线性代数（Linear Algebra）引 言（Introduction）1. 数学 数学（數學、mathematics）在我国古代叫算（筭、祘）术，后来叫算学或数学；直到1939年6月，为了划一才确定统一用数学．“数学是研究现实世界的量的关系和空间形式的科学”，分为代数、几何等．2. 代数 代数(algebra)分为古典代数和近世代数． 古典代数(ancient algebra)基本上就是方程论，以方程的解法为中心．如：一元一次方程 的解为；一元二次方程 的解为；一元三、四次方程也有类似的求根公式（16世纪）；但是，一元n次方程当n≥5时却无一般的“求根公式”（参见数学史或近代数）；根式求解条件的探究导致群概念的引入，这最早出现在Lagrange 1770年和1771年的著作中；1799年Ruffini给出“证明”（群论思想）；Abel进一步给出严格的证明，开辟了近世代数方程论的道路（1824年和1826年），包括群论和方程的超越函数解法；Galois引入代换群彻底解决了代数方程根式可解的条件，开辟了代数学的一个崭新的领域——群论．从而使代数的研究对象转向研究代数结构本身，此即近世代数．近世代数(modern algebra)又称抽象代数（abstract algebra）包括代数数论、超复数系、线性代数、群论、环论、域论、格论、李（Lie）群、李代数、代数几何、代数拓扑，等等．3. 线性代数 如果保持一元一次方程中未知量的指数（一次的）不变，而增加未知量及方程的个数，即得到线性（一次）方程组．先看下面三个例子：例1 （《孙子算经》卷下第31题）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二．”解法1 设雉、兔分别为x，y，则由 解得 .解法2 .解法3 请兔子全“起立”后，雉兔总“足”数为，从而得兔“手”数为94－70＝24，于是兔子数为24÷2＝12，雉数为35－12＝23 .注：后两种解法心算即可．例2 某厂用四种原料生产五种产品，各产品的原料成份及各原料的用量为表1所示，求每种产品的产量（千克）． 表1 各产品的原料成份（％）及各原料的用量（千克）成分 产品原料ABCDE用量A3010401010100B4060202010250C2010301070780D1020106010600解 设A,B,C,D,E五种产品的产量分别为Xi（i＝1，2，3，4，5），则问题归结为求解方程组 这是一个含五个未知量、四个方程的方程组．例3 某商店经营四类商品，四个季度的销售额及利润额如表2所示．求每类商品的年平均利润率（％）． 表2 各类商品四个季度的销售额及利润额（单位：元）销售额 商品 季度 ABCD利润125020030060080220010050080085316030040075090430025050050095解 设四类商品A,B,C,D的利润率分别为Xi（i＝1，2，3，4），则问题归结为解下面含四个未知量、四个方程的方程组 .现实中的很多问题，往往归结为求解含多个未知量（数）的一次方程组，称为线性方程组，其一般形式为 . 此类线性方程组可能有解，也可能无解；有解时可能只有一组解，也可能有多组甚至无穷多组解，如 ⑴ 有唯一解 ; ⑵ 有无穷多解 （其中c为任意常数） ; ⑶ 无解 . 那么，如何判定一个给定的线性方程组有没有解？如果有解，究竟有多少组解（一组、多组、无穷多组）？这些解又怎样求（表示）出来？如果无解，又怎么办？因为无解的方程组如果是某一有解的实际问题的数学抽象，此时又如何（用这一线性方程组来）描述它所表示的实际问题的解（“广义解”）？这就要求我们研究解决线性方程组有解的判定条件、解法、解的结构与解的表示以及“广义解”等问题，这些都是线性代数所要解决的问题．线性代数( Linear algebra )是从线性方程组、行列式和矩阵等理论中产生出来的，是代数各分支中应用最广泛的分支．在历史上首先应归功于英国的J.J.Sylvester、A.Cayley、美国的Peirce父子和L.E.Dickson等人的工作．主要内容：行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、相似矩阵及二次型等；主要方法：初等变换法、降阶法、分块法、标准形法、特征值法等．下面我们将分别介绍．当然我们这里所介绍的只是线性代数中最基本的内容，还有很多内容(如矩阵论或矩阵分析等)要等到我们进一步深造时再学；而且线性代数本身也是在不断发展的． 参 考 书 [1] 线性代数(第三版、第四版)，同济大学数学教研室编，高等教育出版社．[2] 线性代数（居余马等编）、线性代数与解析几何（俞正光等编）、线性代数（胡金徳等编），清华大学出版社．[3] 线性代数（陈龙玄等编）、线性代数（李炯生等编），中国科技大学出版社．[4] 线性代数解题方法技巧归纳，毛纲源编，华中理工大学出版社．[5] 线性代数方法导引，屠伯埙编，复旦大学出版社．[6] Linear Algebra(UTM)，By L.Smith，Springer-Verlag． ． ． ． 第一讲 行列式 ( Determinant )教学目的与要求：了解n阶行列式的概念，掌握行列式的性质和二、三阶行列式的计算方法， 会应用行列式的性质简化n阶行列式的计算，会用Cramer法则解线性方程组．重点：n阶行列式的概念、性质与计算§1 二、三阶行列式 （复习与总结） 一、2阶行列例1 求下列二元一次方程组的解：(1) ；（2）……(1)（其中．解 (1) 得 得．(2) 得=D1/D，得D2/D．为使⑴的解表示简单，Leibniz于18世纪初引入2阶行列式的定义如下： 定义 设有4个元素（数）排成的两行（row）、两列（column）的，称为一个2阶行列式，其值为a11a22－a12a21，即．如例1（2）中的D=称为方程组⑴的系数行列式，而，；（1）中的． 例２ 计算．解 ．例３ 设，问λ为何值时，（1）D = 0，（2）D≠0？ 解 因D=λ2－3λ＝λ（λ－3），故（1）当λ＝0或3时，D = 0；（2）当λ≠0，3时，D≠0． 例4 设，则D≠0的充要条件是（ ）答：k≠－1，3．(因D=(k－1)2－4＝（k＋1）（k－3），故D≠0的充要条件是k≠－1，3) 例5 如果，则下列（ ）是的解．(A); (B);(C)； (D)． 答：（ ）(因原方程组即的系数行列式，，) 二、3阶行列式例６ 求解下列三元一次方程组：（１） …（2）（其中；（２） .解（1）记，，, ，,,,,，则： ①×A11＋②×A21＋③×A31得D x1=D1（=b1A11+b2A21+b3A31）, x1=D1/D，①×A12＋②×A22＋③×A32得D x2=D2（=b1A12+b2A22+b3A32）, x2=D2 /D，①×A13＋②×A23＋③×A33得D x3=D3（=b1A13+b2A23+b3A33）, x3=D3/D； (2) D=1+0-6-4+0-9=-18，,,①×A11＋②×A21＋③×A31得 －18x1＝－18 x1＝1，①×A12＋②×A22＋③×A32得 －18x2＝0 x2＝0，①×A13＋②×A23＋③×A33得 －18x3＝0 x3＝0．定义 设有9个元素（数）排成的3行、3列的称为一个三阶行列式，其值为．如例6中的D即称为方程组的系数行列式．2、3阶行列式的值（代数和）可用沙路法（或对角线法则）来记忆：,=;或在图 上操作． 例7 计算 ． 解 例8 （1）的充要条件是（ ） 答：．（因为）（2）的充要条件是（ ），其中．答：．（因为）（3）的充要条件是（ ）（A）k＝2； （B）k＝－2； （C）k＝0； （D）k＝3． 答：（B）或（D）．（因为）例９ 计算下列行列式的值（1）；（2）解 （1）； （2）． 三、3阶行列式的性质 (由定义易验证，对2阶也成立且验证更易) 性质1 DT=D . 其中DT为将D的行与列互换后所得的行列式，即如果，则； DT有时也记为Dˊ，称为行列式D的转置行列式．此性质说明在（二、三阶）行列式中行、列等位．因此凡对行（或列）成立的性质对列（或行）也成立． 性质2 交换两行(或列)使行列式仅变号，即有等．对换第i行（列）与第j行（列）记为（ri，rj）（（ci，cj））． 推论 两行（或列）相同的行列式值为0，即有等． 性质3 行列式中某一行（或列）的公因子可以提到行列式外面来，即有等． 推论1 用数k乘以某行列式相当于用k乘以该行列的某一行（或列）．以数乘以第i行（列）记为． 推论2 某一行（或列）全为0的行列式的值为0．推论3 有两行（或列）成比例的行列式的值为0．如 性质4 若行列式的某一行（或列）的每个元素都是两个元素之和，则此行列式可按此行（或列）分拆成两个行列式之和．如D1＋D2，其中，．性质5 将某一行（或列）各元素的同一数倍加于另一行（或列）相应的元素上去，不改变行列式的值，即有等．将第j行（列）的倍加到第i行（列）记为 ri＋ rj（ ci＋ cj）． 注：性质2、3和5中的变换：对换两行（或列）、以非零常数乘某行（或列）和把某行（或列）的常数倍加到另一行（或列）上去，分别称为第一、第二和第三类初等行（或列）变换（详见第二讲§5）． 性质6（按行（或列）展开定理） （1），即；（2）（j=1,2,3）, 即 （其中Aij如例6所示：，Mij是将Ｄ中aij 所在的第i行和第j列全划掉余下的二阶行列式，称为aij在D中的余子式，而Aij称为aij在D中的代数余子式．） 例10 计算下列行列式的值（1）；（2）． 解（1）；（2）． 性质7（代数余子式的性质） （1）（其中为Kronecker记号．当i＝k时即为性质6（1）；当i≠k，如i＝1，k＝2时，等）． （2）（当j＝时即为性质6（2）；当j≠, 如j＝1， ＝2时，等）． 例11 求的值，并验证性质7． 解 D的, (1) 按第1列展开得1×(-8)+1×(-6)-2×2=-18；(2) ；其余类似． 四、Cramer法则 1．一般情形 由例1和例6即得定理（Cramer法则） （1）二元一次线性方程组 …（1）当其系数行列式D=≠0时有唯一解 （j＝1，2）；（2）三元一次线性方程组…（2）当其系数行列式 D=≠0时有唯一解 （j＝1，2，3）． 例12(例6(2)的解法2 ) ，D1＝D＝－18，，． 注：两种解法本质是一样的，只不过解法2是直接用Cramer法。