关于一道概率题两种解答的分析(1987(3])设有两箱同种零件；第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件， 其中18件一等品.先从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的 零件均不放回)试求(1) 先取出的零件是一等品的概率p；(2) 在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q官方详解】记*=｛取的是第1箱｝,3产｛从该箱中先取出的是一等品｝, By｛从该箱后取出的是一等品｝则由己知知：P（A）=P@） = S，P（0IA）= = !，Pg3） = S = *A）= —x —A）= —x —v 1 2 7 50 49 7 30 29（1） 由全概率公式，得_ _ 1 1 1 O Qp = p（Bj = p（A）p（用 I A）+P何）p（用 |]） = —x —+ —x —= — = 0.4（2） 仍由全概率公式得P（W2）= P（W（"M）+ H小（wm）= ；xx 会+ ：x籍xg = 0.194229415」 J V/ I -Z 」 J -X故 q = P(B"J=哗％)= 」94229415 = 0.85573539v 2 17 P(Bl) 0.42.《某书》中认为(2)设先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零警然样一等品这事件为C.q = P(C) = P(C I A)P(A) + P(C I A)P(A)P(C | A)是在先挑第一箱的条件下，再从这箱挑出第一个零件为一等品的前提F.这时第一箱还剩49件其中一等品9件，因此再挑二零件仍为一等品的概率为点・ 49同理P(C| A)= 爵所以f 9 1 17Q = T•志十另.云=.3849・【评注】 本题有一种沆行的错误解法：/，(2)・q = P(B2 I HQ = 曜汗待孑事件3务，应用全概率公式，得 r\ D\ fPGB2BD = P(BzBi I A)P(A) + P(B2B1 I A)P(A)10 • 9 1 . 18 • 17 1 A MS• 50 • 49 .、・2 丁 30 • 29 2 …昼"，0. 1942P(BZBO 528 A9 = "?面一=万厂=.4855・ ./ \ • —“.、！・ ..P(BQ这种解法的错误在于应用公式q = P(B3 I 哗即 时，这里的耳，晶必须是在同一篇.因先挑一箱然后取出两个零件.当把P(B2BD = P(B20 I A)P(A) + P(BzB| I A)P(A)- 时，即将民旦同时分成第一箱或第二箱且B],Bz在同一箱,但分母的P(BD就没法随同分子中 的为同一箱了.如果公式 q=P(Bz|B】)= P(A)P(B2 | BiA)+P(A)P(B2!|，B1A),当然也不对，首先, 没有这种公式，其次计算P(B2 l.B.A)时，还是不能保证B2与角同一箱，更不能错误地捋 、P(B2 | 3A) =,因为此概率只是在第r箱中取了 一 :个一等品BXA的条件.第二次，不知 49在哪一箱里取了第二个一等品，它当然不等于P(B2A \ B,A).总之在这类公式计算串，仅 P(B2 |乱)或.P(B2 l.BxA)不能保证二次取自同.一箱.其解法的错误之处定性地说问题在于：1) 大学教材中，没有定义过条件概率的条件概率。
木题中《某书》定义的C事件为“设先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零 件仍然是一等品”，若记B=｛设先取出的零件是一等品｝,D=｛第二次取出的零件仍然是一等 品｝，则P(C)=P(DIB)所以是个条件概率!再在A发生的条件下,C发生，则P(CIA)= P(DIB IA), 显然这种式子是教科书中无法解释的2) 应用全概公式，那个事件应是完备事件组中的一个了事件！同学们回顾一下全概率公式P(B) = p(BAj) = p(A》P(B1 A)j=l j=l中BA, (i = 1〜〃)都是完备事件组A (i = 1〜n)中的了事件但是《某书》P(CIA)中的C事件不是A与刀的子事件！ 综上所述，《某书》中的分析是错误的，细心的读者可以发现其实是下面■*•之前的系数不同!210 9 5 1 18 17 5 1止解q =——x——X —X —+——x——x — x — 50 49 2 2 30 29 2 20 1 17 1错解 ^ = —xl + —xl49 2 29 2进一步，我们还可以举2个反例：1） 第一个箱子中2个球全是一等品；第二个箱子中2个球都不是一等品，显然 q = P （旦I月）=1 ,但按照某书的做法^ = |xl + |xO = |.2） 第一个箱子中2个球全是一等品；第二个箱了中1个球是一等品，1个球都不是一等品, 显然0=尸（场|用）=2，但按照某书的做法^ = lxl + lxO = -.通过以上例题的分析，下题当时命题中心的的标准答案是正确的，某书解法是错误的!（1998[3]）设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表 分别为3份、7份、和5份。
随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份1） 求先抽到的一份是女生表达概率p；（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q07Q of）【知识点】全概率公式、条件概率计算【正确答案】p= — yq = —90 61某书的错误解法：【解】 设事件3 =第，次抽到的报名表是女生表（/ = 1,2）,事件a =报名表是第顶区考生的（J = 1,2,3）.显然A】，A2，A3构成完备事件组，且 黑1 噌P（AQ =普（顶=1,2,3）, ・；0P（B1 | AQ =亲，P（曷 | A2） = | A3） = ；10 io Zb ?（1） 应用全概率公式，知 ;3 Rb = P（BD = :Sp（AQP（B】I A,） = 借 + 孟 +亲）=g. -（2） 当A】发生时，P（Bi |瓦）=餐；当A2发生时，P（B】|岳）=窑当A3发生时,P（Ry 14I B2）=务，所以1 3 1 7 , 1 5 1 / 1 . 1 . 5 \ 259 = ・ + ・3 + ・两=司（耳+ 2 +两）=元・ 【评注】与例9相似，本建很容易错误解成如下结果：（2）・q = P（B1 | B2） = P鼻毕，对P（BiB2）和P（B2）用全概率公式：r\Dz）脉⑧）=P^B2 I A,）P（Aj） = （尚 +噩 + 端）=|2, j—1P（瓦）=，P（瓦 I AQP（AQ = （ + 菖 + 教）=站， 因此， q = P（B| |瓦）=隔玮2 =誓.这种解法错误与例9类似.以上解法是错误的!。