导数与微积分重要概念及公式总结1•平均变化率：学=f(B)—f(%)称为函数fx)从X］到X2的平均变化率Axx，x12212. 导数的概念从函数y=fx)在x=x0处的瞬时变化率是：f(x„Ax)-f(x)Aylim0o=linAxtOAxAxtOAx我们称它为函数y=f(x)在x€x出的导数，记作f'(x)或y'l,即OOx€xOf(x)=limf(xo也)二f(xo)0AxtoAx3. 导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x,f(x))处的切线的斜率，(其中OOO(x,f(x))为切点)，即f'(x)=lim_=k000Axt0Ax切线方程为：y—fCx)=广(x)(r—x)0004. 常用函数的导数：1) y€c则y'€02) y€x，则y'€13) y€x2，则y'€2x(4) y=—，贝卩y'=_丄xx2(5) y=f(x)=xn(ngQ*)，则y'=nxn，—6)y€sinx，贝y'€cosx(7)y=cosx，贝Uy'=一sinx(8)y=f(x)=ax，则y'=ax-lna(a>0)(9) y=f(x)=ex，则y'=ex(10) f(x)=logx，则f'(x)=1—(a>0,a<1)axlna(11)f(x)€Inx,则f'(x)=丄x5. 导数的运算法则：(1) .[f(x)土g(x)]=f'(x)土g'(x)(2) .[f(x)„g(x)]=f'(x)g(x)土f(x)g'(x)3)．f(x)g(x)f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)J2(g(x)丰0)(4).\cf(x)】=cff(x)6•复合函数的导数：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)的导数间的关系为fffyx=„ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积•xux若y=f(g(x)),则yf=…f(g(x))]'=ff(g(x))•gf(x)7.函数的单调性与导数的关系在某个区间(a,b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)‘0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减8•求解函数y=f(x)单调区间的步骤:(1)确定函数y=f(x)的定义域；2)求导数y'=f'(x)；(3) 解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间;(4) 解不等式f'(x)‘0，解集在定义域内的部分为减区间.9.求函数y=f(x)的极值的方法：解方程ff(x)=0，当f心)=00(1) 如果在x附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)‘0，那么f(x)是极大值00(2) 如果在x附近的左侧f'(x)‘0，右侧f'(x)>0，那么f(x)是极小值10.利用导数求函数的最值步骤:⑴求f(x)在(a,b)内的极值;⑵将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值11.定积分的一般研究方法:,，f(xd=limXb—af(€)anT„n1i=1采用“分割、近似代替、求和、取极值”求曲边梯形的面积12.定积分的几何意义定积分,bf(x)dx是直线x=a,x=b(a丰b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边a梯形的面积13.定积分的性质：,bkf(x)dx=k,bf(x)dxaa,b[f(x)土f(x)]dx=,bfa12a1,bf(x)dx=,cf(x)dx+,baac1)2)3)14函数的奇偶性与定积分的关系(f0)上的连续函数)(1) 当f
2(2)假设当n=k(kgN…)时等式成立，即1，2,3,•••+k=1k(k,1)那么，1,2,3,...,k,(k,1)=1k(k,1),(k,1)=!(k,1)[(k,1),1]22即当n=k+1时等式也成立根据(1)和(2),可知等式对任何ngn…都成立例2：求f(x)=3x3-4x+4的单调区间、极值及在(0,3〕上的最大值和最小值解：因为函数f(r)=3x3-4x,4，所以/心)=工2-4=€x-2)(x+2)令fr(x)=0，解得x=2,或x=—2(1) 当fr(x)>0时，即当x>2或x<-2时，函数为单调递增函数(2) 当f'(x)<0时，即当-2