第23讲 还原问题（二） 上一讲我们讲了还原问题的基本思想和解法，下面再讲一些较复杂的还原问题和列表逆推法例1有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚问：原来至少有多少枚棋子？分析与解：棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚由此逆推，得到 第三次分之前有1×4＋1＝5（枚）， 第二次分之前有5×1＋1＝21（枚）， 第一次分之前有21×4＋1＝85（枚） 所以原来至少有85枚棋子例2袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球问：袋中原有多少个球？分析与解：利用逆推法从第5次操作后向前逆推第5次操作后有3个，第4次操作后有（3—1）×2＝4（个），第3次……为了简洁清楚，可以列表逆推如下： 所以原来袋中有34个球例3三堆苹果共48个先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆这时，三堆苹果数恰好相等问：三堆苹果原来各有多少个？分析与解：由题意知，最后每堆苹果都是48÷3＝16（个），由此向前逆推如下表： 原来第一、二、三堆依次有22，14，12个苹果。
逆推时注意，每次变化中，有一堆未动；有一堆增加了一倍，逆推时应除以2；另一堆减少了增加一倍那堆增加的数，逆推时应使用加法例4有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶这时，各桶油都是16千克问：各桶原有油多少千克？分析与解：与例3类似，列表逆推如下： 原来甲、乙、丙桶分别有油26，14，8千克 逆推时注意，每次变化时，有两桶各增加了一倍，逆推时应分别除以2；另一桶减少了上述两桶增加的数，逆推时应使用加法例5兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同问：兄弟三人的年龄各多少岁？分析与解：由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24÷3＝8（个）桔子由此列表逆推如下表： 由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁。
逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以2；另两人各增加拿出桔子的人拿出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半 练习23 1.有一堆桃，第一只猴拿走其中的一半加半个，第二只猴又拿走剩下的一半加半个，第三、四、五只猴照此方式办理，最后还剩下一个桃问：原来有多少个桃？ 问：这堆西瓜原来有多少个？ 3.甲、乙两粮库各有大米若干吨，先是甲库运出一半给乙库，然后乙库 525吨，乙库有大米775吨问：最初甲、乙两库各有大米多少吨？ 4.书架有上、中、下三层，一共放了192本书先从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层现有的同样多的书放到上层，这时三层的书刚好相等问：这个书架上、中、下三层原来各有多少本书？ 5.甲、乙、丙三人各有若干元钱，甲拿出一半平分给乙、丙，乙又拿出现有的一半平分给甲、丙，最后丙又拿出现有的一半平分给甲、乙这时他们各有240元问：甲、乙、丙三人原来各有多少钱？ 水问：三个桶中原来各有多少升水？ 。
