机动 目录 上页 下页 返回 结束1/37三重积分第十章习题课一、关于三重积分性质和应用的题类二、关于三重积分的题类三、杂题机动 目录 上页 下页 返回 结束2/37定 义几何意义(无)性 质计算法应 用三重积分主要内容物理意义机动 目录 上页 下页 返回 结束3/37（一）、三重积分常见题目类型1.一般三重积分的计算：a. 选择坐标系 使积分域多为坐标面围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.b. 确定积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .图示法列不等式法(从内到外: 面、线、点)c. 写出积分限—— 累次积分法d. 计算要简便充分利用对称性应用换元公式( 先积一条线, 后扫积分域 )机动 目录 上页 下页 返回 结束4/37 2.改变累次积分的积分次序题目要求改变积分次序或按原积分次序 积不出来，必须改变积分次序.3.求由曲面所围立体的体积4.用二重积分求曲面的面积机动 目录 上页 下页 返回 结束5/37 6.三重积分性质的应用题（二）、三重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性(1) 交换积分顺序的方法(2) 利用对称性简化计算(3) 消去被积函数绝对值符号(4)被积函数为1时巧用其几何意义机动 目录 上页 下页 返回 结束6/37 【例1 】计算【解】由对称性知（球面坐标）作业题机动 目录 上页 下页 返回 结束7/37 一、关于三重积分性质和应用的题类【例2】 设比较M,N,P的大小.【分析】通过计算比较大小很烦琐,注意到积分区域为一以 原点为球心的球体,具有对称性,于是想到是否可利用对称 性直接作出比较呢?故 机动 目录 上页 下页 返回 结束8/37【例3】【分析】利用球面坐标【解Ⅰ】二、关于三重积分的题类机动 目录 上页 下页 返回 结束9/37【解Ⅱ】利用柱面坐标【解Ⅲ】利用直角坐标机动 目录 上页 下页 返回 结束10/37 【例4】【解Ⅰ】面积机动 目录 上页 下页 返回 结束11/37【解Ⅱ】柱面坐标计算较繁【解Ⅲ】球面坐标计算较繁机动 目录 上页 下页 返回 结束12/37【补例】【解】略机动 目录 上页 下页 返回 结束13/37得于是（1）机动 目录 上页 下页 返回 结束14/37（2）得于是机动 目录 上页 下页 返回 结束15/37Dxy:z =00y x11。
Dxy双曲抛物面教材P106 习题9-3 第1(1)题【例5】机动 目录 上页 下页 返回 结束16/371x+ y=1yozx1z=xy.教材P106 习题9-3 第1(1)题【例5】机动 目录 上页 下页 返回 结束17/37z =01x+ y=1ozx1yz=xy.教材P106 习题9-3 第1(1)题【例5】机动 目录 上页 下页 返回 结束18/3711z =0ozxx+ y=1yz=xy.教材P106 习题9-3 第1(1)题【例5】机动 目录 上页 下页 返回 结束19/37azobyxcz=xy.练 习教材P106 习题9-3 第1(4)题机动 目录 上页 下页 返回 结束20/37zz = 0acz=xyyxb.o教材P106 习题9-3 第1(4)题练 习机动 目录 上页 下页 返回 结束21/37azoxycz=xyb.教材P106 习题9-3 第1(4)题练 习机动 目录 上页 下页 返回 结束22/37azoxycz=xyb.Dxy:z = 0直角坐标用哪种坐标？abDxyy x 0机动 目录 上页 下页 返回 结束23/371.Dxy:z = 0用哪种坐标？.柱面坐标0xz yDxy【例6】计算I = 1解法Ⅰ机动 目录 上页 下页 返回 结束24/371.Dxy:z = 0用哪种坐标？.球面坐标0xz yDxy【例6】计算I =1解法Ⅱ机动 目录 上页 下页 返回 结束25/37【注】选择合适的坐标系是计算三重积分的关键(1).区域由平面围成,常选择直角坐标系;一般的:(3).区域由球面锥面围成,被积函数形如常选择球面坐标系.(2).区域由圆柱面围成,被积函数形如常选择柱面坐标系;机动 目录 上页 下页 返回 结束26/37 三、杂题【例7】【解】 在球面坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束27/37【练习】【提示】 先用柱面坐标积分后展成关于t 的定积分机动 目录 上页 下页 返回 结束28/37z 0xya化为球坐标系下的方程化为球坐标系下的方程r=2a cos.M.r例8机动 目录 上页 下页 返回 结束29/371Dxy10xz y【例9】【解Ⅰ】机动 目录 上页 下页 返回 结束30/371Dxy10xz y【解Ⅱ】机动 目录 上页 下页 返回 结束31/371Dxy10xz y【解Ⅲ】机动 目录 上页 下页 返回 结束32/371Dxy10xz y【解Ⅳ】机动 目录 上页 下页 返回 结束33/37 【补充：利用对称性化简三重积分计算】使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．机动 目录 上页 下页 返回 结束34/37一般,若在的表达式中,以y代x,以z代y,以x代z则问：是否有我们知道, 在定积分中, 但在二, 三重积分中, 这一结论一般不对,不过, 当满足某些条件时, 结论成立。
后,的表达式不变(即具有“轮换对称性”),机动 目录 上页 下页 返回 结束35/37( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其表面满足方程设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为已知体积减少的速率与表面积成正比(比例系数 0.9 ),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研)【例17】——机动备用机动 目录 上页 下页 返回 结束36/37［提示］记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则(用极坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束37/37由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.。