第五章第五章 线性系统的设计与综合线性系统的设计与综合5.1 状态反馈与输出反馈 状态反馈与输出反馈5.2 闭环系统的能控性与能观性 闭环系统的能控性与能观性5.3 单输入 单输入-多输出系统的极点配置多输出系统的极点配置5.4 状态反馈对系统零极点的影响 状态反馈对系统零极点的影响5.5 输出反馈实现极点配置 输出反馈实现极点配置5.6 全维状态观测器及其设计 全维状态观测器及其设计 1 教学要求：教学要求：1.1.熟练掌握状态反馈与输出反馈，极点配置熟练掌握状态反馈与输出反馈，极点配置2.2.熟练掌握状态观测器设计方法熟练掌握状态观测器设计方法3.3.掌握分离原理掌握分离原理重点内容：重点内容：•状态反馈与输出反馈的基本结构、性质和有关定理状态反馈与输出反馈的基本结构、性质和有关定理•单输入、多输出系统的极点配置单输入、多输出系统的极点配置•全维观测器的设计全维观测器的设计•状态反馈与观测器的工程应用状态反馈与观测器的工程应用2 5. 1 状态反馈与输出反馈状态反馈与输出反馈 1.状态反馈状态反馈2. 设被控系统设被控系统：：ＢＢI/SＣＣＡＡＫＫＤＤＶＶuy-++++(状态反馈系统结构图状态反馈系统结构图)3 状态反馈控制律：状态反馈控制律： 其中： 输入其中： 输入 ----状态反馈增益矩状态反馈增益矩阵 阵 状态反馈系统：状态反馈系统： 若Ｄ若Ｄ=0，，特征方程特征方程: 或或4 2.输出反馈输出反馈a.输出反馈至状态微分处输出反馈至状态微分处( ) ＢI/SＣＡHu-++xy其中 其中 --输出反馈矩阵输出反馈矩阵5 b.输出反馈至参考输入：输出反馈至参考输入：Ｂ1/SＣＡＦＶu-++x6 比较：输出反馈比较：输出反馈 H,F选择的自由度比选择的自由度比K小，输出反馈小，输出反馈 部分状态反馈。
部分状态反馈 C=I,FC=K时，才能等同状态反馈时，才能等同状态反馈 因此，输出反馈的效果不如状态反馈，但因此，输出反馈的效果不如状态反馈，但 输出反馈实现较方便，而状态反馈不能测量的输出反馈实现较方便，而状态反馈不能测量的状态变量需用状态观测器重构状态状态变量需用状态观测器重构状态7 5.2 闭环系统的能控性与能观性闭环系统的能控性与能观性1.定理定理1：：状态反馈不改变被控系统的状态反馈不改变被控系统的能控性，但却不一定能保证能观性能控性，但却不一定能保证能观性 证明：设被控系统证明：设被控系统 的动态方程为：的动态方程为： 先证引入先证引入u=v-kx的状态反馈后系统的状态反馈后系统 的动态方程为：的动态方程为：8 先证先证 能控的充要条件是能控的充要条件是 能控：能控： 的能控性阵：的能控性阵： 的能控性阵：的能控性阵： 由于由于 式中式中 列向量组成列向量组成 9 则： 令： 式中 标量 这说明 的列 是 列的线性组合。
10 同理： 的列 是 列的线性组合 的列 是 列的线性组合11 另一方面： 的状态反馈系统 或： 是由 经初等变换得到，而初等变 换12 例：例： 解： 解：①①判断被控系统的能控性，能观性判断被控系统的能控性，能观性 ② 能控能控13 能观能观引入状态反馈：引入状态反馈：则：则：令：令：能控能控14 不能观不能观被控系统：被控系统：闭环系统：闭环系统：引入状态反馈后出现零极点对消引入状态反馈后出现零极点对消15 2.定理定理2：：输出至参考输入的反馈不改变输出至参考输入的反馈不改变被控系统的能观性与能控性被控系统的能观性与能控性 3.定理定理3：：输出至状态微分的反馈不改变输出至状态微分的反馈不改变被控系统的能观性，但可能改变被控被控系统的能观性，但可能改变被控系统的能控性。
系统的能控性 证明：证明：1)用对偶原理证明能观性不变用对偶原理证明能观性不变 16 设被控系统设被控系统 ，输出反馈的系统，输出反馈的系统 若被控系统若被控系统 能观能观 对偶系统对偶系统 能控 由定理由定理1可知，系统可知，系统 引入状态引入状态反馈后的系统反馈后的系统 能控能控性不变性不变 能观性不变能观性不变17 2)证明能控性不变：证明能控性不变：3) 设被控系统能控设被控系统能控 能能观观18 系统系统 的能控性阵的能控性阵 ：：19 5.3 单输入单输入-多输出系统的极点配置多输出系统的极点配置设被控系统：设被控系统：bI/SＣＣＡＡＫＫu-++yxv被控系统被控系统20 引入状态反馈：引入状态反馈：----闭环状态闭环状态(系统系统)矩阵矩阵闭环特征多项式闭环特征多项式21 定理：定理：用状态反馈任意配置闭环极点用状态反馈任意配置闭环极点的的充要条件充要条件是：被控系统是：被控系统能控能控。
证明：充分性 设被控系统能控 证明：充分性 设被控系统能控 任意配置极点任意配置极点 被控系统能控，一定存在 被控系统能控，一定存在 将 将( A,b) 能控标准型能控标准型 22 23 引入状态反馈 ，其中引入状态反馈 ，其中其中：其中：是能控标准型是能控标准型 结论：结论：状态反馈不改变系统的能控性状态反馈不改变系统的能控性24 希望的特征多项式：希望的特征多项式：状态反馈系统特征多项式：状态反馈系统特征多项式：令令25 本店经营各类毛绒玩具礼品、公仔、靠垫、挂件等本店经营各类毛绒玩具礼品、公仔、靠垫、挂件等等，支持批发零售，欢迎来样看样定做生产为了赚人等，支持批发零售，欢迎来样看样定做生产为了赚人气，本店所有商品批发价销售，超低秒杀！虽然我们的气，本店所有商品批发价销售，超低秒杀！虽然我们的信誉不高，但我们会以诚信为本，为您提供质高价廉的信誉不高，但我们会以诚信为本，为您提供质高价廉的商品和优质的服务！祝您购物愉快！商品和优质的服务！祝您购物愉快！ 欢迎大家来逛逛欢迎大家来逛逛【扬州五亭龙玩具总动员扬州五亭龙玩具总动员】 个人小广告：个人小广告：26 可任意配置极点。
可任意配置极点 能控标准型能控标准型可直接求出Ｋ可直接求出Ｋ27 方法一方法一:求状态反馈求状态反馈矩矩阵阵K的步骤的步骤(规范规范算法算法)第一步：计算第一步：计算A的特征多项式，即的特征多项式，即第二步：计算由第二步：计算由 所决定的希所决定的希望特征多项式，即望特征多项式，即第三步：计算第三步：计算28 第四步：计算变换矩阵第四步：计算变换矩阵第五步：第五步：求求P第六步：计算状态反馈矩阵第六步：计算状态反馈矩阵29 方法二方法二:求解状态反馈求解状态反馈矩矩阵Ｋ的步骤阵Ｋ的步骤①①验证被控系统的能控性验证被控系统的能控性②②求闭环系统特征多项式：求闭环系统特征多项式：③③求希望的闭环系统特征多项式：求希望的闭环系统特征多项式：④④令 令 30 例例5-1：：要求通过状态反馈将闭环极点配置在要求通过状态反馈将闭环极点配置在解：解：①①.能控标准型 能控可任意配置闭环极点能控标准型 能控可任意配置闭环极点②② 设 设31 ②．．③．．④.32 1/s1/s1/s41234－－－－－ＶＶU⑤⑤.⑥⑥.被控系统被控系统状态反馈状态反馈33 例例5-2:要求通过状态反馈将闭环极点要求通过状态反馈将闭环极点配配置在置在解解 (1)受控系统的状态可控可任意配置闭环极点受控系统的状态可控可任意配置闭环极点。
34 (2)设设35 (3)(4) 令令36 (5)闭环系统状态空间表达式闭环系统状态空间表达式:37 1/s1/s1/s233---++yv(6)状态反馈状态反馈38 (7) 闭环系统的传递函数：闭环系统的传递函数：39 5.4 状态反馈对系统零极点的影响状态反馈对系统零极点的影响设单输入设单输入-单输出系统：单输出系统：已知已知(A,b,c,d)能控，则经过 将能控，则经过 将(A,b,c,d)化为能控型化为能控型40 41 引入状态反馈引入状态反馈：：设设：：42 43 F结论：结论：状态反馈不改变系统的状态反馈不改变系统的零点零点,只改变传递函数分母部分的多项式，通过对只改变传递函数分母部分的多项式，通过对K阵的阵的调节，可实现系统极点的任意配置调节，可实现系统极点的任意配置44 例例5-3: 控制系统控制系统 如图如图a所示其中系统所示其中系统的的两个两个状状态变量都是可以测量的态变量都是可以测量的图图a1.试建立系统的状态空间表达式试建立系统的状态空间表达式2.当所有状态变量都用于反馈时当所有状态变量都用于反馈时,确定合适的确定合适的状态反馈矩阵状态反馈矩阵k ,使系统对于阶跃输入的使系统对于阶跃输入的稳态跟踪误差为稳态跟踪误差为0 ,超调量超调量σ%<3% 。
45 解解：：1.由结构图可得由结构图可得:46 2. 受控系统的状态可控可任意配置受控系统的状态可控可任意配置闭环极点闭环极点设设: 47 令令得：得：48 作作 业业1. 9-29, 9-322.控制系统控制系统 如图如图2所示图图2试用状态反馈的方法试用状态反馈的方法,使使系统系统超调量超调量σ%=4.3% ,调调节时间节时间ts=5.65(Δ=2%),使系统对于阶跃输入的稳使系统对于阶跃输入的稳态跟踪误差为态跟踪误差为0 设第三个闭环极点设第三个闭环极点s3=-5)求求:(1) 状态反馈矩阵状态反馈矩阵k 2) 讨论讨论kc值值对闭环反馈系统稳定性影响对闭环反馈系统稳定性影响49 5.5 输出反馈实现极点配置输出反馈实现极点配置1.输出反馈 状态微分输出反馈 状态微分2. 设多输入／单输出系统： 设多输入／单输出系统：50 BAI/sChuy-+x51 定理：由输出至 的反馈任意配置极点定理：由输出至 的反馈任意配置极点的充要条件是被控系统能观的充要条件是被控系统能观 证明：运用对偶原理：证明：运用对偶原理： 若 若(A,B,C)能观，则能观，则 能控，可由状态反馈实现极点配置：能控，可由状态反馈实现极点配置： 可求出 可求出h 。
52 2.输出反馈至参考输入的极点配置输出反馈至参考输入的极点配置3. BAI/sCfv-+引入输出反馈：引入输出反馈：yux53 5.6 全维状态观测器及其设计全维状态观测器及其设计重构状态的模拟系统叫状态观测器，重构状态的模拟系统叫状态观测器，它的输出就是状态估计值，用它的输出就是状态估计值，用 表示之被控系统状态被控系统状态估计状态估计状态全维状态观测器全维状态观测器54 bI/SCA观测器观测器k-要求：要求：被控系统被控系统55 被控系统：被控系统： 模拟系统 模拟系统：：Ø由于：由于： (1)1.开环状态观测器的构成开环状态观测器的构成Ø开环状态观测器特点：开环状态观测器特点：1）具有与）具有与被被控系统完全相同的动态方程控系统完全相同的动态方程2）与）与被被控系统具有同一个输入量控系统具有同一个输入量u(t) 3）它的状态变量都能被量测）它的状态变量都能被量测56 ----观测器的系统矩阵观测器的系统矩阵----观测器的输出反馈矩阵观测器的输出反馈矩阵(2)2. 全维状态观测器的设计全维状态观测器的设计57 观测器存在的条件：观测器存在的条件：(2)-(1)可得：可得： 令 令 其解为： 其解为： 58 当 输出反馈当 输出反馈起作用起作用，可，可选择Ｈ，使选择Ｈ，使当 输出反馈当 输出反馈不起作用不起作用。
Ｈ的选择： Ｈ的选择： 要求：观测器的响应速度大于状态反馈 要求：观测器的响应速度大于状态反馈 系统的响应速度系统的响应速度 59 ＢＢI/SＣＣＡＡu-++ＢＢI/SＣＣＡＡ+HKv-状状态态反反馈馈部部分分观观测测器器部部分分-(状态观测器及其实现状态反馈的结构图状态观测器及其实现状态反馈的结构图)60 定理：定理：若被控系统若被控系统(A,B,C)完全能观完全能观测测，则可，则可用如下的全维观测器对被控系统状态来进行用如下的全维观测器对被控系统状态来进行估计：估计： ＨＨ—按任意配置极点的要求来选择，以决定按任意配置极点的要求来选择，以决定状态误差衰减的速率状态误差衰减的速率61 例：例：5-4 设计全维观测器，使观测器的极点为：设计全维观测器，使观测器的极点为：解：解：被控系统能观被控系统能观 观测器的极点可任意配置观测器的极点可任意配置62 2)又又3)设设4)令令 得得:63 5)64 3.分离定理：分离定理：4.被控系统被控系统5. 引入状态反馈：引入状态反馈：6. 全维观测器：全维观测器：(1)(2)65 2n阶复合系统：阶复合系统： 66 由由(1)-(2): 与与u，，v无关。
无关 不可控不可控 用用 直观直观 引入如下变换：引入如下变换：67 68 69 状态反馈子系统状态反馈子系统70 K和和H相互独立设计相互独立设计71 分离定理分离定理：若被控系统若被控系统 能控能观，能控能观，用用 形成状态反馈后，形成状态反馈后，K和和H 的设计可以分别独立进行的设计可以分别独立进行。