知识要点】一、两个非零向量的夹角的概念已知非零向量ra与rbuuur r uuur r ，作 OA =a , OB =b ,，则 ÐAOB =q(0 £q£p)叫a与b的夹角.当q=0时ra与rbr r同向；当 q=p时， a 与 b 反向；当 q=p2r r r r 时， a 与 b 垂直，记 a ^b .r（1）对于 0, 不谈它与其它向量的夹角问题.（2）ra与rbr r的夹角，记作 ,确定向量ra与rb的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点 .如：=ÐA但是¹ÐB=p-ÐB二、求两个向量的夹角一般有两种方法uurrr ragbcos =方法一：r ra br r方法二：设 a = ( x , y ) , b = ( x , y )1 1 2 2r r，q 为向量 a 与 b 的夹角，则 cosq=x x +y y1 2 1 2x 2 +y 2 × x 2 +y 2 1 1 2 2【方法讲评】方法一利用公式r r cos =uurragbr ra b求解.使用情景一般没有坐标背景.解题步骤r r 先求 a gbr r ， | a |,| b |，再代入公式r r cos =uurragbr ra b求解.r r r ur r r r r r r【例 1】已知 x =a +b, y =2 a +b , 且 | a |=|b |=1, a ^b.r ur r ur （1）求 | x | 和 | y | ；（2）求 x, y夹角的余弦值.2【点评】（1）r r r r | a |2 =a 和 | a |= a2是平面向量求模非常重要的两个公式，要注意灵活运用.（2）利用公式r r cos =uurragbr ra b求解时，要先求r ra gbr r ， | a |,| b |这些基本量，再代入公式.r r【反馈检测 1】已知 a, b 都是非零向量，且 夹角.r r r r r r r r r a +3b 与 7 a -5b 垂直，a -4b 与 7 a -2b 垂直，求 a 与 b 的方法二利用公式 cosq=x 21x x +y y 1 2 1 2+y 2 × x 2 1 2+y22求解.使用情景一般有坐标背景.解题步骤r r 先求出 a , b的坐标，再代入公式 cosq=x 21x x +y y 1 2 1 2+y 2 × x 2 1 2+y22求解.j【例 2】 如图，函数 y =2sin( px +j), x ÎR （其中 0 £j£ （Ⅰ）求的值；p2）的图像与 y轴交于点 (0,1).（Ⅱ）设 P是图像上的最高点，M、N 是图像与xuuuru轴的交点，求 PM与uuurPN的夹角的余弦.【解析】（I）因为函数图像过点 (0,1) ，所以 2sinj =1, 即 sinj =12.因为 0 £j£p2，所以j=p6.r r【点评】 此类问题的一般步骤是：先求 a, b的坐标，再 cosq=x x +y y 1 2 1 2x 2 +y 2 × x 2 1 1 2+y22求解.r r r r【反馈检测 2】已知 | a |=1,| b |= 3, a +b =( 3,1），r r r r r r （1）试求 | a -b | ；（ 2）a +b与a -b的夹角.( a -b )2 222 22 2高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 44 讲:平面向量夹角的计算方法参考答案r r【反馈检测 1 答案】 a与b的夹角为p32【反馈检测 2 答案】（1）2；（2） p .3r r【反馈检测 2 详细解析】(1)| a -b |=r r r r r r r r = a -2 agb +b = 4 -2 a gbr r r r r r r r Q| a +b |=2 \ a +2 a gb +b =4 \ 4 +2 agb =4r r r r\ 2 a gb =0 \| a -b |= 4 =2(2)设两个向量的夹角为a，\r r r r r r( a +b ) g( a -b ) a -b 1 -3 1 cosa = r r r r = = =-| a -b || a +b | 4 4 22Q 0
