数学研究方法初探(完整版) 数学研究方法初探(完整版) 中国田径队为在短跑项目上获得突破，几十年来一贯坚持训练“从难、从严、从实战出 发”和“大训练量”的“三从一大”原则.而这样做的结果不要说在世界级比赛中拿不到奖 牌，甚至在亚洲也难拿冠军．2000 年前后，田径教练孙海平通过引入新的训练理念和方法， 在 2004 年的雅典奥运会上，成功地将刘翔推上 110 米栏世界冠军的宝座，让世界华人为之 骄傲和自豪！孙海平在年轻的时候曾当过 8 年的职业运动员.尽管他那时训练刻苦，却一直 默默无闻．当上教练员后，他通过改变训练方式，不但让刘翔在国际田径赛场上傲视群雄， 更没有让其成为昙花一现的流星,这就是方法的功效. 那么，我们从事数学研究有没有方法 可循呢？对此， 笔者根据自己多年从事数学研究的体会， 并结合一些数学大师从事数学研究 的经验， 对数学研究的方法和策略进行了总结， 旨在引导开始从事数学科研的研究生和青年 教师尽快进入数学科研之门. 人贵有自知之明,这里总结的关于进行数学科研的方法也不是放之四海而皆准的真理. 有兴趣的读者可以通过阅读华罗庚、 王梓坤等数学大师有关科学研究方法的科普著作以获取 更多数学科研的诀窍，并根据自身特点找出适合自身的数学研究方法. 一、研究的特点、层次和境界 一、研究的特点、层次和境界 做研究是一个从 search 到 research 的反复过程．对于不同层次的人，人们对他做研究的 要求也是不一样的． 根据中国教育的特点， 做老师给出的有标准答案的问题是本科生做的事 情， 做导师给出的没有答案的问题是硕士生做的事情， 而发现问题并寻求解决方法是一个博 士生也是一个科研人员应该做的事情．所以, 对于一个从事数学研究的人来讲, 能提和会提 问题是很关键的．正如一台不能运转的机器，发现故障远比解决故障重要，这也是人们为什 么至今对希尔伯特一百多年前提出的二十三个数学问题津津乐道.所以，一个人要想真正做 研究，他就要学会从学知识到运用知识再到创造知识的转变．如果完成不了这个转变，即使 学生阶段学习成绩再好，也做不好研究． 做科研包含两个阶段：模仿和创新。
模仿是人的本能．但要想立业，就得创新几乎所 有的歌唱家都是从模仿起家的, 但要想成为一名真正的歌唱家， 一定要有自己的成名作和代 表作．做数学研究也是如此．对此，数学家华罗庚提出了科研的四种境界：第一种是照葫芦 画瓢模仿．刚开始做科研的人习惯于模仿参考文献做一些小小的改进和推广，没有什么创 新． 第二种境界是对现有的方法进行改进用来解决新问题或对现有方法进行修补以更好地解 决老问题．这和第一种境界没有太大的区别，但这样做时，由于现有方法并不完全适用于新 问题，还是有一些改进工作要做的.而且，在用老方法尝试解决新问题的时候可能会产生新 的思路．所以，我们不要小瞧这样的工作. 著名数学家陈景润“1+2”的研究成果就是利用 挪威数学家布朗的“筛法”得到的．但一个人做数学研究不能老局限在这种“攀亲”的境界 里，而要考虑针对新问题有无更有效的方法．这就引出了做科研的第三种境界：用创新性的 方法解决新问题或老问题．这种境界完全有别于前两种境界，是创造力提高的表现．科研的 第四种境界是开辟新领域、 新方向． 这种拓荒探宝性的工作， 其意义不言而喻． 它要求很高， 一般人也很难达到． 数学研究的成果大多以论文的形式出现.与上述境界相对应, 研究成果相应地分为如 下层次: 第一能解决实际问题——这是科研成果的最高层次， 比如用微分方程刻画导弹或卫 星的运行轨迹；第二能解释某种自然现象，众所周知, 光的反射遵循反射定律：入射角等于 反射角。
进一步研究还发现，光线反射为从入射点经镜面到反射点的最短路；第三是所得结1果具有所谓的理论意义，至少能自得其乐,被人欣赏——这在老外称为“interesting” ， 这 是由数学自身发展的规律所决定的， 比如， 维尔斯特拉斯构造的处处连续处处不可微的函数； 最后一类就是为完成某些科研任务或晋升而为写论文而写论文. 我国概率统计专家许宝禄 从另一角度将数学研究工作者根据其研究成果分成以下层次： 一流的数学家不仅解决了不少 著名的问题，更重要的是开辟了许多重要的领域，提供了新的方法，他们的工作影响着几代 人的研究方向； 二流的数学家能在一个方向或几个方向上有系统的工作， 并产生一定的影响； 三流的数学研究工作者属于游击队员，他们仅解决了某些数学问题，但没有系统的工作，他 们在某种意义上将数学朝前推进了一点； 最后一类数学研究工作者仅仅是写了一些文章， 没 解决什么问题. 二、科研步骤 二、科研步骤 要写出好的数学研究论文，要掌握好几个环节． 1. Background（（Introduction）） 这里我们以制造椅子为例从市场营销学的角度进行分析． 如今家俱商场里椅子的款式种 类繁多，如果你也想制造椅子到商场里去卖, 那么怎样做才招人喜欢呢? 首先你要弄清楚椅 子的结构和当今流行的款式.如果你从没没见过椅子，很难想象你能做出招人喜欢的椅子 来．只有你见了椅子，并观察其每一部分的结构和功能，再调研一下现在流行的款式，才有 可能做出招人喜欢的椅子． 做数学研究也是如此， 它要求我们首先要把所研究的问题搞清楚， 弄清楚问题的性质，目前的研究现状以及所面临的困难．而要弄清楚这些，就需要研究者深 入到问题里面, 弄清楚问题的来龙去脉．特别是要系统分析问题现有的解决方法和优缺点， 从中摸索进一步发展的新途径. 在这方面，一项有意义的工作是自己整理一篇含有自己见 解、且具有评论性质的综合报告或文献评述. 一位小学老师让学生用“况且”造句, 一个学生这样造句: 一列火车开过来了, 况且! 况且! 况且! 2. Motivation(Why) 既然市场上已经有很多同类商品了，我们为什么还要生产产品？我们的产品和别人的 产品相比有什么优势？这种批判式的思考很重要.我们仍以生产椅子为例进行说明．在很早 的时候， 人们坐的是凳子； 而在凳子上坐久了， 需要放松一下腰， 于是在凳子上安装了靠背， 出现了椅子；而在椅子上坐久了，胳膊也需要找个地方放一放，于是扶手产生了，出现了圈 椅．这提示我们在整理论文时要思考一下：我为什么要整理这篇论文? 这种研究是新的吗？ 意义何在?如果单纯为写论文而写论文， 尽管有时也能发表， 但时间久了自己都觉得没意思． 一位著名女演员在接受央视电视台采访时说她为什么能把角色演活，关键是她对剧中 角色的每一句台词、每一个动作都有深刻的剖析：她为什么要这么说，为什么要这么做？ 3. How (Main Results) 问题的症结找到以后，怎么解决? 如同发现机器出现了故障，解决方法之一是把坏掉的 零件修理好，方法之二把坏掉的零件换一新的。
做研究也是这样，问题发现之后，一是凭自 己扎实的功底、聪明和汗水进行创造性工作，对现有的方法进行改进或建立问题的新方法； 二是借鉴别人的工作， 如通过查阅文献和讨论借鉴现有的方法而构建解决问题的方法， 即所 谓“它山之石，可以攻玉” ．事实上, 沙发就是木匠们受在床上铺有被子时坐起来舒坦的启 发而发明的． 三、课题选取 三、课题选取 2做数学研究，选题很重要. 不可否认，在选题方面有很多机遇. 课题选取合适与否， 关键是一个人要具备分辨这个课题重要性的眼光， 还要有自己有无能力解决这个难题的判断 力.对于课题选取,王梓坤院士提示我们要坚持两点： 坚持学科发展的最前沿， 善于接触前沿 问题, 特别要选择前人未研究过但又有很大潜力和意义的新课题， 力求创新； 其次是攻克目 前学科上的公认难题. 而从另一角度讲，选课题有两种策略：一是选择与别人正面交锋．在 别人工作的基础上做进一步的改进, 包括解决别人的公开问题或猜想．二是避免正面交锋， 学会独辟蹊径从新角度研究问题．要明白方向比距离重要，两点之间并非线段最短． 下面，我们介绍实现上述策略的几种方法． 1. 用类比方法横向扩展用类比方法横向扩展 不同的学科之间具有很多共性. 因此，我们可以借鉴老问题的研究方法来解决新问 题．这包含两个方面： 一是横向推广一是横向推广 如将低维空间中的结论推广到高维空间，将低阶的情形推广到高阶。
在 这个过程一般是平行推广，但其中有些结论可能不成立，需要建立新结论．而即便成立，证 明过程或借用的研究工具也可能是完全不同的． 二是利用新问题和某一老问题的一些共性而借用解决老问题的方法提出解决新问题的 方法．二是利用新问题和某一老问题的一些共性而借用解决老问题的方法提出解决新问题的 方法．这方面最典型的例子莫过于著名数学家欧拉对于倒数平方和级数的计算. 欧拉要求解的问题是: 21?n. 对此问题, 欧拉通过将该级数与三角函数方程做类比得到了解决这个问题的办法.他考虑如下次代数方程: n20) 1(24 22 10n nnxbxbxbb. (1) 其中,. 00,0nbb显然，上述方程有个非零根，我们记为 n2nn,,,,,,,2211. 根据代数方程的有关理论，如果两个代数方程的根相同，而且常数项相同，那么这两个代数方程所有的 系数都是相等的. 据此，我们有 )1 ()1)(1 () 1(222 222 12024 22 10 nn nnxxxbxbxbxbb. 比较两边对应项的系数得到 2x)111(22 22 101 nbb. 再考虑三角方程 0sinx. 它有无穷多个相异根：,3,3 ,2,2 ,,, 0.将展开为级数，两边同时除以xsinx得到 ! 7! 5! 31642xxx＝0 . (2) 显然，该方程的根为：,,2 , 2 ,3 , 3 ,. 3尽管代数方程(1)有有限项，代数方程(2)有无限项，但他们有共同的结构.为此，通过考虑项的系数，欧拉得到 2x22291 411 ! 31 . 这就得到 6122 n. 该推导过程给人感觉不是很严格,可结果是正确的. 2. 从多角度纵向深入从多角度纵向深入 对于数学研究， 早期的结论一般是在某些假设下建立的， 其后的跟进工作之一是将假设 条件逐步削弱, 如将凸情形推广到非凸情形，将正则的情况推广到非正则的情况，直至更特 殊、更复杂的情况；跟进工作之二是将假设条件换成更容易验证和操作的其他条件；跟进工 作之三是将问题横向推广． 如两点之间线段最短,这是大家熟知的结论.但该结论成立的前提 是性空间或线性平面上. 那么在球面上两点之间的最短路是怎样的？还有， 小孩一般都 喜欢乘坐滑梯，而滑梯一般是从高处沿一斜坡轨道滑向地面。
那么，轨道应该设计成什么形 状才能使物体在轨道槽里滑落到地面的时间最短？一些知名的数学家就善于思考这些基本 的问题 在研究过程中，一旦得到某些研究结果后，不要沉迷于该结果，而要在此基础上进行提 升，如阿基米德在找到了花冠体积的测量方法后，继续研究，后来发现了浮力定律 3. 由特殊到一般 3. 由特殊到一般 在数学上， 很多结论都是在特殊情况下建立的， 然后再将其推广到一般情况,并建立结论 成立的条件如约束优化问题的鞍点理论就是基于凸规划问题建立的.显然，强对偶定理对 非凸规划问题不一定成立，后面的研究问题就是建立强对偶定理成立的条件. 4. 改变问题的描述形式改变问题的描述形式 对一些问题，将其表述形式进行转换可以改变研究问题的角度，并有可能借助新的研究工具打开一个新的研究渠道．如非线性方程组问题 0)(xF 可以等价地转化为目标函数最优值为零的无约束优化问题 min nRx2||)(||21xF 这样, 我们可以利用最优化方法里的一些工具求解方程组问题．上世纪 50 年代由 Hestenes 和 Stiefel 联合创立的无。