求值域的7类题型和16种方法

学而思网校 学而思网校 学习有意思 求函数值域的求函数值域的 7 类题型和类题型和 16 种方法种方法 一、函数值域一、函数值域基本知识基本知识 1．定义：在函数( )yf x中，与自变量 x 的值对应的因变量 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合） 2．确定函数的值域的原则 ①当函数( )yf x用表格给出时，函数的值域是指表格中实数 y 的集合； ②当函数( )yf x用图象给出时，函数的值域是指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数( )yf x用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数( )yf x由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础域的基础 函数的值域取决于定义域和对应法则， 不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。

一般地，常见函数的值域： 1.一次函数0ykxb k的值域为 R. 2.二次函数20yaxbxc a，当0a 时的值域为24,4acb a，当0a 时的值域为24,4acb a.， 3.反比例函数0kykx的值域为0yR y. 4.指数函数01xyaaa且的值域为0y y . 5.对数函数log01ayx aa且的值域为 R. 6.正，余弦函数的值域为1,1，正，余切函数的值域为 R. 三、求解函数值域的三、求解函数值域的 7 种题型种题型 题型题型一：一次函数一：一次函数0yaxb a的值域（最值）的值域（最值） 1、一次函数：0yaxb a 当其定义域为R，其值域为R； 学而思网校 学而思网校 学习有意思 2、一次函数0yaxb a在区间,m n上的最值，只需分别求出  ,f mf n，并比较它们的大小即可。

若区间的形式为,n或,m 等时，需结合函数图像来确定函数的值域 题型题型二：二次函数二：二次函数)0()(2acbxaxxf的值域（最值）的值域（最值） 1、二次函数)0()(2acbxaxxf， 当其 定义域为R时，其值域为22404 404acbyaa acbyaa2、二次函数)0()(2acbxaxxf在区间,m n上的值域(最值) 首先判定其对称轴2bxa 与区间,m n的位置关系 （1）若,2bm na,则当0a 时，()2bfa是函数的最小值，最大值为( ),( )f mf n中较大者；当0a 时，()2bfa是函数的最大值，最大值为( ),( )f mf n中较小者 （2）若,2bm na,只需比较( ),( )f mf n的大小即可决定函数的最大（小）值 特别提醒：特别提醒： ①①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②②若给定的区间形式是若给定的区间形式是  ,,,,,,,abab等时，要结合图像等时，要结合图像来确函数来确函数的值域；的值域； ③③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨 论。

论 例 1：已知 22fxx的定义域为3, ，则 f x的定义域为 ,1 例 2：已知211f xx，且3,4x ，则 f x的值域为 1, 1 7 题型题型三：一次分式函数的值域三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0( kxky的定义域为0x x ，值域为0y y  2、形如：cxdyaxb的值域： （1）若定义域为bxR xa 时，其值域为cyR ya（2）若,xm n时，我们把原函数变形为dbyxayc，然后利用,xm n（即x的有界性），便可求出函数的值域 学而思网校 学而思网校 学习有意思 例 3：函数23 3 21xxy的值域为 1,3,3；若1,2x时，其值域为 1 1,5 11。

例 4：当3, 1x  时，函数13 21xyx的值域 34,2 （2）已知312xf xx，且3,2x ，则 f x的值域为 6,5  例 5：函数2sin1 3sin2xyx的值域为 1,3,5；若3,22x，其值域为 1 2,2 3 题型题型四：二次分式函数四：二次分式函数22dxexcyaxbxc的值域的值域 一般情况下，都可以用判别式法求其值域但要注意以下三个问题： ①检验二次项系 数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边 界值也要考查达到该值时的x是否存在；③分子、分母必须是既约分式 例 6：221 6xxyxx； 21,,7  例 7：222 1xxyx； 1yR y 例 8：432xxy； 3 3,4 4例例 9：：求函数211,21xyxxx  的值域 解：由原函数变形、整理可得：22110yxyxy  求原函数在区间1, 上的值域， 即求使上述方程在1, 有实数解时系数y的取值范围 当0y 时，解得：11,x     也就是说，0y 是原函数值域中的一个值 …① 当0y 时，上述方程要在区间1, 上有解， 即要满足10f 或0 2112y y 解得：108y ……② 综合①②得：原函数的值域为：10,8 题型题型五：形如五：形如yaxbcxd的值域的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某 区间上求值域问题，然后求其值域。

例 10： 求函数xxy142在8,1x 时的值域 4,4 题型题型六：分段函数的值域：六：分段函数的值域： 学而思网校 学而思网校 学习有意思 一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可如果各 个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域 例 11： 21xxy 3, 例 12： 241yxx  ,5 题型题型七：复合函数的值域七：复合函数的值域 对于求复合函数的值域的方法是： 首先求出该函数的定义域， 然后在定义域的范围内由 内层函数的值域逐层向外递推 例 13： 1112xyxx 0,2 例 14：234yxx 50,2 四、函数值域求解的十六种求法四、函数值域求解的十六种求法 （（1）直接法（俗名）直接法（俗名分析观察法）分析观察法） ：： 有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。

即即从自变量从自变量x的范围出发，推出的范围出发，推出( )yf x的取值范围的取值范围或或由函数的定义域结合图象，或直由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法观观察，准确判断函数值域的方法注意此法关键是定义域注意此法关键是定义域 例 1： 已知函数112 xy，2 , 1 , 0 , 1x，求函数的值域 1,0,3 例 2：求函数1yx的值域 [1,) 例 3： 求函数11,1yxxx ≥的值域 2,例 4：求函数2610yxx的值域 1, （（2）配方法：）配方法： 二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解， 但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域对于形如20yaxbxc a或   20F xa f xbf xc a类的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 1．求函数322xxy的值域 分析与解答：因为0322xx，即13x，4) 1(2xy，于是： 44) 1(02x，20 y 例 2．求函数xxxy422在区间]4 ,41[x的值域 分析与解答：由xxxy422配方得：62242    xxxxy， 学而思网校 学而思网校 学习有意思 当241 x时，函数24xxy是单调减函数，所以41186 y； 当42 x时，函数24xxy是单调增函数，所以76 y 所以函数在区间]4 ,41[x的值域是41186 y （（3）最值法：）最值法： 对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法 例 1 求函数 y=3-2x-x2 的值域 解：由 3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］ 。

函数 y 在［-3，1］内是连续的，在定义 域内由 3-2x-x2 的最大值为 4，最小值为 0 ∴函数的值域是［0,2］ 例 2：求函数2xy ，2,2x 的值域 1,44 例 3：求函数2256yxx的值域 73,8（（4）反函数法（逆求或反求法） ：）反函数法（逆求或反。