第1章 随机事件及其概率〔1〕排列组合公式从m个人中挑出n个人进展排列的可能数 从m个人中挑出n个人进展组合的可能数〔2〕加法和乘法原理加法原理〔两种方法均能完成此事〕：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，那么这件事可由m+n 种方法来完成乘法原理〔两个步骤分别不能完成这件事〕：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，那么这件事可由m×n 种方法来完成〔3〕一些常见排列重复排列和非重复排列〔有序〕对立事件〔至少有一个〕顺序问题〔4〕随机试验和随机事件如果一个试验在一样条件下可以重复进展，而每次试验的可能结果不止一个，但在进展一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，那么称这种试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件〔5〕根本领件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进展一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的局部事件组成的这样一组事件中的每一个事件称为根本领件，用来表示根本领件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的局部点〔根本领件〕组成的集合通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集为必然事件，Ø为不可能事件不可能事件〔Ø〕的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件〔Ω〕的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件〔6〕事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成局部也是事件B的组成局部，〔A发生必有事件B发生〕：如果同时有，，那么称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=BA、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B属于A而不属于B的局部所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件A、B同时发生：AB，或者ABAB=Ø，那么表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥根本领件是互不相容的A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为它表示A不发生的事件互斥未必对立②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：，〔7〕概率的公理化定义设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，假设满足以下三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件，，…有常称为可列〔完全〕可加性。
那么称P(A)为事件的概率〔8〕古典概型1°，2° 设任一事件，它是由组成的，那么有P(A)= =〔9〕几何概型假设随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个根本领件可以使用一个有界区域来描述，那么称此随机试验为几何概型对任一事件A，其中L为几何度量〔长度、面积、体积〕〔10〕加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)〔11〕减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P()=1- P(B)〔12〕条件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，那么称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)〔13〕乘法公式乘法公式：更一般地，对事件A1，A2，…An，假设P(A1A2…An-1)>0，那么有…………〔14〕独立性①两个事件的独立性设事件、满足，那么称事件、是相互独立的假设事件、相互独立，且，那么有假设事件、相互独立，那么可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立Ø与任何事件都互斥②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立对于n个事件类似〔15〕全概公式设事件满足1°两两互不相容，，2°，那么有〔16〕贝叶斯公式设事件，，…，及满足1°，，…，两两互不相容，>0，1，2，…，，2°，，那么，i=1，2，…n此公式即为贝叶斯公式〔，，…，〕，通常叫先验概率〔，，…，〕，通常称为后验概率贝叶斯公式反映了"因果〞的概率规律，并作出了"由果朔因〞的推断〔17〕伯努利概型我们作了次试验，且满足u 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；u 次试验是重复进展的，即发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验用表示每次试验发生的概率，那么发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，，第二章 随机变量及其分布〔1〕离散型随机变量的分布律设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,…，那么称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形式给出：显然分布律应满足以下条件：〔1〕，， 〔2〕〔2〕连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数，假设存在非负函数，对任意实数，有，那么称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度密度函数具有下面4个性质：1° 2° 〔3〕离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似〔4〕分布函数设为随机变量，是任意实数，那么函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数 可以得到X落入区间的概率分布函数表示随机变量落入区间〔–∞，x]的概率分布函数具有如下性质：1°；2°是单调不减的函数，即时，有 ；3°， ；4°，即是右连续的；5°对于离散型随机变量，；对于连续型随机变量， 〔5〕八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为事件发生的次数是随机变量，设为，那么可能取值为 其中，那么称随机变量服从参数为，的二项分布当时，，，这就是〔0-1〕分布，所以〔0-1〕分布是二项分布的特例泊松分布设随机变量的分布律为，，，那么称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。
泊松分布为二项分布的极限分布〔np=λ，n→∞〕超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)几何分布，其中p≥0，q=1-p随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)均匀分布设随机变量的值只落在[a，b]，其密度函数在[a，b]上为常数，即 a≤x≤b 其他，那么称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)分布函数为 a≤x≤b 0， xb 当a≤x1
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝如果~，那么~ 〔6〕分位数下分位表：；上分位表：〔7〕函数分布离散型的分布列为 ，的分布列〔互不相等〕如下：，假设有某些相等，那么应将对应的相加作为的概率连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)第三章 二维随机变量及其分布〔1〕联合分布离散型如果二维随机向量〔X，Y〕的所有可能取值为至多可列个有序对〔x,y〕，那么称为离散型随机量设=〔X，Y〕的所有可能取值为，且事件{=}的概率为pij,,称为=〔X，Y〕的分布律或称为X和Y的联合分布律联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…xipi1……这里pij具有下面两个性质：〔1〕pij≥0〔i,j=1,2,…〕；〔2〕连续型对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：（1） f(x,y)≥0;〔2〕 〔2〕二维随机变量的本质〔3〕联合分布函数设〔X，Y〕为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量〔X，Y〕的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函数分布函数F(x,y)具有以下的根本性质：〔1〕〔2〕F〔x,y〕分别对x和y是非减的，即当x2>x1时，有F〔x2,y〕≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);〔3〕F〔x,y〕分别对x和y是右连续的，即〔4〕〔5〕对于.〔4〕离散型与连续型的关系〔5〕边缘分布离散型X的边缘分布为；Y的边缘分布为连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为〔6〕条件分布离散型在X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在Y=yj的条件下，X取值的条件分布为连续型在Y=y的条件下，X的条件分布密度为；在X=x的条件下，Y的条件分布密度为〔7〕独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：①可别离变量②正概率密度区间为矩形二维正态分布＝0随机变量的函数假设X1,X2,…Xm,。