椭圆轨道上行星运动速度和能量行星在椭圆轨道上运动的速度和能量 本文用万有引力和开普勒定律，结合椭圆的对称性，讨论了行星沿椭圆轨道运动中速度的变化规律以及行星在运动中的能量变化情况 行星运动的速度、椭圆轨道、行星、机械能守恒、动能、引力势能 一、在近日点和远日点两个速度的比较 行星经过近日点和远日点时，运动的曲率半径相同，这是因为椭圆具有对称性这样的话，设这个曲率半径是r，对于经过近日与远日点时分别有： a1=v12r2v2„„„„„„„„„„„„„„„„ a2=r„„„„„„„„„„„„„„„„ 由可得： GMv12a1r22r12=== 2v2a2GMr12r22即： v1r1=„„„„„„„„„„„„„„„„ v2r2epep= 1-ecosp1+eepep=在远日点时r2= 1-ecos01-e另外，在近日点时r1=代入式有 v11+e=„„„„„„„„„„„„„„„„ v21-e上面的问题也可以按照下面的过程思考： 由开普勒第三定律知 1 A=12r2q&„„„„„„„„„„„„„„„„ 已知行星在近日点和远日点无径向速度，故横向速度等于其合速度，有 v=rq&„„„„„„„„„„„„„„„„ 将代入有： A=12rv 对于近日点和远日点来说，有：r1v1=r2v2。
稍做变形就可以得到上面的结果了，从略二、行星运动到一般位置的速度 在极坐标中 vr=r&„„„„„„„„„„„„„„„„ vq=rq&„„„„„„„„„„„„„„„„ 其中vr、vq分别表示径向速度和横向速度 由椭圆方程r=ep1-ecosq得： epr=1-ecosq 两边对时间求导，有： -epr&r2=esin& 整理可得： r2r&=-psin&„„„„„„„„„„„„„„„„ 行星运动的速度为： 2 v=v2r+v2q=r&2+(rq&)2r442=2r&p2sin&2+qr22=r2q&sinq1p2+r2222=r2q&esinq(1-e2p2+ecosq)e2p2=r2q&epe2sin2q+(1-ecosq)2r2=q&ep1-2ecosq+e2即： r2v=q&ep1-2ecosq+e2„„„„„„„„„„„„„„„„ 这个结果中只有q是变量，其它都是常数，特别是r2q&为常数这表明： 0£q£p时，v是增函数，v随q的减小而增大； p£q£2p时，v是减函数，v随q的增大而减小 实际上，由于r=ep1-ecosq，所以上面的结果也可以用r来说明： 0£q£p时，v是增函数，v随r的减小而增大； p£q£2p时，v是减函数，v随r的增大而减小。
三、行星运动过程中的能量 由动能的表达式及式可知： m1-22=(2ecosq+e2E)k×æççrq&ö2ep÷÷„„„„„„„„„„„„„„„„èø下面我们讨论行星运动中的掠面速度表达式: 椭圆面积： S=pab„„„„„„„„„„„„„„„„ 其中a、b分别表示椭圆的长轴和短轴，对椭圆方程r=pe1-ecosq来说， 当q=0时，rpe1=1-e„„„„„„„„„„„„„„„„„ 3 当q=p时，r2=pe1+e„„„„„„„„„„„„„„„„„ 如图1所示，r1用红色的线段来表示，r2用绿色的线段来表示可知： r1+r2=2a„„„„„„„„„„„„„„„„„ l r rO θ 2 r1 x 图1 由可得： a=ep1-e2„„„„„„„„„„„„„„„„„ b=a2-c2=a2-(ae)2=a1-e2=ep1-e2„„„„„„„„„„„„„将式代入式可知： epeppe2=p×1-e2×1-e2==p2S(3„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1-e2)2掠面速度 1222rq&=Spe2pT=T(3 1-e2)2从而有： 2q=2pe2p2r&(3„„„„„„„„„„„„„„„„„ T1-e2)2将式代入可知： =m(1-2ecosq+e2E)æ24p2e4p4k2×çç1öèep÷÷ø×T2(1-e2)3)æ3=4p2m(1-2ecosq+e2çepöè1-e2÷øep×2×T2=4p2m(1-2ecosq+e2)ep×2×a3T24 a3上式中最后一个因子2出现在开普勒第三定律中，我们知道，它是一个常数，在这里我们T用k来表示这个值。
有： 4p2km1-2ecosq+e2„„„„„„„„„„„„„„„„„ Ek=×ep2另外，由“从开普勒定律到牛顿万有引力定律”一文知道： ()GM=4p2k 代入式有： GMm1-2ecosq+e2„„„„„„„„„„„„„„„„„ Ek=×ep2下面求行星运动中的引力势能 我们采用传统的方法规定零势能点，即规定无穷远处势能为零有： ()GMmGMmé1ù„„„„„„„„„„„„„„„„„ Ep=-ò2dr=-GMmê-ú=-rrërûrr将r=¥¥ep代入上式可得： 1-ecosqGMm(1-ecosq)Ep=-„„„„„„„„„„„„„„„„„ ep由两式可得行星运动中的机械能总量 GMm1-2ecosq+e2éGMm(1-ecosq)ùE=Ek+Ep=×+ê-úep2epëûGMm=1-2ecosq+e2-2+2ecosq2epGMm2 =e-12ep()[]()GMm1-e2=-×2epGMm=-2a即： E=-GMm„„„„„„„„„„„„„„„„„ 2a这个结果说明，对于质量相同的行星来说： 5 <1>行星运动过程中机械能守恒； <2>轨道半长轴相等的卫星的能量相等； <3>半长轴为a的椭圆轨道上的行星能量与半径为a的圆轨道上运动的行星相同。
下图是半长轴相等的椭圆族，在这些轨道上运动的质量相等的行星具有相等的能量 二零一一年四月中旬 6 。