1.1弹性固体的Hertz接触理论1.1.1 模型简化及其条件为了计算局部的变形我们对接触模型引入一些简化：• 每个物体均看作一个弹性的半空间体• 载荷作用于平表面上• 表面间无摩擦，只传递法向压力按照这种简化，根据两物体中的一般应力分布由物体的形状及它们被支承的方式而引起 此外，己经充分发展了的解决弹性半空间体边值问题的方法，对解决接触问题是有效的为 使这种简化合理，必须满足如下两个条件：• 接触区的有效尺寸远远小于物体的尺寸• 接触区的有效尺寸远远小于相对曲率半径第一个条件显然是必要的，用以保证以无限延伸的物体为基础所计算的应力场，不因其 边界靠近高应力区而受重大影响第二个条件也是必要的，首先，为了保证紧靠接触区外的 表面大体上近似于半空间的平表面；其次，为了保证接触区的应变足够小，时期处于线弹性 理论的范围内当然，把该理论的结果应用于低弹性模量的材料时必须小心，比如橡皮，很 容易产生超出小应变限制的变形我们假设表面是无摩擦的，因此在两表面之间只传递法向压力虽然从物理上讲接触压 力必须垂直于作用面，而作用面不一定是平的，但是线弹性理论并不计及由于它们产生的变 形所造成的边界力的改变。
因此，鉴于每个物体都理想化为具有一个平表面的半空间体，我 们取作用面上法向力平行于Z轴作用1.1.2 非协调接触几何描述当两个为协调固体接触的时候，它们最初是在一个点上或一条线上接触我们在列出弹 性力学问题的方程之前，对接触面做几何学上的分析是必要的我们建立一个亿初始接触点 为坐标原点的直角坐标系，建立接触的几何模型，如图1-1所示在宏观尺度上，表面外形函数以及它的一阶和二阶导数在接触区都是连续的于是我们可以 用如下形式的表达式来近似地表示原点附近的曲面% =攻+耳寸+弓町+ （1.1）通过选择x和y轴的方位，使得xy项消失，式（4 1）可写成：Z1 = H?/+jy2）（12a）式中的R'和艮”是该曲面在原点的主曲率半径是外形的一切可能的截面中曲率半径的最大和最小值对于另一个曲面，可■以写出类似的表达式Z2 = ：（Ax2+jy2） （12b）两个曲面的间隙，则由11=^-^给出从而有h = Ax2 + By2 = ^x2 + -^y2） （1.3）图1-1中，变形前两表面上的对应点耳（况％耳）之间的间隙由式（1.3）给出在压缩过程中，两物体内远处的点I；和I分别向着0点平行于z轴移动位移再和％。
每个物体的表面由于接触压力而平行于0Z发生位移，其大小相对于远处点I；和I为II』和Uz2o如果变形后&和，2在接触区面内重合，则1妇+1以+11 = 3+6 (1.4)对于二维物体而言，接触区是半宽为a的无限长窄条图1・1接触几何模型1.1.3 圆柱体的二维接触当两个圆柱体的轴部平行于坐标系中的y轴，由单位长度上的力P压紧面接触时，问 题就变成二维问题它们在平行于y轴、宽度为2a的长条上构成接触关于圆柱体加载前两表面对应点之间间隙的式(1.3)变成式中，相对曲率加载后，对于接触区内的点的条件变为 1 1 CUzl +Uz2 = $1 + $2 一 ： $ X" (1.6)我们将每一个物体看成弹性半空间体，为了求局部接触应力需要通过微分来避免所遇到 的困难，得到了表面梯度的关系于是3% da 1-^-+^- = --X (1.7)5x 5x Rds (1.8)兀一 s作用在-a
首先，压力在整个接触区必须是正的即p2 噤，若果取大于号，则压力在x = ±a处上升至无穷大的值这样变形 r 4R后的外形显然不符合要求，因此必须取等号，即r 4PR , 、a・(1.10)兀E于是P(x) = ^-J(a2-x2) (1.11)万a y压力在接触区边缘降为零最大压力2PPd = —其中相对曲率半径R= 善二,等效弹性模量E* = —J——.g +虬 1一町1 一巧1.2接触物体内部应力1-2.1 弹性半空间非协调弹性接触物体必然在尺寸比未变形表面的曲率半径小的面枳上接触接触应力在 接触区附近高度集中，其强度随离接触点的距离还迅速的减小因而实际关系的区域位于接 触交界面附近于是，只要物体本身的尺寸与接触面尺寸相比很大，则在此区域中的应力就 不大依赖于物体远离接触区的形状，也不依赖于支承物体的确切方式通过将每一物体看作 是以平表面为界的半无限弹性固体即弹性半空间，就能非常近似地计算应力所载荷的窄带与y轴平行，在x方向的宽度为(a+b)它所可能承受的法向力即切向力，都仅是x的函数也就是线载荷在半空间中产生平面应变状态(勺=0 )当然，为了保证 平面应变的假设是正确的，固体的厚度与受载区的宽度相比应该是很大的，通常情况正是如 此。
图2.1以横截面表示了弹性半空间表面力p(X)及q(x)在由x-b到x=a的区域上作用于表面，而表面的其余部分无力作用需要求出整个固体中的应力分量/，弓择口图24弹性半空间1-2.2 受法向集中力时的接触应力对于如图2-3所示的沿y轴分布的，每单位长度强度为P的集中力，我们采用极坐标形 式的应力函数= ArGsinO (2.1)显然该函数满足双调和方程，从而得出应力分量为cosa =2A r (2.2)= Txe = °令作用在半径为r的半圆上的应力竖直分量等于所作用的力P，就可•以的到常数A于是—p =C(jt cos ad「Pacos' 0(\0= At r Jo因此变换到直角坐标有2P COS0(2.3)图2.2集中载荷示意图1.2.3 受法向分布力时的接触应力分布载荷情况如图2-3所示，只需对集中载荷的结果进行积分即可p(s)(x - s)2ds{(x-s)2 + z2}2(2.5)2Z3 p p(s)ds期 J-b((x-s)2 + z2}22z2 p p(s)(x-s)dsn f {(x_ s)2 + z?}~将LI中求得的p(s)代入，令 m2 = ![{(a：! - x2 + 22)2+4^22|1/- + (a2 - x2 + z2) n2 = :[{(a? - x2 4- z2)2+4x3z2|1/2-(a2 - x2 + z3)pn z z° + ir、(Jx =——m(l + )-2z >a nr + n~■<7Z = - —111(1 - Z,+ 11J (2.6)a nr + n~a nr + n°图2-3分布载荷示意图。