第四章 动态电路的时域分析4.1 动态电路元件 4.2 动态电路方程 4.3 一阶电路的零输入响应 4.4 一阶电路的零状态响应 4.5 一阶电路的全响应 4.6 阶跃函数与电路的阶跃响应 *4.7 二阶电路分析 4.8 正弦激励下一阶电路的响应 4.9 小结 计划12学时讲完求解方法对电阻元件而言， 任一时刻的电压仅 取决于这时刻的电 流值，为瞬时元件 利用元件VCR和基尔霍夫 定律建立电路方程（网孔 方程、节点方程等）求解 激励与响应的关系动态元件如电感和电容元件，某 一时刻的电压取决于这一时刻 电流的微分值或积分值，即它们 的VCR是微分或积分关系，包含 动态元件的电路也称为动态电路如何分析？ 微积分方程4.1 动态电路元件 4.1.1 电感元件图 4.1-1 电感线圈 电感元件是电感线圈的理想化 模型， 它反映了电路中磁场能 量储存的物理现象用良金属导线绕在骨架上就构 成一个实际的电感器， 常称为 电感线圈，如图4.1-1所示匀强磁场下，面 S的磁通量为：一般情况SNI电感线圈磁感线 当电流i(t)通过电感线圈时， 将激发磁场产生磁通Φ(t)与 线圈交链，其中储存有磁场 能量磁通量：通过某曲面的磁感线数单位是韦伯(Wb)， 简称韦, 常用单位还有毫亨(mH)和微 亨(μH)图 4.1-1 电感线圈 若线圈密绕，且有N匝，则磁链Ψ(t)=NΦ(t)。
与线圈交链的总磁通称 为磁链，记为Ψ(t)一个二端元件，如果在任意时 刻t，其磁链Ψ(t)与电流i(t)之间 的关系能用Ψ～i平面上的韦安 关系曲线描述， 就称该二端元 件为电感元件，简称电感若曲线是通过原点的一条直线，且不随时间变化，如图4.1-2(a)所示，则称该元件为线性时不变电感，其理想电感电路模型符号如图4.1-2(b)所示 本书主要讨论线性时不变电感元件 设电感元件的磁链Ψ(t)与电流i(t)的参考方向符合右手螺旋定则，由图4.1-2(a)可知， 磁链与电流的关系满足 Ψ(t)=Li(t) 上式称为电感元件的韦安关系式式中L称为电感元件的电感量 通常，电路图中的符号L既表示电感元件， 也表示元件参数电感量 图 4.1-1 电感线圈 设电感元件的电流i、电压u与感 应电动势e的参考方向如图4.1-1 所示，且电流i与磁链Ψ的参考方 向符合右手螺旋定则，则根据电 磁感应定律和式(4.1-1)，其感应 电动势为而感应电压 习惯上，规定感应电动势的参 考方向由“-”极指向“+”极感应电压 该式称为电感元件VCR的微分形式对上式从-∞到t进行积分，并设i(-∞)=0， 可得电感元件VCR的积分形式 设t=0为观察时刻，记t=0的前一瞬间为0-, 可将式(4.1-4)改写为 t≥0 式中，i(0-)是t=0-时刻电感元件的电流，称为电感起始电流。
t≥0 在电流、电压参考方向关联时，电感元件吸收的功率为 对上式从-∞到t进行积分并约定i(-∞)=0，求得电感元件的储能 在电流、电压参考方向关联时，电感元件吸收的功率为 综上所述，对于电感元件有以下重要结论：(1) 电感元件上的电压、电流关系是微积分关系，因此， 电 感元件是动态元件2) 由VCR的微分形式可知：任意时刻的电感电压与该时刻电流的变化率成正比 当电感电压为有限值时，其 di(t)/dt也为有限值，相应电流必定是时间t的连续函数，此时电感电流不能跃变；当电感电流为直流时，则恒有u=0, 即电感对直流相当于短路 t≥0 (3)任意时刻的电感电流i(t)均与t时刻电压及该时刻以前电压 的“全部历史”有关因此，电感电流具有“记忆”电压的作 用， 电感元件是一种记忆元件4)对于任一电流i(t)，恒有ωL(t)≥0， 即电感元件是储能 元件，它从外部电路吸收的能量， 以磁场能量形式储 存于自身的磁场中5) 如图4.1-3所示，若电感上的电压、电流参考方向非 关联，则式(4.1－3)、(4.1-4)、 (4.1-5)应改写为 例 4.1-1 图4.1-4(a)所示电感元件，已知电感量L=2H, 电感电流i(t)的波形如图4.1-4(b)所示。
求电感元件的电压 u(t)、吸收功率p(t)和储能ωL(t)， 并画出它们的波形解 写出电流i(t)的数学表达式为 电流、电压参考方向关联，由电感元件VCR的微分形式，得 将i(t)、u(t)表达式代入式(4.1-6)，得 将i(t)表达式代入式(4.1-7), 求得 由波形图可见，电感电流i和储能ωL都是t的连续函数， 其值不会跳变，但电感电压u和功率p是可以跳变的在图(d)中，p(t)＞0期间，表示电感吸收功率，储藏能量；p(t)＜0期间，表示电感供出功率，释放能量；两部分面积相等，表明电感元件不消耗功率，只与外电路进行能量交换 4.1.2 电容元件在两片金属极板中间填充电介质， 就构成 一个简单的实际电容器，如图4.1-5所示电容元件是电能储存器件的理想化模 型，它反映了电路中电场能量储存的 物理现象电容器是最常用的电能储存器件应用电荷与电压的关系(习 惯上称为库伏关系)， 来定 义电容元件在电容上电压参考极性与带正、负电荷的极板相对应时， 由图 4.1-6(a)可知，电荷量q(t)与其端电压u(t)的关系满足 q(t)=Cu(t) 上式称为电容的库伏关系式式中C称为电容元件的电容量， 单位为法拉(F)， 简称法。
1法=106微法(μF)=1012皮法(pF) 通常，电路图中的符号C既表示电容元件，也表示元件参数电容量在电路分析中，一般关心的是电容元件上的电压、电流关系和 储能若设电容电压、电流参考方向关联，则有 对上式从-∞到t进行积分，并设u(-∞)=0, 可得 电容元件VCR的微分形式电容元件VCR积分形式设t=0为观察时刻，并记t=0的前一瞬间为0-， 上式可改写为 式中 是t=0-时刻电容元件上的电压，称为电容起始电压在电压、 电流参考方向关联的条件下，电容元件的吸收功率和储能分别为 对于电容元件，我们有以下重要结论：(1) 与电感元件一样，电容元件也是一种动态元件2) 电容VCR的微分形式表明：任意时刻，通过电容元件 的电流与该时刻电压的变化率成正比当电容电流i为有 限值时，其du/dt也为有限值，相应电压必定是时间t的连 续函数， 此时电容电压是不会跃变的；当电容电压为直 流电压时， 则电流i=0，即电容对于直流而言相当于开路 (3) 电容VCR的积分形式表明：任意时刻，电容电压u(t)均与t时刻电流及该时刻以前电流的“全部历史”有关 或者说，电容电压具有“记忆”电流的作用，故电容元件是记忆元件。
(4) 由式(4.1-14)可知，电容元件也是储能元件，它从外部电路吸收的能量，以电场能量形式储存于自身的电场中5) 如图4.1-7所示，若电容电压、电流的参考方向非关联， 则式(4.1-9)、 (4.1-10)、 (4.1-11)应改写为 例 4.1-2 电路如图4.1-8所示，已知iC(t)=e-2tA(t≥0),uC(0-)=2 V，求t≥0时的电压u(t) 解 首先，根据电容元件VCR 的积分形式，求得 由欧姆定律， 计算电阻电流： 然后，应用KCL，求得电感电流为 依据电感元件VCR的微分形式，计算电感电压： 最后，应用KVL，得到电压为 4.1.3 电感、电容的串联和并联等效图4.1-9(a)是n个电感相串联的电路，流经各电感的电流是同一电流i根据电感元件VCR的微分形式，第k(k=1, 2, …, n)个电感的端电压为 k=1, 2, …, n 由KVL，得端口电压 由KVL，得端口电压 画出等效电路如右所示各电感上电压与端口电压关系图 4.1-9 电感串联 图4.1-10(a)是n个电感相并联的电路，各电感的端电压为同一电压u根据电感VCR的积分形式，有 k=1, 2, …, n 由KCL, 得端口电流 式中 L称为n个电感并联的等效电感。
由式画出 其等效电路如图4.1-10(b)所示4.1-22) 将上式代入式 k=1, 2, …, n i=1, 2, …, n 得各电感电流与端口电流的关系为图4.1-11(a)是n个电容相串联的 电路， 流经各电容的电流为同一 电流i 根据电容VCR的积分形 式， 有 k=1, 2, …, n 应用KVL, 经推导可求得n个电容相串联的等效电容C， 其倒数表示式为 相应等效电路如图4.1-11(b)所示 图 4.1-11 电容串联 再将等效电容VCR的积分形 式写成 代入式(4.1-23)， 求得各电 容电压与端口电压的关系 为 k=1, 2, …, n 图4.1-12(a)是n个电容相并联的电路，各电容的端电压是同一电压u根据电容VCR的微分形式，有 k=1, 2, …, n 应用KCL，经推导可求得n个电容并联的等效电容C为 相应等效电路如图4.1-12(b)所示再将等效电容VCR的微分形式写成 并代入式(4.1-26), 求得各电容电流与端口电流的关系为 k=1, 2, …, n (4.1-28) 作业P170 4.5 4.7。