变量分离方程及变量变换

第二章 一阶微分方程的初等积分法初等积分法：通过积分求解常微分方程的一种方法，其特点是方程的解可用初等函数以及初等函数的积分形式表示本章要求: 熟练掌握一些重要的常见的一阶方程的类型及其求解方法主要内容：1、变量分离方程与变量变换2、线性方程与常数变易法3、恰当方程与积分因子 4、一阶隐式方程与参数表示 •注意： 正确判断方程的类型§2.1 变量分离方程与变量变换本节要求1 熟练掌握变量分离方程，齐次方程的求解方法2 熟练掌握运用变量变换将方程化为熟知类型求解的思想方法，求解更广泛的方程本节主要内容变量分离方程与变量变换 1 变量分离方程其中 分别是 x 与 y 的已知连续函数特点：一般的一阶方程 中的 f ( x, y )可表示成如：可 化 为 齐 次 方 程 的 类 型齐 次 方 程可 化 为 变 量 分 离 的 类 型举 例解 法特 点变 量 分 离 方 程 )1.2()(fd)(,yxf),(fd )(),(yφxffyxkR解法步骤：如果(1) 分离变量(2) 两边积分用 G(y)， F(x)分别表示 的某一个原函数(3) 方程（2.1）的通解为 G(y)=F(x)+C。

因为，将 y 视为 x 的函数，对 G(y)=F(x)+C 两端关于 x求导，所以， （2.2）为方程(2.1)的通解如果存在 ，使得直接验证得: 为方程(2.1)的常数解故，分离变量方程（2.1）的解为举例：例1 求解方程解：(1) 分离变量 (2) 积分(3) 求通解 或者 （ c 为任意正常数） 例2 求解方程 ，并求出满足初始条件：当 x = 0时 y = 1的特解解(1) 分离变量(2)两边积分(3) 为方程的通解0)(ydxf()fy(及1)(fd1yfdiykiyi ,21 ,0)(ikiyCxFG,21 ,)(xd01)(yxdy22xycyx2xdos0yc2xoscxysin1xysin1注意 y = 0 时，也是方程的解，而其并不包含在通解中，因而方程还有解 y = 0所以，原方程的解为求特解将初始条件 y (0)=1代入通解中，得 c = -1，则 满足所给条件的特解为:2 可化为变量分离方程的类型(1) 齐次方程形式： g( u)为 u 的连续函数,特点：一般方程的右端函数 f (x,y) 是 x， y 的零次齐次式。

即或 f (x,y) 可表示成以解法(1) 令变量变换 ,即 y=ux(2) 对两边关于 x 求导(3) 将上式代入原方程，得整理，得 ，这是变量可分离方程,(4） 求解方程(2.3),若其解为:(5) 原方程的通解为:举例：例3 求解方程解：令（c为任意常数）0sin1ycx1sinxy(xygd00kygkkf ,)(,(为 整 体 变 量 的 函 数 xuydx)(ugd1)(g0),(),(cxycxy或),(),(xx或 ydtanuxyxu或,dyutxtanxdtandx1sinu~lsil令 ，得 Sinu = cx （ c 为非零任意数）另当 tanu = 0 时， u = 0， 即 u = 0 也是方程(2.4)的解，故 （2.4）的通解为 sinu= cx（ c 为任意常数） 代回原来的变量，原方程的通解为:(2) 可化为齐次方程的方程形式：均为常数, 且 不同时为零.若 即设则原方程可化为:令这是变量分离方程，即可求解。

若 ，则有唯一的解:令，变量代换则方程 (2.5) 化为：xec~sinxec~sinc~cxysin2211cybxad,icbai 21,02121bak21 2121kba, )()(yxafcyxdy222bau2dbu2)(fdx021ba02211cybxa),(yYxXYX 或dXYxy222111)()(cYba)(2211cbaYX为齐次方程, 即可求解特别地，当 时，方程(2.5)的求解步骤：(1) 解代数方程组其解为:(2) 作变换 ，将方程(2.5)化为齐次方程，(3) 再作变换 ，将其化为变量分离方程(4) 求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原 方程的解类似的方法，可求解更广泛的方程 P.26例4 求解方程解：解方程组 ， 得 x = 1, y = 2 令将原方程转化为齐次方程再令即方程可化为:)(21XYgbadXY0210211cybxa,YXYbXad21U)(2211cybxafdy3y031yx2YyXYXd uXu即 ud d1 uuX)( dd21)21()(ud两边积分，得:记 ，并代回变量，得:再代回原变量，得:此外，容易验证: ，也是方程(2.18)的解。

因此原方程(2.17)的通解为: ，其中 c 为任意常数本节小结:变量分离方程与变量变换注意：通解的形式及其中任意常数的意义•课堂练习•思考 以下方程的求解方法•作业: P.31. 2, 3, 5, 8, 11, 13, 16, 18(1), 21cuX~lnl122e)(1ce~ 12)(cuX122xyxy()(012uxyxy262可 化 为 齐 次 方 程 的 类 型齐 次 方 程可 化 为 变 量 分 离 的 类 型举 例解 法特 点变 量 分 离 方 程yxpd)( 1yxed 22332 4)( 2xyfd42)( 1cbyaxfd0) 3dg。