18 简单的不定方程、方程组阅读与思考如果方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这 样的方程（组）称为不定方程（组）.对于不定方程（组），我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解•加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解.这类问题有以下两种基本类型：1 .判定不定方程（组）有无整数解或解的个数；2 .如果不定方程（组）有整数解，求出其全部整数解.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程 （组）常常转化为二元一次不定方程求其整数解.解不定方程（组），没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整 数、配方等知识与方法.根据方程 （组）的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程 （组）的基本思路.例题与求解2 2 2 2【例1】满足1998 +m =1997 +n （0 < m v n v 1 998）的整数对（m , n）共有 对.（全国初中数学联赛试题） 解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答.【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用 500元买了 30张电影票，其中票价为 20 元的比票价为10元的多（）A . 20 张 B . 15 张 C . 10 张 D . 5 张（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为 x , y , z张.根据题意列方程组，整 体求出的z — x值.【例3】某人家中的号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 14 405 ,将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得 16 970 ,求此人家中的号码.（湖北省武汉市竞赛试题）解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手.【例4】一个盒子里装有不多于 200粒棋子，如果每次 2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都 剩一粒棋子；如果每次 11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子 ？（重庆市竞赛试题）解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。
恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解.【例5】 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有 30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是 365个.问：三个小组共有多少名同学 ？（ 海峡两岸友谊赛试题）解题思路：根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手.【例6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐 22人，就会余下1人；如果开走一辆空车，那么所有师 生刚好平均分乘余下的汽车.问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人 ?（已知每辆车的容量不多于 32人）解题思路：设原先租客车X辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐 k人，根据题意列出方程求解，注意排除不符合题设条件的解.能力训练51 •若 a2 +4b2 -a +4b +— =0，贝U ab =42.已知 4x —3y —6z = 0 ,x 2y -7z = 0 (xyzz 0)，则2x2 3y2 6z2x2 5y2 7z2的值等于3. 1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是 岁.（“希望杯”邀请赛试题）4•已知a , b , c为整数，且a+b = 2006, c—a = 2005•若a v b，贝U a + b + c的最大值为 .（全国初中数学竞赛试题）5. x , y都是质数，则方程 x y =1999共有（）A. 1组解 B . 2组解 C . 3组解 D . 4组解6. 如图，在高速公路上从 3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从 10千米处开始•每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（）A . 32千米B . 37千米 C . 55千米 D .7. 给出下列判断：T 13 C[T 1JT（北京市竞赛试题）3 7 1011 15 19 23 2790千米（x - - 3t①不定方程2x 3^0的整数解可表示为 一 （t为整数）.ly = 2t②不定方程2x 4^5无整数解.③不定方程2x 3y =1无整数解.其中正确的判断是（）.A .①② B .②③ C .①③ D .①②③&小英在邮局买了 10元的邮票，其中面值 0.10元的邮票不少于 2枚，面值0.20元的邮票不少于5枚，面值0.50元的邮票不少于3枚，面值2元的邮票不少于1枚，则小英最少买了 （） 枚邮A . 17 B . 18 C . 19 D. 20（“五羊杯”邀请赛试题）9.小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装 12颗，每个小盒子装 5颗，若弹子共有99颗，所用大小盒子多于10个，问这两种盒子各有多少个 ？10 .中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡.问鸡翁、 鸡母、鸡雏各几何？（出自中国数学家张丘建的著作《算经》 ）11. 已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积.（“希望杯”邀请赛试题）「5x _4v = 712•已知k是满足1910YkY2010的整数，并且使二元一次方程组 『 有整数解•问：4x + 5y = k这样的整数k有多少个？（“华罗庚金杯”竞赛试题）B级Q Q Q 21•如果 a , b , c 满足 a +2b +2c —2ab —2bc —6c+ 9 = 0 ,那么（a + bc） = •（“祖冲之杯”邀请试题）2•已知 x , y 为正偶数，且 x2y+xy2=96，贝V x2+y2 = .3•—个四位数与它的四个数字之和等于 1 991 •这个四位数是 •（重庆市竞赛试题）4 •城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌，组委会把这些奖牌分别装在五个盒中，每个盒中只装一种奖牌•每个盒中装奖牌枚数依次是 3, 6, 9, 14, 18 •现在知道其中银牌只有一盒，而且铜牌枚数是金牌枚数的 2倍.则有金牌 枚，银牌 枚，铜牌 枚.5 •若正整数x , y满足x2 -72二y2，则这样的正整数对（x , y ）的个数是（ ）•A. 1个 B • 2个 C • 3个 D • 4个6•有甲、乙、丙3种商品，单价均为整数，某人若购甲 3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙I件共需33元，则此人购甲、乙、丙各 1件共需（） 元.A. 6 元 B . 8 元 C . 9 元 D . 10 元‘X + y + z = 07.在方程组」 ' 中，x , y ,z是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为 （）.lx3+y3 +z3 = —36A . 6 B . 3 C .多于6 D .少于3（“希望杯”邀请赛试题）6 一个两位数中间插入一个一位数 （包括0），就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的 9倍，这样的两位数有（） 个.A . 1 B . 4 C . 10 D .超过 109•李林在银行兑换了一张面额为 100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了（例如，把12 • 34元看成了 34. 12元），并按着错的数字支付，李林将其款花去 3 • 50元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问：李林应退回的款额是多少元？（“五羊杯”邀请赛试题）10•某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时。
他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里程碑上的数各是多少 ？（“勤奋杯”竞赛试题）11 •已知四位数abed满足a3 b3 c3 d3 10c d，求这样的四位数.（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题 ）111512. 求方程 的正整数解.x y z 6（“希望杯”邀请赛试题）#专题18 简单的不定方程、方程组例 1 3 提示：(n-n)( n+n)=3995=1 x 5X 17X 47, (n -m)与(n+n)奇偶性相同，对 3995 的任一正整数分解均可得到一个 (m n).例2 C 设购买10元，15元，20元的电影票分别为 x, y, z张.则X y ^30① ，②10x+15y +20z =500②-① x 15 得 5( z - x)=50，解得 z- x=10.例3设此8位数为abcdefgh，将abc记为x, d记为y, efgh记为乙x , y, z均为自然数.即号y 二1 x 二 826 ,码是 100 000 x+10 000 y +z，且 100< x< 999, 0< y< 9, 1000< z< 9999,410x y z =14405则 ，得 1111 y - x=285，由 100W x< 999, y>0,得二 6144x 10000y z =16970故号码是 82616144.例4提示：设盒子里共有 x(x<200)粒棋子，则12a-仁11 b=x(a、b为正整数)，解得 a=10, b=11, x=121.例5设甲组学生a人，乙组学生 b人，丙组学生 c人，由题意得 28a+30b+31c=365.365因 28 (a+b+c)v 28a+30b+31c=365.得 a+b+cv v 13.04，所以 a+b+c< 13.28因 31 (a+b+c)> 28a+30b+31c=365.得 a+b+c> 365 > 11.7，所以 a+b+c> 1231因此 a+b+c=12 或 13.当a+b+c=13时，得2b+3c=1，此方程无正整数解；当 a+b+c=12时，符合题意.例6设原先租客车x辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐 k人，显然x>2, 23W kw32.依题意有：22x+仁k(x-1).则k二22^ =22x _22 23 空.因为k为自然数，所以 二3必是自然数，但X —1 x -1 X —1 X —123是质数，因数只有1和23,且x>2, a x-1=1或x-仁23.如果x-1=1 ,则x=2, k=45,不符合k< 32的题设条件.如果X-仁23，贝U x=24, k=23,符合题意.这时旅客人数等于 k(x- 1)=23 x 23=529人.A级11. . 2.14 x =83. 18 提示：设某人出生于 19xy，则1998 19xy =10 x y，即11x+2y=88，解得|_y =04. 5013 提示：由题中条件得 a+b+c=a+4011，又因为 a+b=2006, a< b.故 2a< 2006, a< 1003.又因为a为正整数，故a的最大值为1002，于是a+b+c的最大值为5013.5. B6. C 设置限速标志、照相标志的千米数分别表示为3+4x，10+9y（ x、y为自然数），将问题转换为求不定方程3+4x=10+9y的正整数解，则x —13,4 | (y+3), 13为所求的解.ly=57. A 8.A 9.大小。