合同矩阵一. 实对称方阵的合同变换.设P是一个n阶可逆方阵,令: X = PY, 则:XTAX = (PY)TA(PY) = YT(PTAP)Y实二次型:核心问题问题 : 对对于给给定的实对实对 称方阵阵A，如何寻寻找一个可逆方阵阵P，使得PTAP成为对为对 角方阵阵?这样这样 的对对角方阵阵具有什么特点呢? (1) 若a1,1 0设A是一个n阶实对称方阵.(2) 若a1,1 = 0, 而 ak,k 0 无妨说a3,3 0(3) 若a1,1 = a2,2 = … = an,n = 0, 而ai,j 0无妨说, an,3 0其中s + t = R(A)，称s为该 二次型的正惯性指数；称t 为该二次型的负惯性指数； s – t为该二次型的符号差 即, 我们们用了一系列初等方阵阵P1, P2, …, Pl, 使得:PlPl-1…P2P1AP1TP2T …Pl-1TPlT 令P = P1TP2T …Pl-1TPlT = PTAP 那么如何在变换过程中自动记录P呢？ 例1. 利用合同变换把对称方阵 化为标准形.解： 即 例2. 利用合同变换把对称矩阵 化为标准形解： 令:则例3. 利用合同变换把对称方阵 化为标准形 .解： 二. 利用配方法把二次型化为标准形例4. 利用配方法把下列二次型化为标准形，并求 所用的变换矩阵。
解： 令： 则 :例5. 利用配方法把下列二次形化为标准形，并求 变换矩阵解：令 则 再令 即 从而 变换矩阵P为： 。