电磁学第四章 恒定电流和电路前三章讨论了静电场，场源电荷相对于观察者是静止不动的从 本章起讨论电荷运动时引起的有关现象若电荷作有规则的定向运动 就会形成电流，要维持电流的存在，必须要有相应的电场，所以 本章主要讨论恒定电流和电场，并引入许多重要的物理概念§ 4.1恒定电流一、电流、电流强度、电流密度导体放在静电场中时，导体中的自由电子在外电场作用下发生定 向运动，当导体内部场强为零时，定向运动停止若能使内部场强不 为零，定向运动就会持续下去，这时，在导体中就有电流产生1、电流（1） 定义：带电粒子（在外电场作用下）作宏观的定向运动便形 成电流（叫做电流）本章只讨论：导体内部的电流2） 载流子：导体中的能在电场力作用下发生定向运动的 带电粒 子叫做该导体的载流子，它们是形成电流的内在因素不同性质的导体有不同的载流子： 金属导体的载流子是自由电子，酸、碱、盐的水溶液中的载流子：是正负离子等3） 电流的方向正电荷运动的方向为电流的方向结论:A :导体中电流的方向总是沿着电场方向， 从高电势处指向低电势处；B :导体中的载流子为负电荷（自由电子），此时可以把电流等效 为等量的正电荷沿负电荷的反方向运动形成。
2、 电流强度描述，电流的大小（1） 定义：单位时间内通过导体任一横截面的电荷量，叫做该截 面的电流强度这里的截面可以推广到任意曲面）Aq表示为：I 二 lim t >0-△ t（2） 电流强度I是反映导体中某一截面整体特征的标量I Aq就某S面：1 =三：平均地反映了 s面的电流特征3、 电流密度J（1）定义：导体中每一点的J的方向是该点正电荷运动方向（电 场方向），J的大小等于过该点并与电流方向（正电荷运动方向）垂直 的单位面积上的电流强度，写为：(2)J与I有不同：I是一个标量，描写导体中的一个面;J是矢量点函数，描写导体中的一个点3)J与I的普遍关系dS_只反映了 J与I的特殊关系（要求面元与 J垂直），下面推导J与I的一般关系nJ在导体中某点处取一任意面元 dS （ dS与J并非垂直），面元dS的 法线方向n?与该点的J夹角为二，则dS在与J垂直的平面上的投影为：dS〕二 dScos^而 dl 二 JdS = JdScos^ （标量）二J r?d^ = J dS （二矢量点乘仍为标量）所以通过导体中任意曲面 S的电流强度I与J的关系为：I 二 J dSS此式说明：一曲面上的I是J对该曲面的通量（J通量）。
4） J是矢量，J在空间的分布形成J场 电流场由J的定义，导体中各点J有确定的数值和方向，即使在导体的 外部（真空），J =0，也有确定的值，可见J在整个空间具有确定的分 布，这样就构成一个矢量场，称之为电流场（ J场）为了研究J场的性质，仿照前面讨论电场E的方法，讨论矢量J对 任一闭合曲面的通量二、连续性方程dS2；在J场中（导体中）任选一闭合曲面S,由通量的定义知：J对曲面s的通量就是由面内向外流出的电流强度 （由内向外是n?方向），也等于单位时间内由面内向外流出的电荷量 （正电荷）而根据电荷守恒 定律：单位时间内从面内流出的电荷量应等于面内电荷量的减少如 果S内电量为q （正电荷），则单位时间内的减少为-兽因此:J dSdSndtJ dS 二 J dS J dSS dS dS,“1 T2 I Tn=流出的I=单位时间内由面内向外流出的电荷量=单位时间内面内电荷量的减少=一 z?（减小率）dt此式称为连续性方程，它实际上是电荷守恒定律的一种数学表述三、恒定电流和电场1、 恒定电流：空间各点J都不随时间而变化的电流叫做恒定电流2、 维持恒定电流的条件：要维持电流，则导体内的电场 E内=0，而导体内的电场是由导体 各处分布着的电荷激发的。
若产生电场E内的空间电荷分布（密度）随时间发生变化二它们激 发的电场E内也随时间变化=导体内的电流密度 J也随时间变化=不 是恒定电流电流的恒定条件：空间各点的电荷分布（密度）不随时间而变 故对任意闭合曲面S有[.J・dS二- 0f 恒定条件的数学表达式s dt此式的物量意义：在恒定电流的情况下，从闭合面 S某些部分流进去的电流强度（J通量）必然等于该闭合曲面其他部分流出去电流 强度注意：乜=0并不是电荷不运动，只是对某一闭合面S而言，单位dt时间内流进S的电荷量q与流出的q相等，结果好象是q没随时间变 化一样3、电流线（J线）（1） 规定：电流线上每点的切线方向与该点的电流密度 J的方向 相同，通过场中任一曲面（非闭合面）的电流线条数等于该曲面的 J通 量（即该曲面的电流强度）即:通过任一曲面 S的J线条数=..J・ds=lS（2） J线的性质：对恒定电流：＞ J dS = 0S即: J对闭合曲面S的通量为零，说明穿进 S的J线条数必然等 于穿出的J线条数，即J线不中断，无间断点故性质：恒定电流场中的J线是既无起点又无终点的连续闭合曲线这个性质叫做 恒定电流的闭合性所以恒定电流流通的路径是一个闭 合路径。
4、恒定电场（1） 定义：分布不随时间变化的电荷所产生的电场； 或与恒定电 流相伴的电场2） 特点（恒定电场与静电场的 共同点）：£ = °，空间各点Edt不随时间变化，因此恒定电场也视为静电场；但和前面讲的静电场有 所不同（不同点）：前面的静电场，产生电场的电荷是静止不动的，这 里产生恒定电场的电荷是运动的，只是电荷分布（密度）不随时间而 变既然恒定电场也视为静电场，所以在恒定电场中，高斯定理和环 路定理也完全适用例：P167 习题 4、1、1 J 二 J?解:J通量为:dI 二 J dS 二 Ji? dSl?- Ji? rR2si^1d1d=J? sinTcos®i?+sin日 sin®?+cos日 k? R2si1 丿=JR2 sin2 n cos d^d（2）在x > 0的半球面上（用yoz面来分割球面成x > 0的半球面 和x < 0的半球面）— 312 兀 2 — 211 udl =JR sin 二小 2 cos d =J「RSi o2同理，在xw 0的半球面上：31I sdl 二 JR2sin~d「「2cos d 二-J R22 2li I2 = dl dl = J dS J dSS $ Si s2（恒定电流场）J dS = 0§ 4.2 直流电路一、 电路1、 电路：电流流通的路径叫 电路。
通常的电路往往由若干分支组 成，每个分支叫做一条 支路若一电路只由一条支路组成，称为无分 支电路，它是最简单的电路，也称全电路2、 节点：支路与支路之间有联结点， 三条或三条以上支路的联结 点叫做节点（或结点）二、 直流电路1、直流电路一一载有恒定电流的电路，也称为恒定电流电路恒定电流时，各点的电流密度 J不随时间而变，而l =…J 9S，S所以直流电路中任一截面的电流强度也不随时间变化2、直流电路的性质（实际是恒定电流条件的推论）（1）直流电路中同一支路的各个截面有相同的电流强度 ISS2证明：如图，选一闭合曲面S包含同一支路的任两个截面 S2闭合曲面S与支路相截的部分为 S1> S2， S1> S2为支路中任意选取 的两个截面）应用恒定条件于 S有：「J dS = J dS J dS J dS = 0S Si S2 其它而导体（导线）置于真空中（空气中），J = 0= .. J dS = 0，其它J方向：从左 > 右n方向：从里 > 外二 +I1 — I 2=0 I 1 = I 2若支路形状为：I l J dS -SiIi3面的电流强度■ I2S2面的电流强度*h —* J11 J dS = -1 [仍有：Il =I25111 J dS 二 1252(2)流进直流电路任一节点的电流强度等于从该节点流出的电流强度。
如图：节点A由5条支路组成，由恒定条件:j dS J2 dS 111 J5 dS J dS = 0S1 S2 85 其它而 !! J dS 二 0其它二 +I 1 + I 2+ (— I 3) +I 4+ (— I 5) =011 +I 2+I 4 = I 3+I 5即流出=流进(3) 这个结论称为基尔霍夫第一方程组，它是恒定条件的必然推 论，也是电荷守恒定律的必然结果§ 4.3 欧姆定律和焦耳定律、欧姆定律电阻电阻 I二R , R值反映导体对电流的阻碍程度，称为导体的电 阻二、 电阻率l d lR 或 R= ■—（与材料、形状、长短、粗细、温度有关）S S'与导体的材料及温度有关，称为导体的电阻率1对纯金属：—?01 : t .称电导率三、 欧姆定律的微分形式（经典金属电子论） P127（金属导电、欧姆定律和焦耳定律的经典微观解释）金属中有很多自由电子：结构组成为 自由电子+原子实1、当金属内E内二0时，自由电子作无规则热运动一一形成电子 气，热运动平均速度V = 105 （米/秒）（由统计力学）自由电子热运动过程中不断与金属骨架（原子实）碰撞，故自由 电子的运动轨迹为折线2、当E内=0时，电子气除热运动V夕卜，还有定向运动u形成电流， 但 u v。
1）考虑电子在两次碰撞之间的运动时E内二0时，匀速运动；E内=0时，初速为0的匀加速直线运动加速度:a"初速：uo = 0 （定向速率）末速：Uf- f为两次碰撞之间的平均 时间 eE - I=af 4，「为平均自由程V平均速度:0 uf-eEl系2mvf 定向运动平均速度与场强 E的关（2）考虑与J垂直的面元 S上的J的表示“ U *在金属内部与J垂直的方向上取一面元 S以厶s为底，U为高取一柱体单位时间内要通过 S面而形成电流的电子数应为柱体体积（U S ）内的电子数：心qS上的电流强度：dl nu「S en为单位体积内的电子数,dl -S上一点的电流密度：J _ S - nue（大小）写成矢量:速度方向相反）- 2.-•.j Be2mv是电导率J =「neu （方向：电流密度方向与电子定向运动的二 E金属中同一点 是一个正常数，不同金属 不同，同一E下有不同的J3、讨论（1） J = E （ J与E方向相同，大小成正比）称为欧姆定律的微 分形式：反映了导体中的 J与引起J的外因E和内因 之间的关系；1对比I = rU （称为欧姆定律的积分形式）：反映了导体中的I与。