单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,第三章 复变函数的积分,,（,与实函数中二型线积分类比,）,§3.1,复积分的概念,线积分,复积分,一个复积分的实质是,,两个实二型线积分,dz,«,,复积分存在的一个充分条件：,复积分的性质,：,1 线性性：,,,例题,1,,（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周解,（1）,,,（2）参数方程为,可见积分与路径有关例题,2,,解：,,,例如,例题,3,,证明：,,例如,练习,,例题,4,,解：,可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关§ 3.2,柯西积分定理,定理1（Cauchy）,如果函数,f,(,z,)在单连通域,D,内处处解析, 则它在,D,内任何一条封闭曲线,C,的积分为零:,注1：定理中的曲线,C,可以不是简单曲线. 此定理成立的条件之一是曲线,C,要属于区域,D注2：如果曲线,C,是,D,的边界, 函数,f,(,z,)在,D,内与,C,上解析, 即在闭区域,D,+,C,上解析, 甚至,f,(,z,)在,D,内解析, 在闭区域,D,+,C,上连续, 则,f,(,z,)在边界上的积分仍然有,推论：如果函数,f,(,z,)在单连通域,D,内处处解析,,C,属于,D，,与路径无关仅与起点和终点有关。
于是,是解析函数解析函数的导数仍为解析函数,特别地,例如：,注：以上讨论中D为单连通域这里D为复连通域可将柯西积分定理推广到多连通域的情况,定理2,,假设,C,及,C,1,为任意两条简单闭曲线,,C,1,在,C,内部,设函数,f,(,z,)在,C,及,C,1,所围的二连域,D,内解析, 在边界上连续，则,证明：取,这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值闭路变形原理,,推论（复合闭路定理）：,(,互不包含且互不相交,),，,,所围成的多连通区域，,,,例题,1,C 如图所示：,解：,存在,f,(,z,)的解析单连通域,D,包含曲线,C,，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关从而,例题,2,C为包含0与1的任何正向简单闭曲线解：,,,（由闭路变形原理）,,§ 3.3,柯西积分公式,若,f,(,z,) 在D内解析，则,分析：,.,定理,(柯西积分公式) 如果,f,(,z,)在区域,D,内处处解析,,C,为,D,内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于,D,,,z,0,为,C,内的任一点, 则,---解析函数可用复积分表示[,证,] 由于,f,(,z,)在,z,0,连续, 任给,e,>0, 存在,d,(,e,) >0, 当 |,z,-,z,0,|<,d,,,时,, |,f,(,z,),-,f,(,z,0,)| <,e,.,设以,z,0,为中心,,,R,为半径的圆周,K,:,,|,z,-,z,0,|=,R,全部在,C,的内部,,,且,R,<,d,.,D,C,K,z,z,0,R,根据闭路变形原理, 该,,积分的值与,R,无关, 所以,,只有在对所有的,R,积分,,为值为零才有可能。
推论1 如果,C,是圆周,z,=,z,0,+,R,e,i,q,, 则柯西积分公式成为,------ 一个解析函数在圆心处的值等于,,它在圆周上的平均值.,推论2 设,f,(,z,)在二连域 D内解析，在边界上连续，则,,例题1,,解：,,,,,§ 3.4,解析函数的高阶导数,一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.,,定理,,解析函数,f,(,z,)的导数仍为解析函数, 它的,n,阶导数为:,其中,C,为在函数,f,(,z,)的解析区域,D,内围绕,z,0,的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于,D,.,[,证,] 设,z,0,为,D,内任意一点, 先证,n,=1的情形, 即,因此就是要证,,按柯西积分公式有,因此,,现要证当,D,z,0时,I,0, 而,f,(,z,)在,C,上连续, 则有界, 设界为,M,, 则在,C,上有|,f,(,z,) |,,M,.,d,为,z,0,到,C,上各点的最短距离, 则取 |,D,z,| 适当地小使其满足 |,D,z,| <,d,/2,因此,L,是C的长度,这就证得了当,D,z,0时,,I,0.,D,z,0,d,C,,这,就证得了,再利用同样的方法去求极限:,依此类推, 用数学归纳法可以证明:,高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导,,,而在于通过求导来求积分.,,例1,求下列积分的值, 其中,C,为正向圆周: |,z,| =,r,>1.,[,解,] 1) 函数 在,C,内的,z,=1处不解析, 但cos,p,z,在,C,内却是处处解析的.,,Cauchy,不等式：,,证明：,注1：解析函数的导数模的估计与区域的大小有关；,,注,2,：,,,Liouville定理：全平面的有界解析函数必为常数。
证明：对复平面上任一点,z,，,,最大模原理：设,D,为有界单连通或复闭路多连通区域，,证明：,注：,,,,,,,,,,。