《高等工程数学》习题二参考答案

1《高等工程数学》习题二参考答案（姚仰新，罗家洪，庄楚强，华南理工大学出版社）由于时间仓促，错误难免，请把意见发到 fzmath@.com，谢谢.1、1）因为，所61* 05.9040182.5947182..2  LLex以有效数字为 6 位，其误差为 ，相对误差为 5*1)(xe*12)(xer2）因为 ， ，所以03.4135*2x 7386 .3716-05.179620.788924 . LL所以有效数字为 7 位，其误差为 ，相对误差为 2)(xe 6*2103)(xer2、解：1） ， 5100356314][ 2225312bA回代可得 ， ， ，即方程组的解为 23x1x),4(2）  254975562 25601104 10.3245.351][bA回代可得 ， ， ，即方程组的解为 4.3x2x.1)4.1,2.(3) 分三个步骤：（i）求分解式 . 求 Doolittle 分解，即LUA，210102LUA(ii) 求解 ，用前推过程by2713501242y.463521y(iii) 求解 ，用回代过程Ux4635210x2143x回代可得 ， ， ， ，即方程组的解为 。

4x31 )2,1(3、解：1） ，设521A 32321uclLUA， 解 得 ， ，523105320 by13232)1(7y，29y所以 ， ， ，即1523x21302x 1321x .1,2,3xx2） ，设12A 4321432 ucullLUA， 解 得 ， ，375231052 bLy12312y， ，5723y14504y所以 ， ， ， ，即3714x2537x 1)(2532x 021x.,,042134、解：A=[16 4 8;4 5 -4;8 -4 22];b = [-4; 3; 10];n = length(b);L = cholfrac(A);y = zeros(n,1);y(1) = b(1)/L(1,1);for i = 2:ny(i) = (b(i)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1))/L(i,i);endx = zeros(n,1);x(n) = y(n)/L(n,n);for i = n-1:-1:1x(i) = (y(i) - L(i+1:n,i)'*x(i+1:n) )/L(i,i);endxx =-2.25004.00002.00005. 由第 133 页（6.33）式，范数取为无穷范数，用 MATLAB 可得5-1 10.687 )(cond bAbAx附：>> A=[1 0 -1;2 2 1; 0 2 2];>> b=[1/2 1/3 -2/3]';>> cond(A,'inf');>> cond(A,'inf')*1/2*1e-6/norm(b,'inf')ans = 1.6875e-0056. 解：(1) ，重写为 ，所以 Jacobi 迭代1325.0101x)21(35.0)21(312xxxx4格式 ， 即)21(35.0)21(()()( )(3)(1)(2 ()()(1kkk kkkxxxx .,210L， Jacobi 迭代矩阵 . 3120)()(32105)(32)1( kkkkxx .,Lk 03215JB所以 Gauss-Seidel 迭代格式 ， ， )21(35.0)2(1()()( )(3)()1(2 ()()( kkk kkkxxx.,20L整理得 ， ，  ,2547531)21(3 ,005.0),21( )(3)(()()( )()(2)()1()(2 (3)()(1 kkkkk kkk xxxx .,21L所以 Gauss-Seidel 迭代矩阵 ，254701GSB(2) 因为 ， ，所以 J 迭代和 GS 迭代都收敛。

15321JBS(3)clearclcA=[10 -2 -2; -2 10 -1; -1 -2 3];b=[1; 0.5; 1];D = diag(diag(A));L = -(tril(A)-D);U = -(triu(A)-D);B = inv(D)*(L+U);f = inv(D)*b;n = length(b);x0 = 0*ones(n,1);% 雅克比迭代法5for k = 1:3x1 = B*x0 + f;fprintf(' 雅克比迭代法经过 %d 迭代后的结果为\n',k)fprintf('[%f %f %f] \n',x1')x0 = x1;endrho1 = max(abs(eig(B)));fprintf('雅克比迭代法谱半径 %f \n',rho1)% 高斯- 赛德尔迭代法B = inv(D-L)*U;f = inv(D-L)*b;x0 = 0*ones(n,1);for k = 1:3x1 = B*x0 + f;fprintf('高斯-赛德尔迭代法经过 %d 迭代后的结果为\n',k)fprintf('[%f %f %f] \n',x1')x0 = x1;endrho2 = max(abs(eig(B)));fprintf('高斯- 赛德尔迭代法谱半径 %f \n',rho2)运行结果为：雅克比迭代法经过 1 迭代后的结果为[0.100000 0.050000 0.333333] 雅克比迭代法经过 2 迭代后的结果为[0.176667 0.103333 0.400000] 雅克比迭代法经过 3 迭代后的结果为[0.200667 0.125333 0.461111] 雅克比迭代法谱半径 0.491126 高斯-赛德尔迭代法经过 1 迭代后的结果为[0.100000 0.070000 0.413333] 高斯-赛德尔迭代法经过 2 迭代后的结果为[0.196667 0.130667 0.486000] 高斯-赛德尔迭代法经过 3 迭代后的结果为[0.223333 0.143267 0.503289] 高斯-赛德尔迭代法谱半径 0.2290997. 解：Jacobi 迭代矩阵为 ，其范数 ，所以由第 139 页定理0412JB15.0JB6.5 知，Jacobi 迭代收敛。

根据第 138 页定义 6.4 谱半径的定义，，故特征根为 ，其谱半径 ，由第8241JBE212,12)(J140 页收敛速度定义可得 ；ln3)(l)(JJBR6类似地有 Gauss-Seidel 迭代矩阵为 ，其范数 ，所以由8120GSB15.0GSB第 139 页定理 6.5 知，Gauss-Seidel 迭代收敛根据第 138 页定义 6.4 谱半径的定义，，故特征根为 ， ，其谱半径 ，)81(0812GSBE12 8)(GS由第 140 页收敛速度定义可得 ln3)(ln)(GSGSBR8. 证明：因为迭代公式可改写为 ,所以迭bEbkkkk  )()()()1( (xAAxx代矩阵为 ，其特征多项式为 ，ABEtttEn1)由于 的特征根为 ，所以 的特征根为021nLB.,2,iti L当 时， ，所以10 112221 nttt L1)(B，由第 138 页迭代法收敛基本定理 6.4，可知迭代公式收敛9. 解：因为构造插值节点 x100 121 144f)(10 11 12由第 145 页第一行拉格朗日插值可得，21001210)(101  xxxyxyxL所以 ，由第 147 页(7.10)和(7.11) 可得，743.251，xf4)('，所以31025.10' f。

131 025.))((!.)5(  R由第 146 页(4.9)拉格朗日插值可得72 10 21202210121021602716 444)(x xyxyx yxL ，所以 ，由第 147 页(7.10)和(7.11)可得， ，78.)5(1L xf283)('，所以6105.30' xf 21 10635.)145)(2)((!125.)(  R10.解： x10 1 24)(f1 0 0 16因为 ，所以由第 147 页(7.10)可得2!)(4xf，432)(3 )(1)! xxxR 所以 RfxL2()33311. 略12. 解：差商表为 xsin一阶差商 二阶差商1.5 0.997491.6 0.99957 0.02081.7 0.99166 －0.0791 －0.2915所以由第 149 页(7.12)可得，1.6).5(0.2915)0.28(.974)(2  xxxN所以 9471.0).)(6.(.)69.1(..0))61sin(2 85 !31709150)9(2 R813.解：由边界条件 ， ， ，得1'0y2'31210h， ，所以2121 8,3,,1dd，所以 ，所以18321012M1562815420  ],32(),(4583)(9)2(4583)(31 ,1,712],0[,49)(54)(5)( 33 xxxxxxS14.解：使用 ployfit 和 polyval 命令，%P219 ex14.x = [1.36 1.73 1.95 2.28];y = [14.094 16.844 18.475 20.963];plot(x,y,'o')axis([min(x)-0.2 max(x)+0.2 min(y)-1 max(y)+1])p = polyfit(x,y,1);xp = linspace(min(x)-0.2, max(x)+0.2,100);yp = polyval(p,xp);hold onplot(xp,yp)拟合结果：xy7.4623.91.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4141516171819202115. 解： ，所以 ，所以 ，即bxaylnxy369.05.lnxey369.01.82 ， ，.83a9.0%P219 ex15.9x = [0 1 2 4];y = [2.010 1.210 0.740 0.450];yl = log(y);plot(x,yl,'o')axis([min(x)-0.2 max(x)+0.2 min(yl)-1 max(yl)+1])p = polyfit(x,yl,1);xp = linspace(min(x)-0.2, max(x)+0.2,100);yp = polyval(p,xp);hold onplot(xp,yp)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5-1-0.500.511.5注意：也可用 lsqcurvefit 命令直接求，效果会更好一些。

16.解：%P219 ex16.x = [-1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0 0.25 0.50 0.75 1.00];y = [。