高等数学高等数学第四章(向量代数与)空间解析几何• 前言 • 向量代数(补充内容) • 第一节 平面与直线 • 第二节 简单的二次曲面高等数学高等数学二次曲面 （按构造分）柱面圆柱面 旋转曲面 椭圆柱面 抛物柱面双曲柱面球面椭球面抛物面圆锥面简单的二次曲面结构图本节内容：一、曲面与方程（包括柱面方程）二、空间曲线三、旋转曲面四、二次曲面高等数学高等数学一、曲面及其方程一般地,如果曲面S与三元方程存在如下关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0. (2)不在曲面S上的点不满足方程. 那么F(x,y,z)=0称为曲面S的方程,而曲面S称为方程的图形.1.曲面方程及其图形高等数学高等数学高等数学高等数学曲面方程高等数学高等数学曲面方程高等数学高等数学P119 例13 确定球面方程的球心与半径高等数学高等数学2.柱面定义 设给定一条直线L,则平行 于L且沿曲线C移动的直线L所形 成的曲面叫柱面.定曲线C 叫柱面的准线,动直 线L叫作柱面的母线.如果柱面的准线是xOy面上 的曲线C,其方程为f(x,y)=0,柱面 的母线平行于z轴,则方程 f(x,y)=0就是这柱面的方程.高等数学高等数学在此柱面上任取一点M(x,y,z),过点M作直线平行于z轴,此直线与xOy面相交于点M0(x,y,0), 点M0就是点M在xOy面上的投影,于是点M0必落在准线上,它在xOy面上的坐标(x,y)必满足f(x,y)=0，这个方程不含z的项，所以点M的坐标(x,y,z)也满足方程f(x,y)= 0.因此,在空间坐标系中,方程f(x,y)=0,所表示的图形就是平行于z轴的柱面。
同理可知,只含y,z而不含x的方程f(y,z)= 0和只含x,z而不含y 的方程f(x,z)= 0,分别表示平行于x轴和y轴的柱面.母线平行于坐标轴的柱面在空间直角坐标系oxyz下含两个变量的二次方程即为柱面 方程.其名称根据此二次方程在所含变量平面上的曲线形状而定缺哪个变量，母线就平行于哪 个坐标高等数学高等数学母线平行于坐标轴的柱面高等数学高等数学 二、空间曲线如果两个曲面的方程为F1(x,y,z)=0和F2(x,y,z)= 0,则它们的 交线C上的点同时在两个曲面上,其坐标必须同时满足这两个 方程.反之,满足这两个方程的点也一定在这两曲面的交线上.1.空间曲线的一般方程高等数学高等数学高等数学高等数学2.空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线的方程为作曲线C在xOy面上的投影时,要通过曲线C上的每一点作xOy面的垂线,这就相当于作一个母线平行于z轴且通过曲线C的柱面,这柱面与xOy面的交线就是曲线C在xOy面上的投影曲线,所以关键在求该柱面的方程.从原方程中消去z而得到F(x,y)=0.高等数学高等数学该方程表示一个母线平行于z轴的柱面,此柱面 必包含C曲线,所以它是一个以曲线C为准线,母线 平行于z轴的柱面,叫做曲线关于xOy面的投影柱面, 简称投影,曲线C在xOy面的投影曲线方程为 高等数学高等数学高等数学高等数学三、旋转曲面一平面曲线C绕着该平面内一定直线L旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.曲线C叫做旋转曲面的母线,直线L叫做旋转曲面的轴.设在yOz面上有一已知曲线C:F(x,y,z)=0,将这曲线绕z轴旋转一周,就可以得到一个以z为轴的旋转曲面,求其方程.如图高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学例5 求yOz面上的直线z=ky绕z轴旋 转一周所成的旋转曲面的方程.高等数学高等数学旋转曲面方程高等数学高等数学四、二次曲面在空间直角坐标系中,方程F(x,y,z)=0一般代表曲面,若 F(x,y,z)= 0为一次方程,则它代表一次曲面,即平面.若F(x,y,z)= 0 为二次方程,则它所表示的曲面称为二次曲面.可以利用坐标面或平行于坐标面的平面与曲线相截,通过 考察其交线的方法,去了解曲面的形状,然后加以综合,从而了 解整个曲面的形状.这叫做截痕法.高等数学高等数学1.椭球面高等数学高等数学1.椭球面高等数学高等数学2.双曲面(1)单叶双曲面高等数学高等数学高等数学高等数学(2)双叶双曲面高等数学高等数学3.抛物面高等数学高等数学(2)双曲抛物面高等数学高等数学课堂练习母线平行于Z轴（或者说以Z轴为轴）的圆柱面以yox平面的直线y=x绕Z轴旋转的旋转面-圆锥面以Z轴为旋转轴的旋转抛物面母线平行于x轴的抛物柱面以原点为中心的椭球面以点（1,-1,0）为球心，以1为半径的球面高等数学高等数学课堂练习A 两个平面 B 双曲柱面 C 椭圆柱面 D 圆柱面AA 球面 B 旋转抛物面 C 圆锥面 D 圆柱面CA 椭球面 B 柱面 C 圆锥面 D 抛物面DB做书本上的作业：07级学生做杨和稳教材P192自测题七08级学生方鸿珠教材P146自测题五 高等数学高等数学再见！课外作业：做练习本的作业：教材P120 同步练习二。