求函数值域的方法大全

求函数值域〔最值的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域<最值>的求解方法更是一个常考点,对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,因此能熟练掌握其值域<最值>求法就显得十分的重要,求解过程中若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域<最值>的求法,希望对大家有所帮助一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数的值域为R.二次函数,当时的值域为,当时的值域为.,反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正,余弦函数的值域为,正,余切函数的值域为R.二、求函数值域〔最值的常用方法1.直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域<最值>的简单函数例1、求函数y=的值域解：显然函数的值域是：例2、求函数y=2－的值域解：≥0－≤02－≤2故函数的值域是：[-∞,2]2、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一对于形如或类的函数的值域问题,均可用配方法求解.例3、求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域解：将函数配方得：y=〔x-1+4,x[-1,2],由二次函数的性质可知：当x=1时,y=4当x=-1,时=8故函数的值域是：[4,8]例4、求函数的值域：解：设,则原函数可化为：.又因为,所以,故,,所以,的值域为.3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为的形式,再利用判别式加以判断例5、求函数的值域解：恒成立,函数的定义域为R.由得① 当即时,；② 当即时,时,方程恒有实根.且.原函数的值域为.例6、求函数y=x+的值域解：两边平方整理得：2-2〔y+1x+y=0〔1xR,△=4〔y+1-8y≥0解得：1-≤y≤1+但此时的函数的定义域由x〔2-x≥0,得：0≤x≤2由△≥0,仅保证关于x的方程：2-2〔y+1x+y=0在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程〔1有实根,由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为[,]。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域0≤x≤2,y=x+≥0,=0,y=1+代入方程〔1,解得：=[0,2],即当=时,原函数的值域为：[0,1+]注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数<即有理分式一次型>,也可用于其它易反解出自变量的函数类型例7、求函数的值域分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数反解得即知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域故函数的值域为：5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域适用类型：一般用于三角函数型,即利用等例8、求函数y=的值域解：由原函数式可得：=＞0,＞0解得：-1＜y＜1故所求函数的值域为<-1,1>.例9、求函数y=的值域解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y可化为：sinx〔x+β=3y即sinx〔x+β=∵x∈R,∴sinx〔x+β∈[-1,1]即-1≤≤1解得：-≤y≤故函数的值域为[-,]。

6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值〔原理：同增异减例10、求函数的值域分析与解：由于函数本身是由一个对数函数〔外层函数和二次函数〔内层函数复合而成,故可令：配方得：由复合函数的单调性〔同增异减知：例11、求函数y=〔2≤x≤10的值域解：令y=,=,则y,在[2,10]上都是增函数所以y=y+在[2,10]上是增函数当x=2时,y=+=,当x=10时,=+=33故所求函数的值域为：[,33]例12、求函数y=-的值域解：原函数可化为：y=令y=,=,显然y,在[1,+∞上为无上界的增函数,所以y=y+在[1,+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时,y=y+有最小值,原函数有最大值=显然y＞0,故原函数的值域为<0,]7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用适用类型:无理函数、三角函数〔用三角代换等例13、求函数y=x+的值域解：令x-1=t,〔t≥0则x=+1∵y=+t+1=+,又t≥0,由二次函数的性质可知当t=0时,y=1,当t→0时,y→+∞。

故函数的值域为[1,+∞例14、求函数y=x+2+的值域解：因1-≥0,即≤1故可令x+1=cosβ,β∈[0,∏]∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+1=sin〔β+∏/4+1∵0≤β≤∏,0≤β+∏/4≤5∏/4∴-≤sin〔β+∏/4≤1∴0≤sin〔β+∏/4+1≤1+故所求函数的值域为[0,1+]例15、求函数y=的值域解：原函数可变形为：y=-可令x=tgβ,则有=sin2β,=cos2β∴y=-sin2βcos2β=-sin4β当β=k∏/2-∏/8时,=当β=k∏/2+∏/8时,y=-而此时tgβ有意义故所求函数的值域为[-,]例16、求函数y=〔sinx+1〔cosx+1,x∈[-∏/12∏/2]的值域解：y=〔sinx+1〔cosx+1=sinxcosx+sinx+cosx+1令sinx+cosx=t,则sinxcosx=〔-1y=〔-1+t+1=由t=sinx+cosx=sin〔x+∏/4且x∈[-∏/12,∏/2]可得：≤t≤∴当t=时,=+,当t=时,y=+故所求函数的值域为[+,+]例17、求函数y=x+4+的值域解：由5-x≥0,可得∣x∣≤故可令x=cosβ,β∈[0,∏]y=cosβ+4+sinβ=sin〔β+∏/4+4∵0≤β≤∏,∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4当β=∏/4时,=4+,当β=∏时,y=4-。

故所求函数的值域为：[4-,4+]8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例18、求函数y=+的值域解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点P〔x到定点A〔2,B〔-8间的距离之和由上图可知：当点P段AB上时,y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P段AB的延长线或反向延长线上时,y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10故所求函数的值域为：[10,+∞例19、求函数y=+的值域解：原函数可变形为：y=+上式可看成x轴上的点P〔x,0到两定点A〔3,2,B〔-2,-1的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时,y=∣AB∣==,故所求函数的值域为[,+∞例20、求函数y=-的值域解：将函数变形为：y=-上式可看成定点A〔3,2到点P〔x,0的距离与定点B〔-2,1到点P〔x,0的距离之差即：y=∣AP∣-∣BP∣由图可知：〔1当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P¹,则构成△ABP¹,根据三角形两边之差小于第三边,有∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB∣==即：-＜y＜〔2当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。

综上所述,可知函数的值域为：〔-,-]注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B在x轴的同侧如：例17的A,B两点坐标分别为：〔3,2,〔-2,-1,在x轴的同侧；例18的A,B两点坐标分别为：〔3,2,〔2,-1,在x轴的同侧例21、求函数的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点<2,3>到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点〔2,3到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线Bx和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:9、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值〔如：其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧例22、求函y=〔sinx+1/sinx+〔cosx+1/cosx的值域解：原函数变形为：y=〔++1/+1/=1++=3++≥3+2=5当且仅当tgx=ctgx,即当x=k∏±∏/4时〔k∈z,等号成立。

故原函数的值域为：[5,+∞例23、求函数y=2sinxsin2x的值域解：y=2sinxsinxcosx=4cosx=16=8〔2-2≤8〔++2-=8[〔++2-/3]=当且当=2-2,即当=时,等号成立由≤,可得：-≤y≤故原函数的值域为：[-,例24、当时,求函数的最值,并指出取最值时的值分析与解：因为可利用不等式即：所以当且仅当即时取"="当时取得最小值12例25、双曲线的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值是〔AB4C2D分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：,我们知道所以〔当且仅当时取"="而故〔当且仅当时取"="10、导数法设函数在上连续,在上可导,则在上的最大值和最小值为在内的各极值与,中的最大值与最小值要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视例26、求函数,的最大值和最小值解:,令,方程无解.函数在上是增函数.故当时,,当时,例27、求函数的最值.解析:函数是定义在一个开区间上的可导函数,令得的唯一驻点即为最点.时,,函数递增,时,,函数递减,故有最大值.[说明]本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简便.,等号成立条件是.注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数有导函数存在,那么是否有最值的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究：〔1若导函数无根,即,则无最值；〔2若导函数有唯一的根,即,则有最值.此时,导函数的根即是函数最根.〔3若导函数有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.11、多种方法综合运用例28、求函数y=的值域解：令t=〔t≥0,则x+3=+1〔1当t＞0时,y==≤,当且仅当t=1,即x=-1时取。