第四章 杆件的强度、刚度和稳定性计算,第一节 应力、应变、胡克定律 1、应力 平衡力系作用下的杆件虽然不会产生运 动，但一定会产生变形 的概念：考虑受力杆件I-I截面上任意一点A称为面积△A上的平均应力 而 称为A点出的应力应力表示了受力杆件某截面上一点的内力分 布疏密程度，内力集度.,,工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始应力就是单 位面积上的力,正应力：杆件内部应力p的截面法线分量称为正 应力σ 剪应力：杆件内部应力p的截面切线分量称为剪 应力τ应力的单位是帕斯卡，简称帕（Pa） 1MPa(兆帕)=106 Pa， 1GPa(吉帕)=109 P,内力：横截面上所有点应力的总和轴力FN表示截面上所有点正应力σ在轴 线（或法线）方向上作用的总和剪力FQ表示截面上所有点剪应力τ在 切线方向上作用的总和当同一横截面上正应力有正有负时， 弯矩M表示截面上所有点正应力σ对正 负应力分界轴x-x的力偶作用扭矩FT表示截面上所有点剪应力τ对截 面中心点O点的力偶作用剪力FQ表示截面上所有点剪应力τ在 切线方向上作用的总和。
当同一横截面上正应力有正有负时， 弯矩M表示截面上所有点正应力σ对正 负应力分界轴x-x的力偶作用扭矩FT表示截面上所有点剪应力τ对截 面中心点O点的力偶作用刚度：构件抵抗变形的能力杆件受轴向力作用时，沿杆轴方向会伸长（或缩短），称为纵向变形；同时杆的横向尺寸将减少（或增大），称为横向变形1）纵向变形与胡克定律,长为 的等直杆，在轴向力作用下，伸长了,纵向线应变为：,,试验表明：当杆内的应力不超过材料的某一 极限值，则正应力和正应变成线性正比关系,2、轴向拉伸（压缩）变形,称为胡克定律,英国科学家胡克（Robet Hooke，1635~1703） 于1678年首次用试验方法论证了这种线性关系 后提出的胡克定律：,EA称为杆的拉压刚度,上式只适用于在杆长为l长度内FN、E、A 均为常值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况比例常数E 称为弹性模量，它表示材料在拉伸（压缩）时抵抗变形的能力，量纲与应力相同，常用单位为MPa.,2）横向变形、泊松比,横向正应变为：,当应力不超过一定限度时，横向应变 与轴向应变 之比的绝对值是一个常数法国科学家泊松（1781~1840） 于1829年从理论上推演得出的结果。
横向变形因数或泊松比,表4-1给出了常用材料的E、 值三、 变形计算,常用材料的E 、μ值,选择材料——与材料的机械性质有关,确定尺寸——与截面大小、形状有关,在面积A相同，但形状不同的情况下，应力分布不同平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究对象的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计算中不可缺少的几何参数第二节 截面的几何性质,截面的形心就是截面图形的几何中心,一、形心,1、形心的概念,通过形心的坐标轴称为形心轴,截面的形心就是截面图形的几何中心,一、形心,1、形心的概念,通过形心的坐标轴称为形心轴,形心坐标公式,解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则,例1 求图示图形的形心由于对称知： xC=0,1、静矩,A,平面图形对y轴的静矩,平面图形对z轴的静矩,单位：,二、静矩和惯性矩,,（1）静矩可0；0；02）若图形形心C已知，则：,,,（3）求静矩的另一公式：,,（4）,如果平面图形具有对称轴，则平面图形的形心必然在对称轴上平面图形对其对称轴的静矩必为零若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必通过图形的形心。
轴过形心 S该轴=0,组合图形的静矩计算公式,求所示图形对y轴的静矩,z,z+dz,解：,,2、惯性矩,,A,y²dA,,A,z²dA,图形对y轴的惯性矩,图形对z轴的惯性矩,单位：,惯性矩恒0；,例1、矩形求,解：,（1）,（2）,,dz,同理,,c,例2、圆形3、平行移轴公式,,,,已知:,(y、z轴过形心C),求,解：,,平行移轴公式,注意：,（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两 平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩 来换算;,（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心 轴的惯性矩最小.,,根据定义：,整个图形对某一轴的静矩、惯性矩等于各个分图形对同一轴的静矩、惯性矩之和I,II,III,,,4、组合图形惯性矩的计算,例如:,则,同理,空心圆,其中,例：T字形截面,求其对形心轴的惯性矩解:,(1)求形心,C,,任选参考坐标系,如,I,II,,而,(2)求,即：,——惯性半径,（单位： ）,5、惯性半径,工程中因为计算需要，常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积例：1、矩形求,解：,,dz,c,,,,力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学性能。
材料的力学性能工程材料根据其断裂时发生变形的大小分为脆性材料和塑性材料两大类在常温、静载条件下，这两种材料在拉伸和压缩时的力学性能具有明显的差异第三节 杆件的轴向拉伸（压缩）,1、材料在轴向拉伸（压缩）时的力学性能,,,,1）低碳钢拉伸时的力学性能,常温、静载,标准试样（圆截面）,,,,标准试样（矩形截面）,试样原始标距与原始横截面面积 关系者, 有为比例试样 国际上使用的比例系数k的值为5.65若k 为5.65的值不能符合这一最小标距要求 时，可以采取较高的值（优先采用11.3值）应力—应变图,（1）弹性阶段（Ob 段）,Oa 段为直线段，说明正应力和正应变成线性正比，材料遵循胡克定律，即σ=Eεa点对应的应力称为比例极限，用σP表示 弹性阶段最高点b对应的应力值为弹性极限，用σe表示弹性模量E和α 的关系：,应力—应变图,过b点，应力变化不大，应变急剧增大，曲线上出现水平锯齿形状，材料失去继续抵抗变形的能力，发生屈服现象 工程上常称下屈服强度为材料的屈服极限，用σs表示 材料在屈服阶段，其弹性变形基本不再增长，而塑性变形迅速增加，不能使用胡克定律材料屈服时，在光滑试样表面可以观察到与轴线成的纹线，称为45°滑移线。
2）屈服阶段（bc 段）,材料晶格重组后，又增加了抵抗变形的能力，要使试件继续伸长就必须再增加拉力，这阶段称为强化阶段 曲线最高点d处的应力，称为强度极限(σb )若将杆件拉伸到强化阶段的某一点k时停止加载，并逐步卸载到零，则试样的应力–应变曲线会沿着kO1回到O1，卸载后消失的应变O1k1为弹性应变，保留下的应变OO1为塑性应变冷作硬化现象，在强化阶段某一点 k处，缓慢卸载，冷作硬化使材料的弹性强度提高，而塑性降低的现象3）强化阶段（cd 段）,代表材料强度性能的主要指标： 屈服极限σs和 强度极限σb,（4）局部径缩阶段（de段）,试样变形集中到某一局部区域，由于该区域横截面的收缩，形成了图示的“颈缩”现象最后在“颈缩”处被拉断两个塑性指标:,延伸率,断面收缩率,为塑性材料,为脆性材料,低碳钢的,为塑性材料,（2)延伸率和截面收缩率,杆件拉断后，弹性变形全部消失，而塑性变形保留下来3）低碳钢压缩时的力学性能,试件和实验条件,常温、静载,,,,屈服极限,比例极限,弹性极限,拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同E --- 弹性摸量,塑性材料（低碳钢）的压缩,,,,对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。
断后伸长率约为0.5%为典型的脆性材料σb—拉伸强度极限（约为140MPa）它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标1）拉伸性能,2）铸铁的力学性能,,,,脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同,压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限,（2）压缩性能,,,,,对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限σ0.2来表示3）其它材料的力学性能,建筑专业用的混凝土，压缩时的应力–应变图，如图示混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍左右几种常用材料的主要力学性能,1. 极限应力塑性材料，当应力达到屈服极限时，构件已发生明显的塑性变形，影响其正常工作，称之为失效，因此把屈服极限作为塑性材料极限应力即σ°= σs脆性材料，直到断裂也无明显的塑性变形，断裂是失效的唯一标志，因而把强度极限作为脆性材料的极限应力 即σ°= σb根据失效的准则，将屈服极限与强度极限通称为极限应力(σ°),4）许用应力与安全系数,工作应力—杆件工作时由荷载引起的应力极限应力—使材料丧失正常工作能力的应力,把极限应力除以一个大于1的因数，得到 的应力值称为许用应力( ),大于1的因数n 称为安全因数工程中安全因数n的取值范围，由国家标准 规定，一般不能任意改变。
2.许用应力,,,,,思考：两根材料相同、粗细不同的直杆，在相同的拉力作用下，随着拉力的增加，哪根杆首先被拉断？答案：细杆说明：杆件的强度不仅与内力有关，而且与截面的尺寸有关哪个杆先破坏?,2、轴向拉伸（压缩）的强度计算,为了研究构件的强度问题，必须研究内力在截面上的分布集度—应力杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关必须用应力来比较和判断杆件的强度等截面直杆的假设推论： （1）平面假设：杆件横截面变形前为平面，变形后仍为平面，且仍垂直于杆轴 （2）横截面只沿杆轴线平行移动，任何两个横截面之间所有纵向纤维的伸长量（或缩短量）均相等，横截面上只有正应力，而且各点处的正应力都相等1）正应力计算公式计算公式：,,,,,该式为横截面上的正应力σ计算公式正应力σ和轴力FN同号即拉应力为正，压应力为负A—拉（压）杆横截面面积 FN—轴力,,,,对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上，其计算公式为：,,习惯上把杆件在荷载只有下产生的应力，称为工作应力并且通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面，产生最大工作应力的点称为危险点对于产生轴向拉（压）变形的等直杆轴力最大的截面就是危险截面，该截面上任意一点都是危险点。
轴向拉压杆的强度条件,强度：构件抵抗破坏的能力 为了保障构件安全工作，构件内最大工作应力必须小于许用应力公式称为拉压杆的强度条件,2） 强度条件,,,,对于塑性材料的等截面杆，强度条件式为：,对于脆性材料的等截面杆，强度条件式为：,,,,最大工作拉应力和允许拉应力,最大工作压应力和允许压应力,利用强度条件，可以解决以下三类强度问题： 1、强度校核：在已知拉压杆的形状、尺寸和许用应力及受力情况下，检验构件能否满足上述强度条件，以判别构件能否安全工作轴向拉压杆的强度计算,在计算中，若工作应力不超过许用应力的5%，在工程中仍然是允许的例题： 起重吊钩的上端借螺母固定，若吊钩,螺栓内径,材料容许应力,试校核螺栓部分的强度计算螺栓内径处的面积,吊钩螺栓部分安全解：,2、设计截面：已知拉压杆所受的载荷及所用材料的许用应力，根据强度条件设计截面的形状和尺寸，表达式为：,在计算中，若工作应力不超过许用应力的5%，在工程中仍然是允许的例题： 图示一托架，AC是圆钢杆，许用拉应力,，BC是方木杆，,试选定钢杆直径d？,解：（1）、轴力分析并假设钢杆的轴力,3、计算许用载荷：已知拉压杆的截面尺寸及所用材料的容许应力，计算杆件所能承受的容许轴力，再根据此轴力计算容许载荷，表达式为：,在计算中，若工作应力不超过许用应力的5%，在工程中仍然是允许的。
例题：已知一个三角架，AB杆由两根80×80×7等边角钢组成，横截面积为A1，长度为2 m，AC杆由两根10号槽刚组成，横截面积为A2，钢材为3号钢，容许应力 求：容许载荷？,。