数学竞赛难点之无穷级数第四章 无穷级数 4.1.基本概念与内容提要 级数?an与?can收敛性相同若级数?an与?bn都收敛，则级数?(an?bn)也收敛， n?1n?1n?1n?1n?1???????????且?(an?bn)??an??bn若级数?an与?bn都发散，则级数?(an?bn)不一定发散 n?1n?1n?1n?1?n?1n?1若级数?an收敛，?bn发散，则级数?(an?bn)必发散 n?1n?1n?1??由级数?(an?bn)收敛不能得到级数?an与?bn收敛 n?1n?1n?1???等比级数?qn?1,当q?1时收敛且?qn?1?n?1n?1???1;当q?1时发散 1?q?11P级数?p，当p>1时收敛，当0?p?1发散其中调和级数?发散 n?1nn?1n??1级数?发散，其中k为正常数级数?(an?an?1)收敛?liman存在 n??n?1n?1n?k如果级数?an收敛，则liman?0如果liman?0，则级数?an必发散 n?1n??n????n?1改变一个级数的任意有限项，不改变其敛散性，但在收敛时原级数的和改变收敛级数 加括号后仍收敛于原级数和。
若加括号后所得级数发散，则原级数也发散 正项级数审敛法： 1.正项级数的收敛准则：?an收敛?Sn?Mn?1?2.正项级数比较判别法：大收小必收，小散大必散 ????an若lim?l?l?0?,则?bn收敛??an收敛；an发散??bn发散n??bn?1n?1n?1n?1n????anan若lim?0,则?bn收敛??an收敛若lim???,则?bn发散??an发散n??bn??bn?1n?1n?1n?1nn?1解题时常将级数?an与p级数?p比较，以判定?an的敛散性n?1n?1nn?1??3.根值判别法：设：??limnan，则当0???1时，级数收敛；当??1时，n??级数发散；当??1时，不确定注意：?=0时级数也收敛a4.比值判别法：设：??limn?1，则当0???1时，级数收敛；当??1时，n??an级数发散；当??1时，不确定注意：?=0时级数也收敛5.积分判别法：f?x?是在?1，???上单调递减的正项连续函数，???则正项级数?f?n?与广义积分?n?11 f?x?dx具有相同的收敛性 广义积分 ???1f?x?dx的敛散性的判别方法与正项级数的相同。
n??6.定义法：sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发散 交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法——莱布尼兹定理：??un?un?1如果交错级数满足?，那么级数收敛且其和s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1交 limu?0n??n??错级数 ???1?n?1?nan判断收敛一般用下述方法： n??（1） 莱布尼兹定理：如果交错级数满足an?an?1，liman?0那么级数收敛且其和s?a1,其余项rn的绝对值rn?an?1如果?an?不满足条件，则一般可改用： （2）取通项的绝对值所构成的级数，若收敛则原级数绝对收敛；若此绝对值所构成的 级数用比值法或根值法判定发散，则通项不趋于0，原级数发散 （3）拆项或并项的方法，将通项拆成两项，若以此两项分别作通项的级数均收敛，则原级数收敛；若一级数收敛另一发散，则原级数发散若并项后的级数发散，则原级数也发散 （4）如果能立即看出liman?0，则级数?an必发散 n???n?1绝对收敛与条件收敛： 若?an收敛，则?an收敛且称为绝对收敛；若?an发散但?an收敛则称为条件收敛。
n?1?n?1n?1n?1????由?an发散不能断言?an也发散但如果?an的发散是由比值法（或根值法）n?1n?1n?1?? 推断出的，则liman?0，从而liman?0，于是?an也发散n??n??n?1?1(?1)1调和级数?发散，而?收敛；级数?2收敛nnn绝对收敛级数的和仍绝对收敛，绝对收敛级数与条件收敛级数的和是条件收敛 任意项级数的判别法：①绝对值判别：若级数 n ?a收敛，则?a收敛即绝对收敛的级 nnn?1n?1??数一定收敛②拆项或并项的方法，将通项拆成两几项之和，利用交错级数和正项级数的判别方法其一般判别步骤如下图所示： ?un?1?n任意项级数 ?limun?0 n??非 ?un?1n发散 是 ?un?1?n用正项级数判别法 收敛 ?un?1?n绝对收敛 发散 ?un用莱布尼茨法则、定义或基本性质判别 n?1?收敛 ?un?1?n条件收敛 发散 ?un?1?n发散 x?1时，收敛于x?1时，发散11?x幂级数： 1?x?x2?x3???xn?? 对于级数(3)a0?a1x ?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。
x?R时不定1??0时，R?求收敛半径的方法：设limn??an?1??，其中an，an?1是(3)的系数，则an???0时，R???幂????时，R?0级数在收敛域上的性质： 若幂级数 ?axnn?1?n?1?n的收敛半径为R1， n??bxnn?1?n的收敛半径为R2，则 ?(an?1?n?bn)x??anx??bnxn，收敛半径R?min?R1,R2? nn?1 1??1例：幂级数???n?xn的收敛域为_______________ 2?n?2?nn??nn2n11n1?1,limn?1?，??解：由于limx的收敛半径为1,?nxn的收敛 n??n?12??n?1n??2n?2nnn?22?1?n1??1?1半径为2，????n?x的收敛半径为1，当x??1时，级数???n?xn绝对收敛， 2?2?n?2?nnn?2?nn所以，收敛域为??1,1? ??当两个幂级数的收敛域不同时，它们的和的收敛域是两个收敛域的交集，这种方法可以简化求幂级数的收敛域 幂级数在收敛域??R,R?上绝对收敛，且和函数S(x)为连续函数若?anxn在-R或R处 n?1?收敛，则S(x)在-R或R处分别右连续、左连续。
和函数S(x)为可导函数且 S?x???an?nxn?1，逐项求导后收敛半径不变和函数S(x)为可积函数且 、n?1??S?t?dt???0n?1x?x0antndt，逐项积分后收敛半径不变逐项求导、逐项积分后，收敛半径 ?不变但收敛域可能改变，在端点处的敛散性可能改变 若幂级数 ?axnn?1??nn在x?x0处发散，则当x?x发散如果在某点0时级数?anxn?1 x?x0处幂级数条件收敛，则x?x0必位于该幂级数的收敛域的端点ann?1x在x=3处（ C ） n?1n?1n?1A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.收敛性与?an?相关 例：设幂级数?an?x-1?在x=3处条件收敛，则幂级数?n?解：原幂级数在x=3处条件收敛说明收敛半径为3-1=2幂级数经逐项积分、平移后，收敛半径不变，所以后一幂级数的收敛域为（-2，2]X=3在收敛域外，所以在该点处发散 幂级数 ?anxn收敛半径的求法：设??limn?1?n??an?1或??limnan??可以为??，则当 n??an；当??0，?时R=此种求收敛半径的方法是充分条件，??0时R=?当;?=?时R=0?1若lim?n??an?1不存在时并不能说收敛半径不存在，因为收敛半径总是存在的。
对于类似an2n?n???anx、?anx3n等级数的收敛半径不能这样做，应根据limn?1n?1un?1?1求收敛半径 un?2n?!x2n?2n?!x2n,u?的收敛半径解：设用比值判别法， n22n?1?n!??n!??2n?2??2n?1?2?2n?!x2n?un?1122x??limx?4x4x?1由lim得：当时，级数绝对收敛；?22n??un??2n?1?n!??n?1?n??2n?!x2n112R?当x?时4x?1，级数?发散；所以收敛半径为 222n?1?n!?例：求?? 错解：由公式??lim小试身手：幂级数 n???2n?2??2n?1??4，所以R?1 an?1?lim2n??4an?n?1?n???3?n?2n?1?nx2n的收敛半径为__________（答案：3） 级数的和的求法： 观察所给幂级数通项xn的系数an，若an为n的简单有理式，则通过拆项将其拆成更简单的分式之和；通过逐项积分，设法消去分式中分子的n(或n-1,n+1等)；通过逐项 ?1求导，设法消去分式中分母的n(或n-1，n+1等)；最后设法利用级数之和?xn? 1?xn?0若an的分母为n!或?2n?!或?2n-1?!也可通过上述方法化简，最后利用ex,sinx,cosx的展开式求和。
若an的分母为?2n?!!或?2n-1?!!也可通过上述方法化简，最后利用?1?x?的展开式求和幂级数求和还应求出收敛域常用方法举例：设s?x???anxn,用下列两种 n?1?m??ann?1?n?1途径求和函数s?x?：（1）s?x???(?nanx)dx；（2）s?x????x? 0n?1?n?1n?1?用幂级数求和的方法求某些数项级数的和时，要找到一个适当的幂级数，求出它的和，再命x为某值得到欲求的数项级数的和已知某些和求另一些与此相关的和时，关键步骤时，将欲求的前n项部分和表示成已知部分和，然后取极限 x?、函数展开成幂级数： 直接展开法：利用泰勒级数公式，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数 f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!f(n?1)(?)余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!f?x?展开成x的幂级数的步骤：?1?求出f?n??x??n?1,2,...?;?2?求f?n??0??n?1,2,...?;f??(0)2f(n)(0)nx???x??并求出敛散半径R；?3?写出f(0)?f?(0)x?2!n!f(n?1)(?)n?1limRn?x??limx?0??位于0与x之间?是f?x?的?4?当x???R,R?时，n??n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)n迈克劳林级数收敛的充要条件。
此时f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!间接展开法：通过一定的运算（主要是加减法，数乘运算，逐项积分和逐项求导运算）将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幂级数（主要是一些简单函数的迈克劳林展开式）展开将原来函数展开为幂级数间接法是将函数展开为幂级数的主要方法，具体方法是：①先求导，展开成幂级数后在积分；②先积分，展开成幂级数后在求导当然，中间还要通过一些适当的运算 一些常用函数展开成幂级数： 6 / 6。