例例1 1：设：设6060辆车随机分布在辆车随机分布在10km10km长的道路上，其中长的道路上，其中任意任意1km1km路段上，试求：路段上，试求：应用举例应用举例ü无车的概率；无车的概率；ü小于小于5 5辆车的概率；辆车的概率；ü不多于不多于5 5辆车的概率；辆车的概率；ü6 6辆及其以上的概率；辆及其以上的概率；ü至少为至少为3 3辆但不多于辆但不多于6 6辆的概率；辆的概率； ü恰好为恰好为5 5辆车的概率辆车的概率 解：解：这里这里t t 理解为车辆数的空间间隔，理解为车辆数的空间间隔，λλ为车辆平均分为车辆平均分布率，布率，m m 为计数空间间隔内的平均车辆数为计数空间间隔内的平均车辆数 由由λλ= 60/10 = 60/10 t t=1 =1 ，因此，因此 m m = =λtλt=6=6（辆）（辆） 这里这里 m m 即为计数空间间隔内的平均车辆数即为计数空间间隔内的平均车辆数 无车的概率为：无车的概率为： 小于小于5 5辆车的概率为：辆车的概率为： 不多于不多于5 5辆车的概率为：辆车的概率为： 6 6辆及其以上的概率为：辆及其以上的概率为： 至少为至少为3 3辆但不多于辆但不多于6 6辆的概率为：辆的概率为： 恰好为恰好为5 5辆车的概率为：辆车的概率为： 解：解：1 1））1s1s、、 2s2s、、3s3s内无车的概率内无车的概率 λλ=240/3600=240/3600（辆（辆/s /s ）） 当当t t=1s=1s时，时，m m = =λλt t=0.067=0.067 当当t t=2s=2s时，时，m m = =λλt t =0.133=0.133，， 当当t t=2s=2s时，时，m m = =λλt t =0. 3=0. 3，，例例2 2：已知某信号灯周期为：已知某信号灯周期为60s60s，某一个入口的车流，某一个入口的车流量为量为240240辆辆/h/h，车辆到达符合泊松分布，求：，车辆到达符合泊松分布，求：ü 在在1s1s、、2s2s、、3s3s内无车的概率；内无车的概率；ü 求有求有95%95%的置信度的每个周期来车数。
的置信度的每个周期来车数应用举例应用举例 2 2）有）有95%95%置信度的每个周期来车数的含义为：置信度的每个周期来车数的含义为：来车数小来车数小于或等于于或等于k k 辆的概率辆的概率≥≥95%95%时的时的k k值值，， 即：即： ，求这时的，求这时的k k 即即λλ=240/3600=240/3600（辆（辆/s /s ），当），当t t=60s=60s时，时，m m = =λλt t= 4= 4（辆）（辆） 来车的分布即为：来车的分布即为： 求：求： 的的k k值通俗一点：有通俗一点：有95％以上的把握，该％以上的把握，该信号周期内不会通过超过信号周期内不会通过超过k辆的车 k kP P( (k k) )P P( (≤≤k k) )k kP P( (k k) )P P( (≤≤k k) )0 00.01830.01830.01830.01835 50.15630.15630.78520.78521 10.07330.07330.09160.09166 60.10420.10420.88940.88942 20.14650.14650.23810.23817 70.05950.05950.94890.94893 30.19540.19540.43350.43358 80.02980.02980.97870.97874 40.19540.19540.62890.6289设计上具有设计上具有95%置信度的来车数不多于置信度的来车数不多于8辆。
辆 例例3 3：某信号交叉口的周期为：某信号交叉口的周期为c c＝＝97s97s，有效绿灯时间，有效绿灯时间为为g g＝＝44s44s，在有效绿灯时间内排队的车流以，在有效绿灯时间内排队的车流以V V＝＝900900辆辆/h/h的流率通过交叉口，在绿灯时间外到达车辆需的流率通过交叉口，在绿灯时间外到达车辆需排队，设车流到达率为排队，设车流到达率为q q＝＝369369辆辆/h/h，且服从泊松分，且服从泊松分布，求到达车辆不致两次排队的周期数占周期总数布，求到达车辆不致两次排队的周期数占周期总数的最大百分比的最大百分比解：一个周期能通过的最大车辆数解：一个周期能通过的最大车辆数 A A＝＝Vg=44×900/3600=11Vg=44×900/3600=11辆辆 若该周期到达车辆数若该周期到达车辆数N N大于大于1111辆，将出现二次排队，泊松分布中一周辆，将出现二次排队，泊松分布中一周期平均到达车辆数为：期平均到达车辆数为： m=λt=qc=369 ×97/3600=9.9 m=λt=qc=369 ×97/3600=9.9 辆辆 查泊松分布表得查泊松分布表得P P（（>11>11））=0.29=0.29 故不发生二次排队的概率为故不发生二次排队的概率为1 1－－P P＝＝7171％。
％应用举例应用举例 解：解：1 1）由：）由： p p =30% =30%，，n n=5=5，，k k=2=2应用举例应用举例例例4 4：在一交叉口，设置左转弯信号灯，经研究来：在一交叉口，设置左转弯信号灯，经研究来车符合二项分布，每一周期平均来车车符合二项分布，每一周期平均来车3030辆，其中有辆，其中有30%30%的左转弯车辆，试求：的左转弯车辆，试求： 1) 1) 到达的到达的5 5辆车中，有辆车中，有2 2辆左转弯的概率；辆左转弯的概率； 2) 2) 到达的到达的5 5辆车中，少于辆车中，少于2 2辆左转弯的概率；辆左转弯的概率； 3) 3) 某一信号周期内没有左转弯车辆的概率某一信号周期内没有左转弯车辆的概率 2 2）由：）由： p p =30% =30%，，n n=5=5，，k k=2=23 3）由：）由： p p =30% =30%，，n n=30=30，，k k=0=0 【【检验举例检验举例】】 对某一路段的一个方向车流，以对某一路段的一个方向车流，以30s30s的计数间隔的计数间隔对其车辆到达数进行连续观测，得到对其车辆到达数进行连续观测，得到232232个观测值。
试求其统个观测值试求其统计分布，并检验之计分布，并检验之 解：解： S S2 2/m=1.285 /m=1.285 说说明明可可用用泊泊松松分分布布或或负负二二项项分分布布拟拟合合是是合合适适的 若用泊松分布拟合，其参数若用泊松分布拟合，其参数m=5.254m=5.254 若用负二项分布拟合，若用负二项分布拟合， 其参数其参数 =0.78=0.78，， =18.4=18.4 用用χχ2 2检验法判别这两种分布的优劣：检验法判别这两种分布的优劣： <1> <1> 泊泊松松分分布布：：把把理理论论频频数数F Fi i 小小于于5 5的的到到达达数数合合并并后后，，并成并成1010组，则：组，则： 由由 DF=g-a-1=10-1-1=8DF=g-a-1=10-1-1=8，， αα取取 0.050.05，， 查查 表表 得得 ：：χχ2 20.050.05=15.51<χ=15.51<χ2 2 说明泊松分布拟合是不可接受的。
说明泊松分布拟合是不可接受的 <2> <2> 负负二二项项分分布布：：把把理理论论频频数数F Fi i 小小于于5 5的的到到达达数数合合并并后，并成后，并成1111组，则：组，则： 由由 DF=g-a-1=11-2-1=8DF=g-a-1=11-2-1=8，， αα取取 0.050.05，， 查查 表表 得得 ：：χχ2 20.050.05=15.51>χ=15.51>χ2 2 说明负二项分布拟合是可以接受的说明负二项分布拟合是可以接受的 解：车头时距大于或等于解：车头时距大于或等于10s10s的概率也就是的概率也就是10s10s以内无车的以内无车的概率 由由λλ=360/3600=0.1 =360/3600=0.1 辆辆/s/s 同样，车头时距小于同样，车头时距小于10s10s的概率为：的概率为：例例5 5：对于单向平均流量为：对于单向平均流量为360360辆辆/h/h的车流，求车头的车流，求车头时距大于或等于时距大于或等于10s10s的概率应用举例应用举例 例例6 6：在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向流：在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向流量为量为360360辆辆/h/h，该方向路宽，该方向路宽7.5m7.5m，设行人步行速度为，设行人步行速度为1m/s1m/s，求，求1h1h中提供给行人安全横过单向车道的次数，中提供给行人安全横过单向车道的次数，如果单向流量增加到如果单向流量增加到900900辆辆/h/h，，1h1h中提供给行人安全中提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减少横过单向车道的次数是增加还是减少 。
7.5m7.5mQ Q=360=360辆辆/h/h应用举例应用举例 解：行人横过单向行车道所需要的时间：解：行人横过单向行车道所需要的时间： t t =7.5/1=7.5s=7.5/1=7.5s 因此，只有当因此，只有当h h≥7.5s≥7.5s时，行人才能安全穿越，由于双时，行人才能安全穿越，由于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指数分布，对于车道道路可以充分超车，车头时距符合负指数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大于任意前后两辆车而言，车头时距大于7.5s7.5s的概率为：的概率为： 对于对于 Q Q=360=360辆辆/h/h的车流，的车流，1h1h车头时距次数为车头时距次数为360360，其中，其中h h≥7.5s≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：的车头时距为可以安全横穿的次数： 当当Q Q = 900= 900辆辆/h/h时，车头时距大于时，车头时距大于7.5s7.5s的概率为：的概率为： 1h 1h内车头时距次数为内车头时距次数为900900，其中，其中h h≥7.5s≥7.5s的车头时距为可的车头时距为可以安全横穿的次数：以安全横穿的次数： 例例7 7：高速公路入口收费站，车辆到达是随机的，流：高速公路入口收费站，车辆到达是随机的，流入量为入量为400400辆辆/h/h，如果收费工作人员平均能在，如果收费工作人员平均能在8s8s内发内发放通行卡，符合负指数分布，求：收费站排队系统中放通行卡，符合负指数分布，求：收费站排队系统中的平均车辆数，平均排队长度，排队系统中的平均消的平均车辆数，平均排队长度，排队系统中的平均消耗时间和排队中的平均等待时间。
耗时间和排队中的平均等待时间 应用举例应用举例解：解：λλ=400/3600=400/3600（辆（辆/s/s））, , μμ=1/8 =1/8 （辆（辆/s/s）） ρρ= =λλ/ /μμ=0.89 <1 =0.89 <1 ，排队系统是稳定的排队系统是稳定的ü 收费站排队系统中的平均车辆数：收费站排队系统中的平均车辆数： ü 平均排队长度：平均排队长度：ü 排队系统中的平均消耗时间：排队系统中的平均消耗时间：ü 排队中的平均等待时间：排队中的平均等待时间： ü进入停车场的引道长度能够容纳进入停车场的引道长度能够容纳5 5辆车辆车, ,如果系统中的平如果系统中的平均车辆数小于均车辆数小于5 5辆车则是合适的，否则，准备停放的车辆车则是合适的，否则，准备停放的车辆必然影响交通辆必然影响交通例例8 8：修建一个服务能力为：修建一个服务能力为120120辆辆/h/h的停车场，布置的停车场，布置一条进入停车场的引道，经调查车辆到达率为一条进入停车场的引道，经调查车辆到达率为7272辆辆/h/h，进入停车场的引道长度能够容纳，进入停车场的引道长度能够容纳5 5辆车，是否合辆车，是否合适。
适 应用举例应用举例解：解：λλ=72=72（辆（辆/h/h））, , μμ=120 =120 （辆（辆/h/h）） ρρ= =λλ/ /μμ=0.6 <1 =0.6 <1 ，排队系统是稳定的排队系统是稳定的 ü 验证系统中平均车辆数超过验证系统中平均车辆数超过5 5辆车的概率辆车的概率P P( (＞＞5)5)，如果，如果P P( (＞＞5)5)很小，则得到很小，则得到““合适合适””的结论正确由：的结论正确由： 验证结果表明：系统中平均车辆数超过验证结果表明：系统中平均车辆数超过5 5辆车的概率辆车的概率P P( (＞＞5)5)不足不足5%5%，概率很小，进入停车场的引道长度是合适，概率很小，进入停车场的引道长度是合适的 例例9 9：一停车场，到达车辆：一停车场，到达车辆6060辆辆/h/h，服从泊松分布，，服从泊松分布，其服务能力为其服务能力为100100辆辆/h/h，服从负指数分布，其单一出，服从负指数分布，其单一出入口可存入口可存6 6辆车，问：该数量是否合适？辆车，问：该数量是否合适？应用举例应用举例 解：解：M/M/1M/M/1排队系统排队系统 λλ＝＝6060辆辆/h/h，，μμ＝＝100100辆辆/h/h ρ ρ＝＝ λ/ μλ/ μ＝＝60/10060/100＝＝0.6<1,0.6<1,系统稳定。
系统稳定出入口可存出入口可存6 6辆车，若超过辆车，若超过6 6辆车的概率很小，可认为合辆车的概率很小，可认为合适，反之不合适适，反之不合适 P(0)=1- ρ=1-0.6=0.4, P(0)=1- ρ=1-0.6=0.4, P(1)=ρ(1- ρ)=0.6×0.4 P(1)=ρ(1- ρ)=0.6×0.4＝＝0.240.24 由此类推，由此类推，P(6)=0.66 ×0.4=0.03P(6)=0.66 ×0.4=0.03 ∴ P(>6)=1-∑P(n)=0.03, ∴ P(>6)=1-∑P(n)=0.03, 可认为该停车场合理可认为该停车场合理 例例1010：道路上的车流量为：道路上的车流量为720720辆辆/h/h，车速，车速60 km/h60 km/h，，今有一辆超限汽车以今有一辆超限汽车以30km/h30km/h的速度进入交通流并行的速度进入交通流并行驶驶5km5km后离去，由于无法超车，就在该超限车后形成后离去，由于无法超车，就在该超限车后形成一低速车队，密度为一低速车队，密度为4040辆辆/km/km，该超限车离去后，受，该超限车离去后，受到拥挤低速车队以车速到拥挤低速车队以车速50km/h50km/h，密度为，密度为2525辆辆/km/km的车的车流疏散，计算：流疏散，计算： (1)(1)拥挤消散时间拥挤消散时间t ts s；；(2)(2)拥挤持续时间拥挤持续时间t tj j；；(3)(3)最大排队长度；最大排队长度；(4)(4)排队最长时的排队车辆数；排队最长时的排队车辆数；(5) (5) 参与过排队的车辆总数。
参与过排队的车辆总数应用举例应用举例 解：三种状态的解：三种状态的Q Q、、K K、、V V分别如图所示：分别如图所示：5km5km Q Q1 1=720=720V V1 1=60=60K K1 1=12=12 Q Q2 2=1200=1200V V2 2=30=30K K2 2=40=40 Q Q3 3=1250=1250V V3 3=50=50K K3 3=25=25 w w1 1 w w2 2ⅠⅠⅡⅡⅢⅢ 超限车进入后，车流由状态变超限车进入后，车流由状态变ⅠⅠ为状态为状态ⅡⅡ ，将产生一个，将产生一个集结波集结波：（注意集结波的方向！：（注意集结波的方向！）） 超限车插入后，领头超限车的速度为超限车插入后，领头超限车的速度为30km/h30km/h，集结波由，集结波由超限车进入点以超限车进入点以w w1 1=17.14km/h=17.14km/h的速度沿车流方向运动如果的速度沿车流方向运动如果这种状况持续这种状况持续1h1h，，1h1h后跟在超限车后的低速车队长度为：后跟在超限车后的低速车队长度为：30-17.14=12.86 km30-17.14=12.86 km。
但超限车行驶但超限车行驶5km5km后离去，超限车行后离去，超限车行驶驶5km5km所用集结时间为：所用集结时间为：t ta a=5/30=0.167h=5/30=0.167h，在超限车驶离时，在超限车驶离时刻超限车后的低速车队长度应为：刻超限车后的低速车队长度应为： 5-5-w w1 1t ta a=2.14km=2.14km5km5km w w1 1w w1 1t ta a 5-5-w w1 1t ta a=2.14km=2.14km 超限车离去后，车流由状态超限车离去后，车流由状态ⅡⅡ变为状态变为状态ⅢⅢ，在超限车，在超限车驶离点产生一个消散波：驶离点产生一个消散波： 注意：超限车离去，低速车队前端以注意：超限车离去，低速车队前端以-3.33km/h-3.33km/h的速度的速度消散，后端还在以消散，后端还在以17.14km/h17.14km/h的速度集结的速度集结5km5km w w1 1 w w2 2w w1 1t ta a 5-5-w w1 1t ta a=2.14km=2.14km 由此可见，由此可见，在超限车离去的时刻低速车队最长在超限车离去的时刻低速车队最长！！ 因此，最大排队长度为因此，最大排队长度为2.14km2.14km，这，这2.14km2.14km上的车辆数即为上的车辆数即为最大排队车辆数：最大排队车辆数： 2.142.14K K2 2=2.14×40=86 =2.14×40=86 （辆）（辆） 超限车离去的时刻，低速车队前端以－超限车离去的时刻，低速车队前端以－3.33km/h3.33km/h的速度的速度消散，后端还在以消散，后端还在以17.14km/h17.14km/h的速度集结，设要消散长度的速度集结，设要消散长度为为2.14km2.14km的低速车队需要的时间为的低速车队需要的时间为t ts s 。
5km5km w w1 1 w w2 2w w1 1t ta a 5-5-w w1 1t ta a=2.14km=2.14km 由图可见，消散长度为由图可见，消散长度为2.14km2.14km的低速车队需要的排队消的低速车队需要的排队消散时间散时间t ts s 应采用下式计算：应采用下式计算： 排队持续时间排队持续时间t tj j为集结时间为集结时间t ta a与排队消散时间与排队消散时间t ts s之和之和 t tj j = = t ta a+ + t ts s=0.167+0.105=0.272 =0.167+0.105=0.272 （（h h））5km5km w w1 1 w w2 2w w1 1t ta a 5-5-w w1 1t ta a=2.14km=2.14km 在超限车驶入至排队消散的排队持续时间在超限车驶入至排队消散的排队持续时间t tj j内，从左内，从左面驶入的流量为：面驶入的流量为： 在这在这196196辆车中，上图蓝车以后的车辆没有参与过排队，辆车中，上图蓝车以后的车辆没有参与过排队，其数量为：其数量为：4.694.69K K1 1=4.69×12=56 =4.69×12=56 （辆）（辆） 因此，参与排队的车辆总数为：因此，参与排队的车辆总数为：196-60=140 196-60=140 （辆）（辆）5km5kmW W1 1t tj j=4.69km=4.69km 5-5-w w1 1t tj j = w w2 2t ts s =0.31km=0.31km 习题作业：习题作业：P86～～P87 ：： 1～～7 。