1圆圆【【知识梳理知识梳理】】 1.1.圆的有关概念和性质圆的有关概念和性质 (1)(1) 圆的有关概念圆的有关概念 ①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（（2 2）圆的有关性质）圆的有关性质 ①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．说明说明：：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ①①过圆心；过圆心；②②垂直于弦；垂直于弦；③③平分弦；平分弦；④④平分弦所对的优弧；平分弦所对的优弧；⑤⑤平分弦所平分弦所对的劣弧对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
③弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以 CD 为端点的弧记为“” ，读作“圆弧 CD”或“弧 CD” 半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆优弧：大于半圆的弧叫做优弧劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示)④弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.（（3 3）对圆的定义的理解）对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点） ，二是半径（即定长） 2.2.与圆有关的角与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角圆心角的度数等于它所对的弧的度数． （2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半． 2 （3）圆心角与圆周角的关系： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．3. 点与圆的位置关系及其数量特征：点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则 ①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等4. 确定圆的条件确定圆的条件:1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2. 经过三点作圆要分两种情况:(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.5. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.2. 直线与圆的位置关系的数量特征: 设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为 d；①d 直线 L 和⊙O 相交.②d=r <===> 直线 L 和⊙O 相切.③d>r <===> 直线 L 和⊙O 相离.3. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.4. 切线的性质定理: 3 圆的切线垂直于过切点的半径.推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.6. 三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.6. 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系.1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.2. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 <===> d>R+r(2)两圆外切 <===> d=R+r(3)两圆相交 <===> R-r d=R-r (R>r)(5)两圆内含 <===> dr)3. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.4. 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.7. 圆内接四边形圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补; ②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.8. 弧长及扇形的面积弧长及扇形的面积1. 圆周长公式: 圆周长 C=2R (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 4图 5OBCACBAOCBAO弧长 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)180Rnl3. 扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4. 弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5. 圆的面积公式.圆的面积 (R 表示圆的半径)2RS6. 扇形的面积公式:扇形的面积 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3602RnS扇形弓形的面积公式:(如图 5)(1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形SSS(2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形SSS(3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形SRS221 5OCBAABCDO例题解析例题解析【【例题例题 1】1】如图 1，⊙是的外接圆，是直径，若，则OABCAB80BOC等于（ ）A A．60º B．50º C．40º D．30º 图 1 图 2 图3【【例题例题 2】2】如图 2，以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 与小圆相切于点 C，若大圆半径为10cm，小圆半径为 6cm，则弦 AB 的长为 cm．【【例题例题 3】3】如图 3，△ABC 内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD＝6，那么 BD＝_________．【【例题例题 4】4】如图 4 已知⊙O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，∠A=70o，∠c=50o，那么 sin∠AEB 的值为（） A. 21 B. 33 C.22 D. 23 图 4【【例题例题 5】5】如图 5，半圆的直径，点 C 在半圆上，．10AB 6BC （1）求弦的长；ACPBCEA（图 8） 6CBAOBCAOCABS1S2（2）若 P 为 AB 的中点，交于点 E，求的长．PEAB⊥ACPE 三、课堂练习三、课堂练习 1、如图 6，在⊙O 中，∠ABC=40°，则∠AOC＝ 度． 图 6 图 7 图 82、如图 7，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO = 32°，则∠COB 的度数等于 ．3、已知⊙O 的直径 AB=8cm，C 为⊙O 上的一点，∠BAC=30º，则BC=______cm.4、如图 8，已知在中，，，分别以，为RtABC△RtACB4AB ACBC直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于 ．1S2S1S2S5、如图 9，⊙O 的半径 OA＝10cm，P 为 AB 上一动点，则点 P 到圆心 O 的最短距离为___________cm。
图 9 76、如图 10，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=，cm32（1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长7、已知：如图 11，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于Ｅ，弧 BC＝弧 BD，⊙O的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F．(1)求证:CD∥BF．(2)连结 BC,若⊙O 的半径为 4,cos∠BCD=,求线段 AD、CD 的长．34 8、如图 12，在△ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径的⊙O 与 AC 交于点 D，过 D 作 DF⊥BC，交 AB 的延长线于 E，垂足为 F．(1)求证：直线 DE 是⊙O 的切线；(2)当 AB=5，AC=8 时，求 cosE 的值． 图 12 8四、经典考题解析四、经典考题解析 1.如图 13，在⊙O 中，已知∠A CB＝∠CDB＝60○ ，AC＝3，则△ABC 的周长是____________. 图 13 图 14 图 152.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何” ．用数学语言可表述为如图 14，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD于点 E，CE＝1 寸，AB=10 寸，则直径 CD的长为（ ） A．12．5 寸 B．13 寸 C．25 寸 D．26 寸3.如图 15，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 AD 和 BC 相交于点 P，那么等于（ CDAB） A．sin∠BPD B．cos∠BPD C．tan∠BPD D．cot∠BPD4.⊙O 的半径是 5，AB、CD 为⊙O 的两条弦，且 AB∥CD，AB=6，CD=8，求 AB 与 CD 之间的距离． 95.如图 16，在⊙M 中，弧 AB 所对的圆心角为 1200，已知圆的半径为 2cm，并建立如图所示的直角坐标系，点 C 是 y 轴与弧 AB 的交点。
1）求圆心 M 的坐标；（2）若点 D 是弦 AB 所对优弧上一动点，求四边形 ACBD 的最大面积 图 16 五、课后训练五、课后训练 1.如图 17，在⊙O 中，弦 AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30○ ，则 ⊙O 的直径等于_________cm． 图 17 图 18 图 192.如图 18，C 是⊙O 上一点，O 是圆心．若∠C=35°，则∠AOB 的度数为（ ） A．35○ B．70○ C．105○ D．150○ 3.如图 19，⊙O 内接四边形 ABCD 中，AB=CD，则图中和∠1 相等的角有______ 4.在半径为 1 的圆中，弦 AB、AC 分别是3和2，则 ∠BAC 的度数为多少？5.如图 20，弦 AB 的长等于⊙O 的半径，点 C 在⊙O 上，则∠C 的度数是_______. CDABOMYX 10图 20 图 21 图 22 6.如图 21，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB 的度数为（ ） A．50° B．80° C．100° D．130°7.如图 22，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，点 E 在 CD 的延长线上，如果∠BOD=120°，那么∠BCE 等于（ ） A．30° B．60° C．90° D．120°8.如图，⊙O 的直径 AB=10，DE⊥AB 于点 H，AH=2． （1）求 DE 的长； （2）延长 ED 到 P，过 P 作⊙O 的切线，切点为 C，若 PC=225，求 PD的长． 11九年级数学圆练习题九年级数学圆练习题一、一、填空题：（填空题：（2121 分）分）1、如图，在⊙O 中，弦 AB∥OC，，则=_________115AOCBOC2、如图，在⊙O 中，AB 是直径，，则=__________15CBAD3、如图，点 O 是的外心，已知，则=___________ABC40OABACB（1 题图） （2 题图） （3 题图） （4 题图）4、如图，AB 是⊙O 的直径，弧 BC=弧 BD，，则 ．25ABOD （5 题图） （6 题图） （7 题图） 5、如图，⊙O 的直径为 8，弦 CD 垂直平分半径 OA，则弦 CD＝ ．6、已知⊙O 的半径为 2cm，弦 AB＝2cm，P 点为弦 AB 上一动点，则线段 OP 的范围是 ．7、如图，在⊙O 中，∠B=50º，∠C=20º，则∠BOC 的=____________二、解答题（二、解答题（7070 分）分）1、如图，AB是⊙O的直径.若OD∥AC，与 的大小有什么关系？为什么？BOCACAOBDOABCDOABCDBOACDBOACOABPBDABCO 122、已知：如图，在⊙O 中，弦 AB=CD.求证：⑴弧 AC=弧 BD；⑵∠AOC=∠BOD3、如图，已知：⊙O 中，AB、CB 为弦，OC 交 AB 于 D，求证：（1）∠ODB>∠OBD， （2）∠ODB>∠OBC；4、已知如图， ，AB、AC 为弦，OM⊥AB 于 M，ON⊥AC 于 N，MN 是△ABC 的中位线吗？5、已知如图，AB、CD 是⊙O 的直径，DF、BE 是弦，且 DF=BE，求证：∠D=∠BDBCAOABCDOOABCDFENMOAB 136、已知如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，CD⊥AB 于 D，CE 平分∠DCO，交⊙O 于 E，求证：弧 AE=弧 EB 7、如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.(1)当r取什么值时，点A、B在⊙C外.(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.(2)当r在什么范围时，⊙C与线段 AB 相切。
A B C 三、计算下列各题：（三、计算下列各题：（4040 分）分） 1、如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD∥BC 交 AC 于 D，OD =，求cm2BC 的长；OABCDEABCDO 142、如图，在 RtΔABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB、BC 分别交于点 D、E，求 AB、AD 的长．3、如图，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，且 AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，求 CD 的长4、如图，在直径为 100 mm 的半圆铁片上切去一块高为 20 mm 的弓形铁片，求弓形的弦AB的长. A B 5、如图所示，已知矩形 ABCD 的边ABcmADcm34，1）以点 A 为圆心，4cm 为半径作⊙A，则点 B、C、D 与⊙A 的位置关系如何？（2）若以点 A 为圆心作⊙A，使 B、C、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径 r 的取值范围是什么？ ABCDEEOABCD 15四、作图题：（四、作图题：（9 9 分）分）如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片,试找出它的圆心, 并将它还原成一个圆．要求：１、尺规作图；２、保留作图痕迹． （可不写作法． ） 五、探究拓展与应用（五、探究拓展与应用（1010 分）分）1、在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(1)所示：∵∠AOC 是△ABO 的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO又∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA ∴∠AOC=2∠ABO即∠ABC=∠AOC21如果∠ABC 的两边都不经过圆心，如图(2)、 （3） ，那么上述结论是否成立？请你说明理由。
3)(2)(1)ABCOABCOOCBAACDB 。