空间中直线与直线之间的位置关系［学习目标］1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.歹知识梳理自主学习知识点一空间中两条直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.异面直线既不相交,要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件也不平行..如图中，虽然 a Ab= O,所②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线有aa,b3,即a,b分别在两个不同的平面内，但是因为以a与b不是异面直线.(2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线① ② ③(3)判断方法方法内容定义法依据定义判断两直线不口」能在同一半囿内定理法过平囿外一点与平囿内一点的直线和平囿内不经过该点的直线为异向直线(此结论可作为定理使用)反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线2.空间中两条直线位置关系的分类(1)按两条直线是否共面分类相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)按两条直线是否有公共点分类有且仅有一个公共点——相交直线无公共点平行直线异面直线思考(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗(2)两条垂直的直线必相交吗答(1)不一定.可能相交、平行或异面.(2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直知识点二公理4(平行公理)文字语后平行于向二条直线的两条直线互相平行,这一性质叫做空间平行线的传递性何々语日a//ca//bb//c图形语言知识点三空间等角定理1.定理文字语后空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.何々语日0A//0A；OB//OBZA0B=/AOB或/A0B+/AOB'=180°图形语言*Br0^-4Q乙A作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗答不一定.这两条直线可能相交、平行或异面知识点四异面直线所成的角1 .概念：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a7/a,b'//b,我们把a与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.2 .异面直线所成的角0的取值范围：0Vg90°3 .如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直一.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a，b.4 .异面直线所成的角的两种求法⑴在空间任取一点O,过点O分别作a7/a,b7/b,则a与b所成的锐角（或直角）为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.（2）在其中一条直线上任取一点（如在b上任取一点）0,过点。
作另一条直线的平行线（如过点作a7/a）,则两条直线相交所成的锐角（或直角）为异面直线所成的角（如b与a所成白^角）,然后通过解三角形等方法求角（如图）.题型探究重点突破题型一空间两条直线的位置关系的判定例1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（）A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面答案D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABOABCD中，AD所在直线为a,AB所在直线为b,已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-AB'C'D中白B'C',CC,DD'故a和c可以平行、相交或异面.跟踪训练1如图所示，在正方体ABOAiBiCiDi中，判断下列直线的八/位置夫系：⑴直线AiB与直线DiC的位置关系是;（2）直线AiB与直线BiC的位置关系是;（3）直线DiD与直线DiC的位置关系是（4）直线AB与直线BiC的位置关系是答案（i）平行（2）异面（2）相交（4）异面解析序号结论理由⑴平行因为AiDi糠BC,所以四边形AiBCDi为平行四边形，所以AiB//DiC(2)异面AiB与BiC不同在任何一个平囿内⑶相交DiDADiC=Di(4)异面AB与BiC不同在任何一个平囿内题型二公理4、等角定理的应用例2E,F分别是长方体ABCD—AiBiCiDi的棱AiA,GC的中点，求证：四边形BiEDF是平行四边形.证明设Q是DDi的中点，连接EQ,QCi.因为E是AAi的中点，所以EQ//A1D1.又因为在矩形AiBiCiDi中，A1D1//B1C1,所以EQ//B1cl.所以四边形EQGBi为平行四边形.所以BE〃GQ.又因为Q,F分别是矩形DDGC两边DiD,CiC的中点,所以QD//CiF.所以四边形DQGF为平行四边形.所以CiQ//FD.又因为BiE//CiQ,所以BiE//FD.所以四边形BiEDF为平行四边形跟踪训练2如图，已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.⑴求证：E,F,G,H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC±BD.证明(1)在4ABD中,.E,H分别是AB,AD的中点,••.EH//BD.同理FG//BD,贝UEH//FG故E,F,G,H四点共面.(2)由(1)知EH//BD,同理AC//GH.又「四边形EFGH是矩形，・••EHLGH.故AC±BD.题型三异面直线所成的角例3如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=CD,AB±CD,E,F分别为BC,AD的中点，求EF和AB所成的角.解如图，取BD的中点G,连接EG,FG因为E,F分别为BC,AD的中点,AB=CD,所以EG//CD,GF//AB,11且EG=2CD,GF=2AB.所以/GFE就是EF与AB所成的角或其补角，EG=GF.因为AB，CD,所以EG，GF.所以/EG已90°.所以4EFG为等腰直角三角形.所以/GFE=45°,即EF与AB所成的角为45°.跟踪训练3空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点，求EF与AB所成角的大小.解取AC的中点G,连接EG,FG则eg〃/b,gf//1cd.卬/一/故直线GE,EF所成的锐角即为AB与EF所成的角，C直线GE,GF所成的锐角即为AB与CD所成的角..「AB与CD所成的角为30°,，/EGF=30或150：由AB=CD,知EG=FG,「.△EFG为等腰三角形.当/EGF=30°时，/GEF=75°;当/EGF=150°时，/GEF=15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.数学思想转化与化归思想例5在空间四边形ABCD中，AD=BC=2a,E,F分别是AB,CD的中点，EF=4a,求异面直线AD,BC所成的角.分析要求异面直线AD,BC所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD,BC平移至一个三角形中.此题已知E,F分别为AB,CD的中点，故可寻找一边中点，如BD的中点M,则/EMF（或其补角）为所求角.解如图，取BD的中点M.由题意，知EM为ABAD的中位线，启一1所以EM//AD且EM=2AD.1同理，MF//BC且MF=2BC所以EM=a,MF=a,且/EMF（或其补角）为所求角在等腰4MEF中，取EF的中点N,连接MN,则MNXEF又因为EF='3a,所以EN=-23a.故有sin/EMN=EM^=乎■.所以/EMN=60°,所以/EMF=2/EMN=120°.因为/EMF=120°>90°,所以AD,BC所成的角为/EMF的补角,即AD和BC所成的角为60°.解题技巧反证法的合理应用例6如图，三棱锥P—ABC中，E是PC上异于点P的点.求证：AE与PB是异面直线分析利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面内中的任何”开始入手，一个平面一个平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，反证法即是一种行之有效的方法.证明假设AE与PB不是异面直线，设AE与PB都在平面“内，因为PCa,ECa,所以PEa.又因为cepe,所以cea.所以点P,A,B,C都在平面a内.这与P,A,B,C不共面（P—ABC是三棱锥）矛盾.于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线.当堂检测自杳自纠1 .若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（）A.共面B.平行C异面D.平行或异面2 .一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A.平行或异面 B.相交或异面 C异面D.相交3 .设P是直线l外一定点，过点 P且与l成30°角的异面直线（ ）A.有无数条B.有两条 C.至多有两条 D.有一条4 .如图所示，G, H, M, N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH, MN是异面直线的图形有.（填序号）则异面直线AE与AiBi所成角的余弦值为5.在正方体ABCD-AiBiGDi中，E为CiDi的中点,F课时精练一、选择题i.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面2 .已知空间两个角”，&a与3的两边对应平行，且a=60°,则3等于（）或i203 .在正方体ABCD-AiBiCiDi中，异面直线BAi与C。
所成的角为（）4 .下面四种说法：① 若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；② 若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a//b,则a、b与c所成的角相等；④若a，b,b±c,则a//c.其中正确的个数是（）5 .空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（）A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形6 .若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是8,12,则过AB的中点E且平行于BD,AC的截面四边形的周长为（）AiBiCi是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述7 .如图，三棱柱ABCABiCi中，底面三角形正确的是（）与BiE是异面直线与AE共面与BiCi是异面直线与BiG所成的角为60°二、填空题8 .在四^锥P—ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有对.9 .一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB,EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线；④MN//CD.以上结论中正确的序号为10 .如图所示，在正方体ABCD—AiBiCiDi中，异面直线AiB与ADi所成的角为三、解答题11 .如图所示，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,BC=亚，DA，AC,DA±AB,若DA=。