，对任意命题成立。
例⒙ 和为直和，求证：证明其逆不成立 证： 用反证法其结论不成立即不妨设则有此时有零向量表示法唯一与为直和矛盾故结论成立 任取平面上两两不共线的三个向量显然两两之交为0，但是它们的和显然不是直和例⒚ 设是数域上的一个线性空间⑴若是的两个有限维子空间证明维数公式：⑵写出关于线性空间的个有限维子空间的相应维数公式，并给予证明福建师范大学）证： ⑴见北大《高等代数》P265的定理7 ⑵线性空间的个有限子空间的相应的维数公式是 下面用数学归纳法证明： 当时，由⑴得知结论成立 假设时，结论成立下证时，结论也成立 即时，结论成立这样，我们完成了维数公式的推广 下面我们介绍余子空间的概念 定义 设是线性空间的一个子空间，的子空间叫做的一个子空间如果 ⑴⑵ 例⒛ 维线性空间上午任意一个子空间都有余子空间，那么 证： 设是子空间的一个基，取显然而且容易证明所以是的一个余子空间根据维数公式，则 例 设是维线性空间的子空间且证明在中有不只一个余子空间北京师范大学） 证： 设为的一个基，令则为的一个余子空间。
设则也是的一个余子空间，且⒈显然 ⒉对线性无关 这样就证明了也是的一个余子空间下证，如若不然那么令这与相矛盾 由此得故命题成立 设为个方程个未知量的齐次线性方程组，若则全部解向量作成一个维向量空间的一个子空间，称为齐次线性方程组的解空间，其维数等于例22．在中，求由齐次线性方程糄 确定的解空间的基与维数 解： 秩为2，因而解空间的维数是4-2=2 它的一个基为例 23. 在四维线性。