5.1矩阵的特征值和特征向量定义(矩阵的特征值和特征向量)设A为n阶方阵，如果存在复数九及n维非零列向量x,使得Ax二九x件1)或(九E一A)x=0(4-2)则称九为A的一个特征值，x为A的对应于(或属于)特征值九的一个特征向量求n阶方阵A的特征值与特征向量的一般步骤如下第一步：计算特征多项式1Xe—AI第二步：求出特征方程I九E—AI=0的全部根九，九，…,九(重根按重数计算)，则12n九九…,九就是方阵的全部特征值12n如果九为特征方程的单根，则称九为A的单特征值；如果九为特征方程的k重根，iij则称九为A的k重特征值，并称k为九的重数jj第三步：对A的相异特征值中的每个特征值九，求出齐次线性方程组i(九E—A)二0(4-3)i的一个基础解系EE，…,E，则EE，…,E就是对应于特征值九的特征空间的一个i1i2iki1i2ikijj基，而A的属于九的全部特征向量为ix=cg+cgHFcg1i12i2kikjj其中C,c，…,c为不全为零的任意常数12kj特征值和特征向量有下列基本性质：性质1设A二(a)的全部特征值为九，九，…,九，则有jnxn12n九+Xf—+X=Ya,九九•…九=|AI12nii12ni=1利用性质1可以简化有关特征值问题的某些计算。
性质2设X为方阵A的一个特征值，且x为对应的特征向量，则对任何正整数k,Xk为Ak的一个特征值且x为对应的特征向量更f(x)=axmffax+a，贝I」f(X)为方阵f(A)=aAmffaA+aE的一个特m10m10征值，且x为对应的特征向量1|A|性质3设九为可逆方阵A的一个特征值，则九H0，r为aT的一个特征值，——为A*九九的一个特征值性质4设九，九，…,九为方阵A的互不相同的特征值，x为属于九的特征向量12mii(i二12…,m)，则向量组x,x，…,x线性无关更一般的，设x,x，…,x为属于九的12mi1i2ikii线性无关特征向量(i二12…,m)，则向量组x,x,…,x,x,x,…,x,…,x,x,…,x11121k21222km1m2mk12m线性无关性质5设九为方阵A的k重特征值，则属于九的线性无关特征向量的个数不大于00关于特征值与特征向量的结论见下图：AkAkAAmf(A)=£aAiii=0A-1A*B=P-1AP特征值九k九九mf(九)=£a九iii=01九IAI九九对应特征向量xxxxxxP-1x5.2相似矩阵及方阵可相似对角化的条件定义(相似方阵)对于同阶方阵A,B，若存在同阶可逆方阵P,使得P-1AP二B(4-4)则称A与B相似，或A相似于B,并称变换：ATP-1AP为相似变换。
方阵的相似关系具有反身性、对称性和传递性定理(方阵A与B相似的必要条件)设方阵A与B相似，则有(1) r(A)二r(B)；(2) IA1=1BI；(3) 1九E-AI=I九E-BI，即A与B有相同的特征多项式(从而A与B有相同的特征值)；(4)AT与BT相似，A-1与B-1相似，Ak与Bk相似定理（方阵相似于对角矩阵的充分必要条件）n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量，且当A相似于对角矩阵D时，D的主对角线元素就是A的全部特征值推论方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A的属于每个特征值的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数定理（方阵相似于对角矩阵的充分条件）如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值（即A的特征值都是特征值），则A必相似于对角矩阵矩阵可相似对角化的条件见下图（设A是n阶方阵）5.3正交矩阵定义（实向量的内积、长度、夹角、正交）对于Rn中任意两个向量a=（a,a，…，a）t,B=（b,b，…，b）t12n12n称实数工ab为a与B的内积，记为（a,卩），即iii=1（a,B）=Xab=atB=Btaiii=1向量a的长度（或泛数）定义为|a1=*：（a,a）=，Xa2\i=1a长度为1的向量称为单位向量。
若a工0，则称由a得到单位向量||的过程％a的单位|a|化如果a,卩都是非零向量，则a与卩的夹角定义为0=arccos（"'片）（0<0
2）如果A为正交矩阵，则At,A-1,A*，-A,Ak都是正交矩阵3）如果A,B为同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵4）实方阵A为正交矩阵，当且仅当A的列（行）向量组为正交单位向量组利用上述的性质（4），可以比较方便的检验方阵是否为正交矩阵定义（正交变换）设A为n阶正交矩阵，则称Rn到Rn的线性变换y=Ax（对于x=（x,x，…,x）TeRn）12n为正交变换正交变换有下列性质（其中A为正交矩阵）：（1）保内积性：若y=Ax,y=Ax，贝y,y）=（x,x）；112212125.4 ⑵保长度性：若y二Ax,贝川y1=1xI实对称矩阵的性质及正交相似对角化实对称矩阵有下列性质：性质1实对称矩阵的特征值都是实数性质2实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交性质3若九为实对称矩阵A的k重特征值，则A的属于九的线性无关特征向量正好00有k个定理设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵P,使得PtAP=PtAP为对角矩阵5.5 重点与难点本章的重点是特征值和特征向量的概念及计算、方阵对角化的条件及计算，难点是实对称阵的正交相似对角化1 特征值和特征向量的概念及计算特征值和特征向量有广泛的应用深刻理解特征值和特征向量的概念并且熟练掌握特征值和特征向量的计算，是建立特征值和特征向量的一般理论并且应用其解决有关问题的基础。
求方阵A的特征值的关键是计算行列式I九E-AI，求A的属于特征值九的线性无关0特征向量的关键是求齐次线性方程组（九E-A）x=0的基础解系，而研究属于特征值九的00线性无关特征向量个数（着实研究方阵A可否相似对角化的关键）就是研究齐次线性方程组（九E-A）x=0的基础解系所含向量的个数所以，无论从计算还是理论的角度看，本0章内容都是前几章内容的发展和应用在学习本章内容的过程中，也可以使读者对前几张的有关基本理论得到进一步的理解，对有关的基本计算得到进一步的掌握关于特征值和特征向量必须注意以下几点：（1）n阶方阵A的特征值共有n个（k重特征值算作k个特征值），它们就是一元n次代数方程f（九）三I九E-AI=0在复数范围内的全部根2）特别注意特征向量是非零列向量3）方阵A的属于特征值九的特征向量有无穷多个，它们就是齐次线性方程组0（九E-A）x=0的所有非零解向量由此可知，如果x,x，…,x都是属于九的特征向量，012m0则当kx+kxHFkx丰0（其中k为任意常数，i=1,2,…,m）时，1122mmik1xi+k2x2+…+kmxm仍是属于九0的特征向量特别的，如果X为属于九°的特征向量,则将x单位化后得到的向量缶仍是属于九0的特征向量。
4）方阵的特征值，有的是实数，有的是虚数对于A的特征值件，若矩阵九0E-A是实数矩阵，则齐次线性方程组(九E-A)x=0是实系数方程组，它的解可取为实向量，因0而属于九的特征向量为实向量；如果矩阵九E-A的元素中有虚数，则属于九的特征向量000的分量中可能有虚数2 一般方阵的相似对角化相似是同阶方阵之间的一种重要关系，相似矩阵具有许多共同性质那么在一类相似矩阵中，能否找到一个有代表性的且最简单的矩阵，使得我们通过研究它的性质就能得到这类矩阵的共同性质？这类问题中的一种常见问题，是研究方阵能否相似于对角矩阵的问题由于对角矩阵实最简单的矩阵，而且方阵的相似对角化有许多重要应用，因此研究方阵相似于对角矩阵的问题是一个重要问题研究方阵对角化的主要问题是：(1) 对于给定的方阵A,研究A是否相似于对角矩阵？(2) 若A可相似对角化，如何求可逆矩阵P及对角矩阵D,使得P-1AP二D？从定理4.2和定理4.3知道，当n阶方阵A没有重特征根时，A必可相似对角化；当A有重特征值时，A能否相似对角化，取决于A是否有n个线性无关的特征向量，即属于每个特阵值的线性无关特征向量个数是否等于该特征值的重数如果n阶方阵A相似于对角矩阵，则A的相似对角化的一般步骤如下。
第1步：求出A的全部特征值九,九，…,九；12n第2步：对A的相异特征值中的每个特征值九，求出齐次线性方程组(九E-A)x=0ii的一个基础解系，将所有这样的基础解系中的向量合在一起，按假定，这样的向量共有n个，它们就是A的n个线性无关的特征向量g,g，…,g；12n第3步：令矩阵P=[g,g,…,g]，则有12n「九0…0_10九…0P-1AP=2・・♦・・♦・・♦・・♦00…九n其中g是属于特征值九的特征向量(j二1,2,…,n)注意P的列向量的排列次序与对角矩jj阵的主对角线元素的排列次序相一致图是方阵相似对角化过程的框图实对称矩阵的正交相似对角化并非任何方阵都相似于对角矩阵，但实对称矩阵却是必定相似于对角矩阵的一类矩阵对于实对称矩阵，一般地，我们希望用正交矩阵使之对角化，即求正交矩阵P,使PTAP二PtAP成为对角矩阵为此，只需对n阶实对称矩阵A的每个特征值九，取其i次线性方程组（九E-A）x=0的正交化单位化的基础解系，即属于特征值九的正交化单位ii化的特征向量，将所有这样的特征向量放在一起，由实对称据阵的性质3，此向量组共有n个向量，而且它们是两两正交的事实上，若两个向量分别属于A的两个不同特征值，由实对称矩阵的性质2,它们是正交的；若两个向量属于A的同一特征值，由前面的取法，他们也是正交的。
因此’若这些特征向量为「霜'…,en，则它们是A的正交化单位化的特征向量，以它们为列向量做成矩阵00九n则由正交矩阵的充分必要条件知P为正交矩阵，且有1000P-1AP=其中矩阵P的第j列e是属于特征值九的特征向量(j二1,2,…,n).jj图是实对称矩阵的正交相似对角化过程的框图从图中可以看出，实对称矩阵的正交相似对角化过程一般有4个步骤：求特征值，求特征向量，正交化，单位化其中，只有在九为重特征值，且对应于九的线性无关向量组iiU不是正交向量组时，才应用施密特正交化方法将向量组U正交化实对称矩阵的正交相似对角化在下章的二次型化为标准型的问题中有重要应用。