第十三讲 质数和合数 1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）3）1： 只有1个因数1”既不是质数，也不是合数注： ① 最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3 ② 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数 ③ 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系： 奇数奇数=奇数 质数质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1； 最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身； 最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身； 最小的质数是：2；最小的自然数是：0； 最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式树状图例：分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止把36分解质因数是：36=22335、用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）例：分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤具体步骤是：6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和87、两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质； ⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质； ⑸质数与比它小的合数互质；教学重点：质数和合数的概念教学难点：正确判断一个常见数是质数还是合数。
1.两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.答案：420解析：首先注意到41是质数,两个自然数的和与差的积是41,可见它们的差是1,这是两个连续的自然数,大数是21,小数是20,所以这两个自然数的积是2021=420.2. 在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立. □+□+□=50答案：2、5、43解析：接近50的质数有43,再将7分拆成质数2与质数5的和.即 2+5+43=50另外,还有 2+19+29=50 2+11+37=50[注]填法不是唯一的.如也可以写成 41+2+7=503. 三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.答案：11,12,13解析：将1716分解质因数得 1716=2231113 =11(223)13由此可以看出这三个数是11,12,13.4. 找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.答案：88解析：先把1992分解质因数,然后把不同质数相加,求出它们的和. 1992=222383所以1992所有不同的质因数有:2,3,83.它们的和是 2+3+83=88.5. 把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.解析：先把14,20,21,28,30分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,再分摊在两组中,使两组数乘积相等.14=72 20=22521=37 28=22730=235 7从上面五个数分解质因数来看,连7在内共有质因数四个7,六个2,二个3,二个5,因此每组数中一定要含三个2,一个3,一个5,二个7.六个数可分成如下两组(分法是唯一的):第一组: 7、28、和30第二组：14、21和20且72830=142120=5880满足要求.[注]解答此题的关键是审题,抓住题目中的关键性词语：“使两组数的乘积相等”.实质上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数出现的次数也相同.先把14,20,21,28,30分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,再分摊在两组中,使两组数乘积相等.14=72 20=22521=37 28=22730=235 7从上面五个数分解质因数来看,连7在内共有质因数四个7,六个2,二个3,二个5,因此每组数中一定要含三个2,一个3,一个5,二个7.六个数可分成如下两组(分法是唯一的):第一组: 7、28、和30第二组：14、21和20且72830=142120=5880满足要求.[注]解答此题的关键是审题,抓住题目中的关键性词语：“使两组数的乘积相等”.实质上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数出现的次数也相同.6. 学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?解析：把1430分解质因数得 1430=251113根据题目的要求,应在2、5、11及13中选用若干个数，使它们的乘积在100到200之间，于是得三种答案：（1）2511=110；（2）2513=130；（3）1113=143.所以,有三种分法:一种是分为13队,每队110人；二是分为11队，每队130人；三是分为10队，每队143人.A1. 在1~100里最小的质数与最大的质数的和是_____.答案： 99解析：100,98是偶数,99是3倍数,从而知97是1~100中最大的质数,又最小的质数是2,所以最小的质数与最大的质数的和是99.2. 小明写了四个小于10的自然数,它们的积是360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是____、____、____和____.答案：3,3,5,8解析：根据这四个数中只有一个是合数,可知其他三个数是质数,将360分解质因数得:360=222533所以,这四个数是3,3,5和8.3. 把232323的全部质因数的和表示为,那么ABAB=_____.答案：1992解析：依题意,将232323分解质因数得 232323=2310101 =23371337从而,全部不同质因数之和=23+3+7+13+37=83所以,AB=8383=1992.4. 有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三个人年龄数的乘积是1620,这三个学生年龄的和是_____.答案：36岁解析：根据三个学生的年龄乘积是1620的条件，先把1620分解质因数，然后再根据他们的年龄一个比一个大3岁的条件进行组合. 1620=2233335 =91215所以,他们年龄的和是9+12+15=36(岁)5. 两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_____和_____.答案：83,24解析：先把1992分解质因数,再根据两个数的和是107进行组合 1992=222383 =2483 24+83=107所以,这两个数分别是83和24.B 6.如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是_____.答案：14解析：根据两数之积能整除4875,把4875分解质因数,再根据两数之和为64进行组合. 4875=355513 =(313)(55)5 =(3925)5由此推得这两数为39和25.它们的差是39-25=14.7. 某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256.这个数是_____.答案：15解析：解法一因为相同两数相加之和为原数的2倍,相减之差为零,相乘之积为原数乘以原数,相除之商为1.所以原数的2倍加上原数乘以原数应是256-1=255.把255分解质因数得: 255=3517 =35(15+2) =152+1515所以,这个数是15.解法二依题意,原数的2倍+0+原数原数+1=256,即 原数的2倍+原数原数=256-1 原数的2倍+原数原数=255把255分解质因数得 255=3517 =15(15+2) =152+1515所以,这个数是15.8. 有10个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133和153.把它们编成两组,每组5个数,要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积.第一组数____________；第二组数是____________.答案：21、22、65、76、153；34、39、44、45、133.解析：先把10个数分别分解质因数,然后根据两组中所包含质因数必须相等把这10个数分成两组:21=37 22=21134=217 39=31344=2211 45=33565=513 76=2219133=719 153=3317由此可见,这10个数中质因数共有6个2,6个3,2个5,2个7,2个11,2个13,2个17,2个19.所以,每组数中应包含3个2,3个3,5、7、11、13、17和19各一个.于是,可以这样分组:第一组数是:21、22、65、76、153；第二组数是:34、39、44、45、133.[注]若将分为两组拓广分为三组,则得到一个类似的问题(1990年宁波市江北区小学五年级数学竞赛试题):把20,26,33,35,39,42,44,55,91等九个数分成三组,使每组的数的乘积相等.答案是如下分法即可:第一组：20，33，91；第二组：44，35，39；第三组：26，42，55.9. 有_____个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原两位数整除.答案：12解析：设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除.因为100A+B=90A+(10A+B),由数的整除性质可知90A能被10A+B整除.这样只要把90A分解组合,就可以推出符合条件的两位数.A12345678。