六年奥数综合练习题十七答案（估计与估算） 1992 年小学数学奥林匹克初赛（B）卷第 3 题是：的结果是 x那么，与 x 最接近的整数是____这道题并不要求求 x，而求“与 x 最接近的整数”，这就是估计或估算估计与估算是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用，其表现形式通常有以下两种：（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”；（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围例例 1 A=12345678910111213÷31211101987654321，求 A 的小数点后前 3 位数字解：A＞1234÷3122=0.3952…A＜1235÷3121＝0.3957…所以 0.3952＜A＜0.3957，A 的小数点后前 3 位数是 395说明：上述解法是采用放缩法估计范围解答的，本题还可采用取近似值的办法求解解法如下：将被除数、除数同时舍去 13 位，各保留 4 位，则有1234÷3121≈0.3953≈0.395得它们的和大于 3，至少要选多少个数？解：要使所选的数尽量少，所选用的数就应尽量大，所以应从开头依次选首先注意到：从而所以，至少应选 11 个数。
说明：（1）上述解答是采用取近似值的办法估值的，也可以利用放缩法估值解答解法如下：所以，至少应选 11 个数2）以上解答过程中包括两个方面，其一是确定选数的原则；其二是验算找到“分界声、 ”，而这里的验算 只是一种估计或估算，并不要求精确3）类似的问题是至少取出多少个数，才能使取出的数的和大于 2？答案是 7，请读者自己练习例例 3 右面的算式里，每个方框代表一个数字问：这 6 个方框中的数字的总和是多少？解：每个方框中的数字只能是 0～9，因此任两个方框中的数字之和最多是 18现在先看看被加数与加数 中处于百位的两个数字之和，这个和不可能小于 18，因为不管它们后面的两个二位数是什么，相加后必小于 200，也就是说最多只能进 1这样便可断定，处于百位的两个数字之和是 18，而且后面两位数相加进 1同样理由，处于十位的两个数字之和也是 18，而且两个个位数字相加后进 1因此，处于个位的两个数字 之和必是 17所以，6 个方框中数字之和为 18＋18＋17=53例例 4 如果两个四位数的差等于 8921，就说这两个四位数组成一个数对，那么这样的数对共有多少个，解：最小的四位数是 1000，与 1000 组成一个数对的另一个四位数是 8921＋1000=9921，也就是最小一个 数对是 9921 与 1000。
同时由最大的四位数是 9999，可知共有9999-（9921—1）=79（个）不同的被减数所以，这样的数对共有 79 个说明：解答的关键在于确定符合条件的的最小数对（9921，1000） ，同时因为有几个不同的被减数，就有 几个不同的减数相对应地存在，所以我们只要考虑有几个不同的被减数即可例例 5 七位数 175□62□的未位数字是几时，不管千位上是 0～9 中的哪一个数字，这个七位数都不是 11 的 倍数？解：因为 1750620÷11＝159147……3，1759629÷11＝159966……3，所以这个七位数是 11 的倍数的最小值是 1750628，最大值是 1759626又因为 1001=7×11×13，由数的整除性质，可知 1750628 加上若干个 1001，或 1759626 减去若干个 1001 后，其值也是 11 的倍数这样 1750628，1751629，1759626，1758625，1757624，1756623，1755622，1754621，1753620 都是 11 的倍数由上述讨论可知七位数 175□62□的末位数字是 7 时，不管其千位上是 0 到 9 中的哪一个数字，这个七位数 都不是 11 的倍数。
说明：上述解法是利用估算确定出取值范围再进行讨论此题也可由能被 11 整除的数的特征入手解决 留给读者思考例例 6 小明的两个衣服口袋中各有 13 张卡片，每张卡片上分别写着 1，2，3，…，13从这两个口袋中各 拿出 1 张卡片并计算 2 张卡片上的数的乘积，可以得到许多不相等的乘积那么，其中能被 6 整除的乘积共有 多少个？解：根据题意可知，在所得到的许多不相等的乘积中，最小值是 1×1=1，最大值是 13×13=169，并且 1 与 169 都不能被 6 整除，这样，在得到的许多不相等的积中，能被 6 整除的最小值是 1×6=6，最大值是 13×12=26×6，而介于 1×6 与 26×6 之间的能被 6 整除的数并非每个都是 2 张卡片上的数的积，如 25×6，23×6， 21×6，19×6，17×6 这五个就不是所以，这些积中能被 6 整除的数共有26-5=21（个） 说明：解答这类问题要特别注意：不能简单地根据最小值是 6 的 1 倍，最大值是 6 的 26 倍，就错误地下 结论是 26 个如果取每个数的整数部分（例如 1.64 的整数部分是 1，解：关键是判断从哪个数开始整数部分是 2。
因为 2-1.64=0.36，我们11＋19×2=49例例 8 有一列数，第一个数是 105，第二个数是 85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数， 那么第 19 个数的整数部分是几？总介于这两个数之间，所 以后面各数的整数部分均为 91，当然第 19 个数的整数部分也为 91说明：注意到每个正数都介于两个相邻整数 n 和 n＋1 之间，或者写成 n≤a＜n＋1，此时 n 就是 a 的整数 部分因此确定某个正数的整数部分，实际上就是去估计它介于哪两个相邻自然数之间例例 9 求下式中 S 的整数部分：解：根据“一个分数，当分子不变而分母变大时，分数值变小；当分子不变，分母变小时，分数值变大” 对 S 的分母进行放缩不但非常麻烦，而且容易出 错为了求得一个数大概是多少，我们采用放缩法，以确定它的范围，也就是估值放缩是解答估值问题的一 种常用方法在用这种方法时，一定要注意放缩要适当，要合情合理一个类似的问题是答案是 19例例 10 学校组织若干人参加夏令营先乘车，每个人都要有座位，这样需要每辆有 60 个座位的汽车至少 4 辆而后乘船，需要定员为 70 人的船至少 3 条到达营地后分组活动，分的组数跟每组的人数恰好相等。
这个学校参加夏令营的人有多少？解：由“每辆有 60 个座位的汽车至少 4 辆”可知，参加夏令营的人数在（60×3＋1=）181～（60×4=） 240 人之间由“需要定员为 70 人的船至少 3 条”可知，参加夏令营人数在（70×2＋1=）141～（70×3=）210 人之间这样，参加夏令营的人数在 181～210 人之间又由“分的组数和每组人数恰好相等”可知，参加夏令营的 人数一定是一个平方数而 181～210 之间只有 196 是平方数，所以参加夏令营的人数是 196说明：解答此题的关键是估计人数的范围：从乘车来看，1≤第四辆车人数≤60，从乘船来看，1≤第三条船人数≤70，所以，181≤夏令营的人数≤210例例 11 将自然数按如下顺序排列：1 2 6 7 15 16 …3 5 8 14 17 …4 9 13 …10 12 …11 …在这样的排列下，数字 3 排在第 2 行第 1 列，数字 13 排在第 3 行第 3 列问：数字 168 排在第几行第几列？分析：我们来分析一下给出数阵中每一斜行的规律这里第 2 斜行的数字是 3，2；第 3 斜行的数字是 4，5，6；余此类推仔细观察后我们发现：奇数斜行中的数字由下向上递增，偶数斜行中的数字由上向下递增，我们只要找出 168 位于第几斜行，再换算成原数阵中的第几行第几列，问题便解决了。
18 斜行最大的数字是 171，所以 168 位于第 18 斜行第 18 斜行中的数字是由上向下递增，因此，168 位于第 18 斜行由上向下数第（168- 153=）15 位，换算成原数阵的行和列，便是第 15 行，第（18-15＋1=）4 列解法 2：为方便起见，可将数阵按顺时针方向旋转 45°，则原数阵变为13 24 5 610 9 8 711 12 13 14 15… … … … … … … … … …设 168 位于上述数阵的第 n 行，则1＋2＋…＋（n—1）＜168≤1＋2＋…＋n，可见，n 应为 18，即 168 位于上述数阵中的第 18 行又 168-153=15，18-15＋1=4，由数阵排列次序可知 168 位于上述数阵的第 18 行从左数第 4 个数，从右数 第 15 个数将上述数阵还原为题中数阵，168 在第 15 行第 4 列的位置上例例 12 唐老鸭与米老鼠进行万米赛跑，米老鼠每分钟跑 125 米，唐老鸭每分钟跑 100 米唐老鸭手中掌握 着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第 n 次指令，米老鼠就以原来速度的 n×10％倒退 一分钟，然后再按原来的速度继续前进。
如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少 是多少次？解：唐老鸭跑完 1 万米需要 100 分钟设唐老鸭在 100 分钟内共发出 n 次迫使米老鼠倒退的指令，则在 100 分钟内米老鼠有 n 分钟的时间在倒退，有（100-n）分钟的时间在前进，依题意有125×（100-n）-125×（0.1＋0.1×2＋0.1×3＋…＋0.1×n）＜10000，整理得 n（n＋21）＞400当 n=12 时， n＋21=33，12×33=396＜400当 n=13 时，n＋21=34，12×34=442＞400。