线性代数 初等变换

四、初等变换与初等矩阵四、初等变换与初等矩阵定义定义 7 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：以下三种变换称为矩阵的初等行变换：⑴⑴交换矩阵中两行的位置（交换第交换矩阵中两行的位置（交换第两行，记为两行，记为）） ；；ji,jirr ⑵⑵用一个非零数去乘矩阵某一行中的每一个元素（用用一个非零数去乘矩阵某一行中的每一个元素（用乘第乘第 行，记为行，记为0ki）） ；；ikr⑶⑶把某一行中所有元素的相同倍数加到另一行对应的元素上去（把第把某一行中所有元素的相同倍数加到另一行对应的元素上去（把第 行的行的i倍加到第倍加到第行，记为行，记为）） kjijkrr 一般来说，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵当矩阵一般来说，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵当矩阵 经过初等行变换变成矩阵经过初等行变换变成矩阵时，就写成时，就写成为了明确是经过了哪些变换为了明确是经过了哪些变换ABBA  使使变成了变成了的，还可以把所作变换的记号依次标注在符号的，还可以把所作变换的记号依次标注在符号““””的上、下方的上、下方AB 比如比如  312104101201312120122402112212rrr表示先用表示先用乘左边矩阵的第一行，再把所得第一行的乘左边矩阵的第一行，再把所得第一行的倍加到第二行，从而倍加到第二行，从而212得到了右边的矩阵。

得到了右边的矩阵 如果元素不全为零的行（称为非零行）全都处在矩阵的上部，并且各非零如果元素不全为零的行（称为非零行）全都处在矩阵的上部，并且各非零 行第一个（左起，下同）非零元素所在的列从上到下逐行右移，这样的非零矩行第一个（左起，下同）非零元素所在的列从上到下逐行右移，这样的非零矩 阵称为阶梯型矩阵（指每一行形成一级阵称为阶梯型矩阵（指每一行形成一级““阶梯阶梯”” ）） 如，，及及 300120101210001120021121000010001210都是阶梯型矩阵都是阶梯型矩阵 各非零行第一个非零元素所在的列，除了该行上的元素是各非零行第一个非零元素所在的列，除了该行上的元素是 1，其余的元素都，其余的元素都 是零的阶梯型矩阵，称为行最简矩阵如是零的阶梯型矩阵，称为行最简矩阵如，，和和 10001000121000230100230021000010000210都是行最简矩阵都是行最简矩阵 定理定理 1 用初等行变换不仅可将任何非零矩阵化成阶梯型矩阵，还可进一步用初等行变换不仅可将任何非零矩阵化成阶梯型矩阵，还可进一步 化成行最简矩阵。

化成行最简矩阵 证证 考察矩阵考察矩阵，，mnmmnnaaaaaaaaaALMMMLL212222111211只要其第一列的元素只要其第一列的元素中有一个不为零，通过交换两行的位置，就中有一个不为零，通过交换两行的位置，就12111,,,maaaL能使第一列的第一个元素不为零，然后从第二行开始，每一行都加上第一行的能使第一列的第一个元素不为零，然后从第二行开始，每一行都加上第一行的 一个适当倍数，使第一列除去第一个元素外全是零这就是说，经过一系列初一个适当倍数，使第一列除去第一个元素外全是零这就是说，经过一系列初 等行变换后等行变换后；；11121100 AaaaAnML如果如果中第一列的元素全为零，那么中第一列的元素全为零，那么已形如已形如AA1112000AaanML对于子矩阵对于子矩阵，再重复以上的做法，如此做下去直到变成阶梯形为止再重复以上的做法，如此做下去直到变成阶梯形为止1A对于阶梯形矩阵的每一个非零行，用适当的非零数乘之，可使该行的第一对于阶梯形矩阵的每一个非零行，用适当的非零数乘之，可使该行的第一 个非零元素变成个非零元素变成 ；注意到这个非零元素的正下方已全为零，只要把这一行的适；注意到这个非零元素的正下方已全为零，只要把这一行的适1 当倍数加到它上面的各行，就可以使该元素的正上方也全为零。

这样，就将当倍数加到它上面的各行，就可以使该元素的正上方也全为零这样，就将 进一步化成了行最简矩阵进一步化成了行最简矩阵A 例如，设例如，设01182012412014121100A41300211002110020141011820124121100201411314212rrrrrr A20000420002110020141220004200021100201413423243rrrrrr这样就把这样就把变成了一个阶梯形矩阵进一步，变成了一个阶梯形矩阵进一步，A100002100021100201412000042000211002014122324rrr，，10000010000010000041100002100000100200414143322122rrrrrrrr就把就把化成了行最简矩阵。

化成了行最简矩阵A 将定义将定义 7 中的中的““行行””改为改为““列列”” ，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号 将将““ ””换成换成““ ”” ）） 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换rc 由由经某种初等变换变成的矩阵经某种初等变换变成的矩阵，可再用同一种初等变换变回到矩阵，可再用同一种初等变换变回到矩阵ABA 事实上，若是交换事实上，若是交换的第的第 行和第行和第行而得到行而得到，那么交换，那么交换的第的第 行和第行和第行行AijBBij 就又得到就又得到；若是把；若是把的第的第 行乘以一个不等于零的数行乘以一个不等于零的数而得到而得到，那么把，那么把的的AAikBB第第 行乘以行乘以就又得到就又得到；若是把；若是把的第的第行乘以数行乘以数加到第加到第 行而得到行而得到，那，那ik1AAjkiB么把么把的第的第行乘以数行乘以数加到第加到第 行就又得到行就又得到列变换的情形显然完全一样列变换的情形显然完全一样BjkiA定义定义 8 如果矩阵如果矩阵可以由矩阵可以由矩阵经过一系列初等变换得到，则称经过一系列初等变换得到，则称与与BAA 等价。

等价B 等价是矩阵间的一种关系不难证明，它具有等价是矩阵间的一种关系不难证明，它具有 反身性：反身性：与与自身等价；自身等价；AA 对称性：如果对称性：如果与与等价，则等价，则与与也等价；也等价；ABBA 传递性：如果传递性：如果与与等价，等价，与与等价，则等价，则与与等价ABBCAC 定理定理 2 任何一个任何一个矩阵矩阵都与一形如都与一形如nmA   rnrmrrmrnrrE,,, 000的矩阵等价，它称为矩阵的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，其中的标准形，其中 可以是零可以是零Ar 证证 如果如果，那么它已经是标准形了，这时，那么它已经是标准形了，这时假如，先根据，先根据0A0r0A 定理定理 1，可用初等行变换将，可用初等行变换将化成行最简矩阵，再用化成行最简矩阵，再用““交换两列交换两列””和和““把一列把一列A 的倍数加到另一列的倍数加到另一列””这两种变换即可将这两种变换即可将化成标准形，这时化成标准形，这时A0r 定义定义 9 由单位矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵E 显然，初等矩阵都是方阵，每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵。

显然，初等矩阵都是方阵，每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 交换矩阵交换矩阵的第的第两行的位置，得两行的位置，得Eji,行第行第jijiP10111101,OLMOMLO用非零常数用非零常数乘的乘的的第的第 行，有行，有kEi 行第ikkiP1111OO把矩阵把矩阵的第的第 行的行的倍加到第倍加到第 行，有行，有Ejki 行第行第列第列第jik kjiPji1111,OMOLO这些矩阵中没有写出的元素在主对角线上的都是这些矩阵中没有写出的元素在主对角线上的都是 1，在其他位置的都是零在其他位置的都是零同样可以得到与列变换相应的初等矩阵并且，对单位矩阵做一次初等列同样可以得到与列变换相应的初等矩阵并且，对单位矩阵做一次初等列 变换所得到的矩阵也包括在上面所列的这三类矩阵之中比如，把变换所得到的矩阵也包括在上面所列的这三类矩阵之中比如，把的第的第 列的列的Ei倍加到第倍加到第列，仍然得到列，仍然得到因此，这三类矩阵就是全部的初等矩阵。

因此，这三类矩阵就是全部的初等矩阵kj kjiP ,定理定理 3 对一个对一个矩阵矩阵作一次初等行变换就相当于在作一次初等行变换就相当于在的左边乘上相的左边乘上相nmAA 应的应的初等矩阵；对初等矩阵；对作一次初等列变换就相当于在作一次初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的右边乘上相应的mmAA 初等矩阵初等矩阵nn证证 我们只看列变换的情形，行变换的情形可同样证明令我们只看列变换的情形，行变换的情形可同样证明令是任意是任意 ijbB 一个一个矩阵，将矩阵，将按列分块成按列分块成，由矩阵的分块乘法，，由矩阵的分块乘法，nnAnAAAA,,,21L，，   nsssnnsssnsssAbAbAbAB112 11,,,L特别，令特别，令，得，得jiPB,，，nijAAAAjiAP,,,,,,,1LLL列列 列列ij这相当于把这相当于把的的 列与列与列互换令列互换令，得，得Aij kiPB ，，  niAkAAkiAP,,,,1LL列列i这相当于用这相当于用乘乘的的 列令，得，得kAi kjiPB,，， njjiAAkAAAkjiAP,,,,,,,1LLL列列 列列ij 这相当于把这相当于把的的列的列的倍加到倍加到 列。

列Ajki 例例 单项选择题单项选择题 1. 设设,101010001,100001010,,21133312321131131211232221333231232221131211      PPaaaaaaaaaaaaBaaaaaaaaaA则必有（则必有（ ））.  ABPAP21 BBPAP12 CBAPP21 DBAPP12 2. 设设是三阶方阵，将是三阶方阵，将的第的第 1 列与第列与第 2 列交换得列交换得，再把，再把第第 2 列加到列加到AABB 第第 3 列得列得，则满足，则满足的矩阵的矩阵为（为（ ））. CCAQ Q A 101001010 B 100101010 C 110001010 D 100001110例例 证明：对任意的证明：对任意的阶方阵阶。