第二节偏导数教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握阶及二阶偏导数的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系教学重点：一阶及二阶偏导数的计算教学过程:一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数zf(xy)如果只有自变量x变化而自变量y固定这时它就是x的一元函数这函数对x的导数就称为二元函数zf(xy)对于x的偏导数定义设函数zf(xy)在点(xoyo)的某一邻域内有定义当y固定在yo而x在xo处有增量x时相应地函数有增量f(xoxyo)f(xoyo)如果极限limf(Xox,yo)f(Xo,yo)xox存在则称此极限为函数zf(xy)在点(xoyo)处对x的偏导数记作zfxxoxxozxxyyoxyYoxyxo或fx(xo,Yo)yox,yo)f(xo,yo)例如fx(xo,yo)limf(xoxox类似地函数zf(xy)在点(xoyo)处对y的偏导数定义为|imf(xo,yoy)f(xo,yo)yo记作zxXoyyyoxxoyyyozyxXoyYo或fy(xoyo)偏导函数如果函数zf(xy)在区域D内每一点(xy)处对x的偏导数都存在那么这个偏导数就是x、y的函数它就称为函数zf(xy)对自变量x的偏导函数记作——zx或fx(x,y)xx偏导函数的定义式fx(x,y)lim-f(x—x^y)—f(x,y)xo类似地可定义函数zf(xy)对y的偏导函数记为—Zy或fy(x,y)yy偏导函数的定义式fy(x,y)lim—y)f(x,y)y0y求一时只要把y暂时看作常量而对x量而对y求导数讨论下列求偏导数的方法是否正确？fx(xo,yo)fx(x,y)xxofy(xo,yo)x求导数求一时只要把x暂时看作常y:X。
yyofy(X,y)xxoyyoplfx(xo,yo)(x,yo)]xxfy(xo,yo)偏导数的概念还可推广到二元以上的函数处对x的偏导数定义为fx(x,y,z)limf(x2f(x,y,z)xox其中(xyz)是函数uf(xyz)的定义域的内点法问题例1求zx23xyy2在点(12)处的偏导数[器f(xo，y)]yyo例如三元函数uf(xyz)在点(xyz)它们的求法也仍旧是一元函数的微分解-—2x3y——3x2yzxyx例2求z/sin2y的偏导数解—2xsin2y—2x2cos2yxy例3设zxy(x0,x1)求证xzyxInxy2z1 312272证鼻yxy1x—xylnxyzS1Inxyy丄xylnxInxxyxy2z_yy2z2rxy2z2的偏导数_xx丄y..x2y2z2ryx2例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)求证pVT1VTP证因为pRTpRTVVV2VRTVRPTPTPVTVRPR所以、PV-TRT..2RVRTV〒匚v27R-pvi例5说明的问题偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商二元函数zf(xy)在点(xoyo)的偏导数的几何意义fx(xoyo)[f(xyo)]x是截线zf(xyo)在点Mo处切线Tx对x轴的斜率fy(xoyo)[f(xoy)]y是截线zf(xoy)在点Mo处切线Ty对y轴的斜率偏导数与连续性对于多元函数来说函数在该点连续即使各偏导数在某点都存在也不能保证例如f(x,y)厲x20x2y2oy2o在点(oo)有fx(o提示o)ofy(oo)o但函数在点(oo)并不连续f(x,o)of(o,y)o当点P(xy)沿直线kx趋于点(00)时有fy(o,o)ddy[f(o,y)]ofx(o,o)£[f(x,o)]odx当点P(xy)沿x轴趋于点(00)时有爲％f(x,y)limf(x,0)lim00x0x0(x,y%)丹ykx因此limf(x,y)不存在故函数f(xy)在(oo)处不连续(x,y)(o,o)类似地可定义函数zf(xy)对y的偏导函数记为fzyy或fy(x,y)偏导函数的定义式fy(x,y)limf(x,yy)f(x,y)y0y高阶偏导数设函数zf(xy)在区域D内具有偏导数—fx(x,y)-fy(x,y)xy'那么在D内fx(xy)、fy(xy)都是xy的函数如果这两个函数的偏导数也存在贝U称它们是函数zf(xy)的二偏导数按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数zf(xy)在区域D内的偏导数fx(xy)、fy(xy)也具有偏导数按照对变量求导次序的则它们的偏导数称为函数zf(xy)的二阶偏导数不同有下列四个二阶偏导数2zxzfxx(x，y)xy2zfxy(x,y)yxfyx(x，y)2zyy2z2yfyy(x,y)其中一(二)yx2一(~x)—2xxx22zxyfxy(x,y)-(二)上yxxyJzyx2zyxfyx(x,y)称为混合偏导数同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数2-22例6设z讨3xy3xy1求彳、z、-和-x2x3yxxy解丄3x2y23y3yx—2x3y9xy2xy2zx26xy23zx36y22“2“z26xy9y21zxyyx6x2y9y21由例6观察到的问题定理如果函数zf(xy)的两个二阶混合偏导数2z在区域D内连续么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7验证函数zIn「/—y2满足方程2zx2zTy证因为zInjx2y2lln(x2y2)y22x2y2所以x2(x2y2)2(x2y2)22z(x2y2)y2yx2y2y2(x2y2)2(x2y2)22z2zx22y2yx2x2y2(x2y2)2(x2y2)28•证明函数u1满足方程-r2ux2x222y2z2u1r1xxxr2xr2rr32u13x_r丄3x2x2r3r4xr3r52u13y22u13z2y2r3r5z2r3r5x2x因此0其中r证同理例(x2y2)2z22uy2x22uz22因此一ux2fuy2uz2(1r1ir13y2r53z!)5丿r533(x2r5z2)畔0r52..提示7Vr3x一(r3)xr6r3xr63r2。