6 数学教学研究 第32卷第7期2013年7月 利用导数研究函数性质的几类典型失误及归因分析 范习昱 (江苏省镇江市丹徒高级中学212121) 导数内容是高中数学新课程的重要内容 之一，然而我们在教学中经常发现，很多学生 在利用导数求解函数的单调性、极值和最鳆、 曲线的切线中会出现几类典型失误．下面结 合笔者的教学实践，归类例析，纠错清源． 1利用导数研究函数的单调性 1 例1判断函数 =专一 的单调性． 1 失误再现因为／(z)=一 一3x2，( )]，则f(x )就是 厂( )的一个极大(小)值． 其二 对于在区间内的连续可导函数 ，( )，z是X邻近的任意一点，厂(Xo)=0． 若 o( o)? > 时 都有 (z)o)，则f(xo)是厂( 的一 个极大(小)值． 范文分析例Z的失误串弓：用的就是第二 条．下面，我们看 个例子 例1观察函数 )：==} —ll+l z—z I在闭区间[0，3]的极值、最值情况． 该函数是[O，3]上的 连续函数，在 一】，2不 可导．由上述第一条判 断，厂( )不存在极值点． 两端点值，(e)一， 3)==一 3．由教材上“只要把连续 豳l ， {； ●●H1 ～／； ～ 一_ 第32卷第7期2013年7月 数学教学研究 9 函数在开区间(n，6)内的所有极值与两端点 值进行比较，最大(小)者就是该函数在闭区 间[n，6]上的最大(小)值”这一求法，我们不 能确定此函数的最大(小)值是什么，但由其 幽像(幽1)可知，这个函数宥最大值厂(O)= ，(3)=3，最小值，(五，)一1(1≤动≤2)． 例2观察 f2一 ， 一3≤ ，0， ， )—．{2， o ≤i． 一6 + 2，)在阏区间 [口， 上的最值的步 出现 r“漏涧”，这个漏 洞就出在；未考虑到区间 (8，6)内，可能存在 使函数， )取常值的子区『d]这样～种情况． 因此，“堵洞”的办法就是对“步骤”作如下修 改： (1)求函数，( )在(n，6)内的所有极值； (2)求函数，( )在区间端点处的值，即 厂(n)，，(6)； (3)考察，(z)在区间内是否存在取常数 值的子区间，若存在，求出所有这样的常数 值． (4)比较所有的极值、常数值和端点值， 其中最大(小)的就是函数厂( )的最大Oh) 值． 做这样的修改后：例1中f(O)-----3， (3) 3，f(xo)=1(1≤ ≤2)三者比较，我们求 褥最大值3，最小值1；例2中，(3)=一2， f(xo)=2(O≤ ≤1)，厂(--3)=一7，f(2+ )--0四个数比较，我们得最大值2，最小 值一7． 顺便说明：高中教材关于求最值的前述 “步骤”是由大学教材移植过来的．它仅适用 于大学教材，因为大学教材关于极值的论述 是：“设函数厂( )在锄附近有定义，如果对 xo附近的所有点 ，都有厂(z)≤f(xo) If(x)≥，(函)]，则f(xo)就是，( )的一个 极大(小)值"，或者“若函数厂( )在Xo附近 连续且可导，且厂(动)=O， 是z。
附近的任 意一点，当x'~xo时，都有 ( )>10(≤o)， 当 >锄时，都有／ )≤o(≥0)，则f(xo) 就是，(z)的一个极大Oh)值”．这里定义的 “极值”，就包含了函数在子区间所取的常数 值． 大学教材内容移植到高中出问题的有多 处，如关于单调函数的结论等就出了问题(请 具本刊2011年7期第29—33页)．新教材中 其它方面的错误也不少(如见本刊2012年5 期第19--22页，26页)．这是我们在使用教 材l习寸应多加留意的地方．不要让这些错误在 我们的教学中产生负面影响． (执笔：本刊编委 汤先键) 。