―、采样定理简介采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理 学科中的一个重要基本结论.E. T. Whi ttaker (1915年发表的统计理论)，克劳德•香农与 Harry Nyquist都对它作出了重要贡献另外，V. A. Kotelnikov也对这个定理做了重要 贡献采样是将一个信号(即时间或空间上的连续函数)转换成一个数值序列(即时间或空 间上的离散函数)采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持 器的特性如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续 信号可以从采样样本中完全重建出来带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制， 也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的采样定理是指，如果信号带 宽小于奈奎斯特频率(即采样频率的二分之一)，那么此时这些离散的采样点能够完全表示 原信号高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象大多数应用都要求避免混叠， 混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理采样定理说明采样频率与信号频 谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈 奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首 次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理1948年信 息论的创始人•香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又 称为香农采样定理采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域 采样定理采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制 理论等领域得到广泛的应用时域采样定理 频带为F的连续信号f( t)可用一系列离散的采样值 f( t1),f( t1土At ),f( t1±2A t)，•…来表示，只要这些采样点的时间间隔At W1/2F，便 可根据各采样值完全恢复原来的信号f( t)时域采样定理的另一种表述方式是：当时间信 号函数f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fM的采 样值来确定,即采样点的重复频率f$2fM时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理 论和多变量采样理论的基础频域采样定理 对于时间上受限制的连续信号f( t)(即当|t|>T时,f( t)=0,这里 T二T2-T1是信号的持续时间)，若其频谱为F(3)，则可在频域上用一系列离散的采样值来 表示,只要这些采样点的频率间隔3Wn / tm。
二、采样简介从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续 时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号连续信号在时间（或空间）上以某种方式变化着，而采样过程则是在时间（或空间） 上，以T为单位间隔来测量连续信号的值T称为采样间隔在实际中，如果信号是时间的 函数，通常他们的采样间隔都很小，一般在毫秒、微秒的量级采样过程产生一系列的数字， 称为样本样本代表了原来地信号每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点，而采 样间隔的倒数，1/T即为采样频率，fs，其单位为样本/秒，即赫兹信号的重建是对样本进行插值的过程，即，从离散的样本x[n]中，用数学的方法确定 连续信号x（t）三、对采样定理的分析从采样定理中，我们可以得出以下结论：如果已知信号的最高频率fH，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率这 一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特采样率，通常表示为fN相反，如果已知采样频 率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率以上两种情况都说明，被采样的信号必须是带限的，即信号中高于某一给定值的频率 成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。
在第一种情况下，被采样信号的频率成分已知，比如声音信号，由人类发出的声音信号中, 频率超过5 kHz的成分通常非常小，因此以10 kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了 在第二种情况下，我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计这通常 是用一个低通滤波器来实现的一） 混叠如果不能满足上述采样条件，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频 率成分将被重建成低于采样频率一半的信号这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，而重建 出来的信号称为原信号的混叠替身，因为这两个信号有同样的样本值一个频率正好是采样频率一半的弦波信号，通常会混叠成另一相同频率的波弦信号， 但它的相位和幅度改变了以下两种措施可避免混叠的发生：1. 提高采样频率，使之达到最高信号频率的两倍以上；2. 引入低通滤波器或提高低通滤波器的参数；该低通滤波器通常称为抗混叠滤波器 抗混叠滤波器可限制信号的带宽，使之满足采样定理的条件从理论上来说，这是可行的，但是在实际情况中是不可能做到的因为滤波器不可能完全滤除奈奎斯特频率之上的 信号，所以，采样定理要求的带宽之外总有一些“小的”能量不过抗混叠滤波器可使这些 能量足够小，以至可忽略不计。
二） 减采样当一个信号被减采样时，必须满足采样定理以避免混叠为了满足采样定理的要求， 信号在进行减采样操作前，必须通过一个具有适当截止频率的低通滤波器这个用于避免混 叠的低通滤波器，称为抗混叠滤波器为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍，即Fs$2Fmax采样率越高，稍后恢复出的波形就越接近原 信号，但是对系统的要求就更高，转换电路必须具有更快的转换速度三）重构原信号任何信号都可以看做是不同频率的正弦（余弦）信号的叠加，因此如果知道所有组成 这一信号的正（余弦）信号的幅值、频率和相角，就可以重构原信号由于信号测量、分解 及时频变换的过程中存在误差，因此不能100%地重构原信号，重构的信号只能保证原信号 误差在容许范围内四、带通采样定理抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是fS$2fh，为了满足抽样定 理，要求模拟信号的频谱限制在0〜fh之内（fh为模拟信号的最高频率）为此，在抽样 之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波 器特性不良或者抽样频率过低都会产生折叠噪声例如，话音信号的最高频率限制在3400HZ，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为 fS=6800HZ,为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率fS=8000HZ,这样就留出 了 8000-6800=1200HZ作为滤波器的防卫带。
应当指出，抽样频率fS不是越高越好，太高时， 将会降低信道的利用率（因为随着fS升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽， 导致信道利用率降低所以只要能满足fS$2f h,并有一定频带的防卫带即可以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为 f0〜fh，带宽B=fh - f0.如果f0B，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60〜108KHZ）就属于带通 型信号对于低通型信号来讲，应满足fS$2fh的条件，而对于带通型信号，如果仍然按照这 个抽样，虽然能满足样值频谱不产生重叠的要求，但是无疑fS太高了（因为带通信号的fh 高），将降低信道频宽的利用率，这是不可取的设f（t）频带为（弋fh）,仍按f =2fh抽样，频谱图中有很多空隙，那么是否可降低抽样l , h s h频率呢经观察可发现带通信号的最高频率fh如果是其带宽的整数倍的话，例如f h=2B，当h h抽样频率f =2（fh—t ）=2B时，其频谱并不发生混叠s h l如果最高频率fh不是信号带宽B的整数倍，即：fh=KBh h其中K的整数部分为n,小数部分为k,即：K=n+k我们可以假想一个比B宽的带宽B',使正好是它的整数倍。
f =KB'只要我们以2B'抽样频率匚对彳（t）进行抽样必然不会出现频谱混叠因此hn n s n从式中可见，随着n的增大，趋向于2B，当n比较大时，式1可简化为: f =2B。