第2课时 极坐标和直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化公式以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：图图示直角坐标标(x,y)极坐标标(ρ,θ)ρsin θρcos θx2+y21.如何由点的直角坐标确定点的极角？提示：由公式 以及θ的终边经过点(x,y),先求出θ∈［0，2π)，再将点的极坐标表示为(ρ，θ+2kπ),k∈Z.2.将直角坐标系中点A(-1，-1)化为极坐标为_________.【解析】设将直角坐标系中点A(-1，-1)化为极坐标为(ρ,θ),则ρ2=x2+y2=(-1)2+(-1)2=2，所以又 且θ角终边过点(-1，-1)，所以 所以化为极坐标为答案：3.将极坐标 化为直角坐标为_______.【解析】设将极坐标 化为直角坐标为(x,y)，则即坐标为(0,-2).答案：(0,-2)1.极坐标和直角坐标的互化与三角函数的关系三角函数是点的直角坐标与极坐标的联系纽带,根据三角函数定义，角θ的顶点在原点O(极点)，始边为横轴的正半轴，M(x,y)为角θ终边上的一点， 则 所以y=ρsin θ,x=ρcos θ.2.掌握特殊角的三角函数值θsin θ1cos θ0tan θ1不存在类型 一 点的极坐标化为直角坐标 【典型例题】1.极坐标(2 014,π)表示的点的直角坐标为_______.2.将下列点的极坐标化为直角坐标：【解题探究】1.点的极坐标化为直角坐标惟一吗？2.点的极坐标化为直角坐标的公式是什么？探究提示：1.极坐标化为直角坐标是惟一的.2.x=ρcos θ,y=ρsin θ.【解析】1.x=2 014·cos π=2 014×(-1)=-2 014,y=2 014·sin π=0,所以极坐标(2 014,π)表示的点的直角坐标为(－2 014,0).答案：(－2 014,0)2. (1)因为x=ρcos θ=2cos 0=2,y=ρsin θ=2sin 0=0,所以点的极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0).(2)因为所以点的极坐标 化为直角坐标为(3)因为所以点的极坐标 化为直角坐标为(0,－3).(4)因为所以点的极坐标 化为直角坐标为(0, 4).(5)因为x=ρcos θ=5cos 6,y=ρsin θ=5sin 6,所以点的极坐标(5,6)化为直角坐标为(5cos 6,5sin 6).(6)因为所以所以点的极坐标 化为直角坐标为【拓展提升】由点的极坐标化为直角坐标的关注点(1)将点的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的公式为(2)掌握特殊角的三角函数值，还需要掌握一些常用的三角变换公式，如题2(6)运用了半角公式【变式训练】将下列点的极坐标化为直角坐标：(1)(1,2π).(2) (3) (4)(5)(5,－5).(6)【解析】(1)因为x=ρcos θ=cos 2π=1,y=ρsin θ=sin 2π=0,所以点的极坐标(1, 2π)化为直角坐标为(1,0).(2)因为所以点的极坐标 化为直角坐标为(3)因为所以点的极坐标 化为直角坐标为(0,5).(4)因为所以点的极坐标 化为直角坐标为(0,－4).(5)因为x=ρcos θ=5cos(－5)=5cos 5,y=ρsin θ=5sin(－5)=－5sin 5,所以点的极坐标(5,－5)化为直角坐标为(5cos 5,－5sin 5).(6)因为所以所以点的极坐标 化为直角坐标为类型 二 点的直角坐标化为极坐标 【典型例题】1.若ρ≥0,θ∈R,则将点的直角坐标M(1,1)化为极坐标为______________.2.将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ≥0,θ∈［0,2π))：(1)(1,－1).(2)(0,－2).(3) (4)(3,4).【解题探究】1.点的直角坐标化为极坐标惟一吗？2.由点的直角坐标化为极坐标的公式是什么？探究提示：1.点的直角坐标化为极坐标不惟一，先求最小的正角，再表示为终边相同的角.2.ρ2=x2+y2, 【解析】1.由 且角θ的终边经过点(1,1)，当θ∈［0,2π)时， 由于θ∈R,故点的极坐标为答案：2.(1)由 且角θ的终边经过点(1,－1)，当θ∈［0,2π)时，故点的极坐标为(2)由 且角θ的终边经过点(0,－2)，当θ∈［0,2π)时，故点的极坐标为(3)由 且角θ的终边经过点当θ∈［0,2π)时，故点的极坐标为(4)由 得点的极坐标为(5,θ)，其中，且角θ的终边经过点(3,4).(5)由 且角θ的终边经过点当θ∈［0,2π)时，故点的极坐标为(6)由由于且角θ的终边经过点当θ∈［0,2π)时，故点的极坐标为【互动探究】若题1中ρ≥0,θ∈［0,2π),点的直角坐标(1,1)化为极坐标为___________.【解析】由 且角θ的终边经过点(1,1)，当θ∈［0,2π)时， 故点的极坐标为答案：【拓展提升】点的直角坐标化为极坐标的注意事项化点的直角坐标为极坐标时，一般取ρ≥0，θ∈［0,2π)，即θ取最小正角，由 求θ时，必须根据角θ的终边经过点(x,y)所在的象限来确定θ的值.【变式训练】1.将点的直角坐标M(－1,0)化为极坐标为_______________________.2.将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ≥0,θ∈［0,2π))：【解析】1.由 且角θ的终边经过点M(－1,0)，当θ∈［0,2π)时，θ=π，由于θ∈R,故点M的极坐标为(1,π+2kπ),k∈Z.答案：(1,π+2kπ)，k∈Z2.(1)由 且角θ的终边经过点(－2,2)，当θ∈［0,2π)时，故点的极坐标为(2)由且角θ的终边经过点当θ∈［0,2π)时，故点的极坐标为(3)由 且角θ的终边经过点 当θ∈［0,2π)时， 故点的极坐标为类型 三 极坐标与直角坐标互化公式的综合应用 【典型例题】1.极坐标系中，极点为O,将点 对应的向量 绕极点逆时针旋转 得到向量 的直角坐标为_______.2.今有A，B，C三舰进行演习，A舰在B舰的正东6 km处，C舰在B舰的北偏西30°且与B相距4 km处.某时刻A发现目标信号，4s后B，C同时发现这种信号，A发射炮弹.设各舰与目标均为静止的，目标信号的传播速度是1 km/s，炮弹的速度是 其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以A舰为极点，正东方向为极轴方向，建立极坐标系，若A舰欲发射炮弹击中目标，求(1)目标的直角坐标与极坐标.(2)A舰发射炮弹的仰角θ应为多少？(注：射程公式 )【解题探究】1.如何求旋转后的点B的极坐标与向量的直角坐标？2.如何建立直角坐标系定位目标的直角坐标以及极坐标？探究提示：1.极坐标中的ρ不变，角度θ再由 加上 即得.向量的坐标即终点B的直角坐标.2.根据直线与二次曲线的交点的直角坐标定位目标，联想二次曲线的标准方程建立直角坐标系，再由距离和角求目标的极坐标.【解析】1.依题意，点B的极坐标为 故点B的直角坐标为 所以答案：2.(1) 取AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，如图，则求得A，B，C舰的坐标分别为(3,0)，(－3,0)，记目标所在位置为P，由于B，C同时发现目标信号，则｜PB｜=｜PC｜，于是P在BC的中垂线上，求得BC的中垂线方程为又A，B两舰发现信号的时间差为4秒，得｜PB｜—｜PA｜=4,于是P在双曲线 的右支上，求得上述直线与双曲线的交点P的直角坐标为 得｜PA｜=10.又 所以直线PA的倾斜角为60°，于是目标的极坐标为(2)舰A发射炮弹的仰角是θ，初速度为 炮弹的射程为s=10(km),由公式，得所以 又 所以仰角【拓展提升】建立平面坐标系解题的方法技巧(1)在平面直角坐标系中，直线与圆锥曲线的位置关系问题常常转化为方程组的解的问题解决，建立直角坐标系时，要使圆锥曲线的方程为标准方程.(2)要确定点的极坐标，求出点与极点的距离即极径ρ，以及极角的最小正角θ(θ∈［0,2π))即可.(3)斜上抛物体的射程与射高公式：【变式训练】在极坐标系中,已知三点判断M,N,P三点是否共线？说明理由.【解析】将极坐标 分别化为直角坐标，得方法一：因为 所以M,N,P三点共线.方法二：因为所以 所以M,N,P三点共线.【规范解答】利用点的极坐标与直角坐标互化解题 【典例】 【条件分析】【规范解答】(1)由公式 得点 的直角坐标分别为…………………………………………………3分点C必在直线y=－x上，且设点C的直角坐标为(x,－x)，则即解得故点C的直角坐标为 或 …………6分由公式且ρ≥0,θ∈［0,2π)，得点C的极坐标为 或 ………………9分(2)由上述，得三角形的边长为4，得 …………………………12分【失分警示】【防范措施】1.将点的极坐标化为直角坐标对于点的极坐标中的极角为特殊角时，可以转化为点的直角坐标，利用直线方程以及距离公式等使问题得以解决，如本例中的方法.2.充分利用数形结合思想解题不论是平面直角坐标系还是极坐标系，都是利用代数方法刻画几何位置以及几何度量问题，所以利用条件画出几何图形就能容易明确解题方向，从而优化解题思路，简化解题过程. 【类题试解】极坐标系中，已知O是极点，(1)求|AB|.(2)判断△AOB的形状.【解析】(1)由公式x=ρcos θ，y=ρsin θ求得点的直角坐标分别为 B(0，-3)，得(2)由上述得，直线AB平行于x轴，∠OBA=90°，∠OAB=30°.所以△AOB是直角三角形，其中∠OAB=30°.1.极坐标系中，点A(2 014，2 013π)的直角坐标为( )A.(2 014，π) B.(2 014，0)C.(0，2 014) D.(－2 014，0)【解析】选D.由公式计算即得.2.极坐标系中，点 关于极轴所在直线对称的点的直角坐标为( )A.(1, ) B.(－1, )C.(1,－ ) D.(－1,－ )【解析】选C.点 的直角坐标为 ，关于极轴所在直线即横轴对称的点的直角坐标为3.将点的直角坐标(－3,3)化为极坐标不能是( )A. B. C. 。